Benutzer:Ag2gaeh/Spielwiese

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In der projektiven Geometrie versteht man unter einer Quadrik eine Teilmenge der Punkte eines projektiven Raums, für deren Punkte in homogenen Koordinaten eine vorgegebene quadratische Form verschwindet. Wir beschränken uns hier auf Quadriken in endlich dimensionalen projektiven Räumen.

Quadriken werden normalerweise in affinen Räumen über (kommutativen) Körpern definiert (s. Quadrik). In der reellen affinen Ebene sind z.B. Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln Quadriken (oder quadratische Kurven). Im 3-dim. reellen Raum sind z.B. Kugeln, Ellipsoide, Rotationsparaboloide, einschalige Hyperboloide, zweischaligel Hyperboloide, Kegel, Zylinder, ... Quadriken. Der Vorteil der projektiven Sicht auf die Quadriken ist, dass die Vielfalt deutlich reduziert und damit übersichtlicher wird. Betrachtet man Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln im projektiven Abschluss (der Hyperbel werden dabei 2 Fernpunkte und der Parabel 1 Fernpunkt hinzugefügt), so entstehen Kurven, die alle zum Einheitskreis projektiv äquivalent sind. Im Raum sind z.B. Kugel, Rotationsparaboloid und zweischaliges Hyperboloid projektiv äquivalent.

Quadriken werden hier für projektive Räume über beliebigen Koordinatenkörpern definiert, also auch für Körper der Charakteristik 2, d.h. es gilt 1+1=0. Dies ist manchmal etwas lästig und zwingt zu Fallunterscheidungen. Im Fall Char 2 treten so ungewohnte Phänomene auf wie: Die Tangenten der Parabel sind alle parallel, weil bei Char 2 die Gleichung für jedes c höchstens 1 Lösung hat.

Quadratische Form

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Für einen Vektorraum über einem Körper sei eine Abbildung von in mit den folgenden Eigenschaften

(Q1) für jedes und .
(Q2) ist eine Bilinearform.

heißt quadratische Form. (Die Bilinearform ist sogar symmetrisch, d.h. . )

Im Fall gilt , d.h. und bestimmen sich gegenseitig in eindeutiger Weise.
Im Fall ist . Man nennt dann symplektisch. ( bedeutet .)

Für und , wobei eine Basis von ist, hat die Form

mit für und und es gilt
.

Beispiel: .

Definition einer Quadrik

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Im folgenden ist , der n-dimensionale projektive Raum über dem Körper in seiner üblichen Beschreibung:

ist die Menge der Punkte
( ist ein (n+1)-dim. Vektorraum über K, ist der von aufgespannte 1-dim. Unterraum),
die Menge der Geraden.

Ist zusätzlich auf dem Vektorraum eine quadratische Form definiert, so heißt ein Punkt singulär, falls ist. Die Menge

der singulären Punkte von heißt Quadrik (bzgl. der quadratischen Form ).

Für einen Punkt heißt

der Polarraum of (bzgl. ).
ist entweder eine Hyperebene oder .

Beispiel: Für ergibt sich ein nicht ausgearteter Kegelschnitt in .

Eigenschaften einer Quadrik

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Eine Quadrik kann auch aus der leeren Menge bestehen. Die folgenden Überlegungen machen nur Sinn, wenn . Also setzen wir dies voraus.

Für den Schnitt einer Gerade mit einer Quadrik gilt:

Lemma: Ist eine Gerade (von ), so gilt entweder:

a) und heißt Passante oder
b) und heißt Tangente oder
b') und heißt Tangente oder
c) und heißt Sekante.

Lemma: Eine Gerade durch Punkt ist eine Tangente nur, wenn gilt.

Lemma:

a) ist ein (projektiver) Unterraum. heißt f-Radikal von Quadrik .
b) ist ein (projektiver) Unterraum. heißt singuläres Radikal oder -Radikal von .
c) Im Fall gilt .

Eine Quadrik heißt nicht ausgeartet, falls ist.

Eine Kugel im 3-dim. reellen projektiven Raum ist nicht ausgeartet. Ein Kegel ist eine ausgeartete Quadrik mit der Kegelspitze als Radikal.

Bemerkung:

Ein nicht ausgearteter Kegelschnitt heißt auch ovaler Kegelschnitt (Hinweis auf seine geometrische Form).
Im Fall hat der Kegelschnitt einen Knoten, d.h. alle Tangenten gehen durch einen Punkt. Der Knoten ist dann das f-Radikal, d.h. in diesem Fall gilt .

Dass eine Quadrik ein sehr homogenes Objekt mit vielen Symmetrien ist, zeigt:

Lemma:

Zu jedem Punkt gibt es eine involutorische Zentralkollineation mit Zentrum und .

Beweis: Wegen ist der Polarraum eine Hyperebene. Die lineare Abbildung induziert eine involutorische Zentralkollineation mit Achse und Zentrum , die invariant lässt.

Im Fall hat die Abbildung die vertraute Form mit und für jeden Punkt .

Bemerkung:

a) Das Bild einer Passante, Tangente bzw. Sekante ist bei der Involution des Lemma's wieder eine Passante, Tangente bzw. Sekante.
b) ist punktweise fix bei .

Für die Gruppe der projektiven Kollineationen von , die invariant lassen, gilt:

Lemma: operiert transitiv auf .

Ein Unterraum von heißt -Unterraum, falls ist. (Beispiel: Punkte einer Kugel oder Geraden auf einem einschaligen Hyperboloid (s. unten).)

Lemma: Je zwei maximale -Unterräume haben dieselbe Dimension .

Ist die maximale Dimension der —Unterräume der Quadrik , so heißt der Index von .

Satz: (BUEKENHOUT) Für den Index einer nicht ausgearteten QuadriK in gilt: .

Eine nicht ausgeartete Quadrik in vom Index

heißt im Fall Kugel (oder ovaler Kegelschnitt, falls ).
heißt im Fall (einschaliges) Hyperboloid.

Beispiele:

a) Die Quadrik in mit der quadratischen Form ist nicht ausgeartet vom Index 1.
b) Für ein irreduzibles Polynom über liefert die quadratische Form eine nicht ausgeartete Quadrik (Kugel) im 3-dim. projektiven Raum .
Beispiel: . ( Im Fall (komplexe Zahlen) gibt es keine Kugel !)
c) In führt die quadratische Form zu einem Hyperboloid.

Bemerkung: Es ist nicht sinnvoll formal die Definition von Quadriken auf projektive Räume über echten Schiefkörpern auszudehnen, da man dort Sekanten erhalten würde, die mehr als 2 Punkte mit der "Quadrik" gemeinsam hätten, was völlig verschieden wäre zu den gewohnten Quadriken. Der Grund ist der folgende Satz:

Satz: Ein Schiefkörper ist nur dann kommutativ, wenn jede Gleichung , höchstens zwei Lösungen hat.

(s. Beweis in weblink planar circle geometries, S. 123)

[[Kategorie:Geometrie]]