Bahnformel

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Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Sei eine Gruppe und eine Operation von auf einer Menge . Dann ist für jedes die Abbildung

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

  • die Bahn von ,
  • den Stabilisator von und
  • die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe in .

Siehe: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Im Fall ist . Dabei bezeichnet den Index von in . Für endliche Gruppen gilt daher die Bahnformel

.

Jede Gruppe operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation . Die Bahn eines Elements bezeichnet man als Konjugationsklasse von . Der Stabilisator heißt Zentralisator von und wird mit bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen

.

Transitive Operation

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Ist die Operation einer endlichen Gruppe auf transitiv, so ist

.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von ein Teiler der Gruppenordnung sein.