Beltrami-Form

In der Mathematik sind Beltrami-Formen gewisse messbare Funktionen, die man als Beltrami-Koeffizienten quasikonformer Abbildungen bekommt.

Sei $\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ eine hyperbolische Fläche. Eine Beltrami-Form $\mu$ auf $\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ ist eine messbare Funktion ${\tilde {\mu }}\colon \mathbb {H} ^{2}\to \mathbb {C}$ mit $\Vert {\tilde {\mu }}\Vert _{\infty }<\infty$, so dass für alle $\gamma \in \Gamma$

${\tilde {\mu }}(\gamma (z))={\frac {\overline {\gamma ^{\prime }(z)}}{\gamma ^{\prime }(z)}}={\tilde {\mu }}(z)$

für fast alle $z\in \mathbb {H} ^{2}$ gilt.

Die Beltrami-Formen mit der Norm $\Vert .\Vert _{\infty }$ bilden einen Banach-Raum, der mit ${\mathcal {B}}(\Gamma )$ bezeichnet wird. Mit ${\mathcal {B}}^{1}(\Gamma )$ bezeichnet man den offenen Einheitsball $\left\{\mu \in {\mathcal {B}}(\Gamma )\colon \Vert \mu \Vert _{\infty }<1\right\}$.

Nach dem Satz von Ahlfors-Bers gibt es zu jedem $\mu \in {\mathcal {B}}^{1}(\Gamma )$ einen quasikonformen Homöomorphismus $\phi _{\mu }\colon \mathbb {H} ^{2}\colon \mathbb {H} ^{2}$ mit Beltrami-Koeffizient ${\tilde {\mu }}$. Für $\gamma \in \Gamma$ verschwindet der Beltrami-Koeffizient von $\rho _{\mu }(\gamma ):=\phi _{\mu }^{-1}\circ \gamma \circ \phi _{\gamma }$, weshalb $\rho _{\gamma }$ eine Darstellung $\Gamma \to PSL(2,\mathbb {R} )$ und damit ein Element des Teichmüller-Raums ${\mathcal {T}}(\Gamma )$ definiert. Man erhält so eine surjektive Abbildung ${\mathcal {B}}^{1}(\Gamma )\to {\mathcal {T}}(\Gamma )$.

Literatur

• J.-P. Otal: Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds. Hsiung, C. C. (ed.) et al., Surveys in differential geometry. Vol. III. A supplement to the Journal of Differential Geometry. Lectures on geometry and topology in honor of the 80th birthday of Chuan-Chih Hsiung, Harvard University, Cambridge, MA, USA, May 3-5, 1996. Boston, MA: International Press. 77-194 (1998).