Benutzer:Alnilam/Die Macht entschlossener Minderheiten

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Die Macht entschlossener Minderheiten ist eine typische Anwendungsaufgabe aus dem Gebiet der Stochastik, die ein bei demokratischen Abstimmungen zu beobachtendes Phänomen stark vereinfacht darstellt. Dabei wird gezeigt, dass eine kleine entschlossene Minderheit das Ergebnis einer Wahl entscheidend beeinflussen kann, wenn die Mehrheit der Abstimmenden unentschieden, unentschlossen oder desinteressiert ist.

Modell

Im einfachsten Fall wird davon ausgegangen, dass es zwei Entscheidungsmöglichkeiten A und B gibt, alle Beteiligten ihre Stimme abgeben und es keine Möglichkeit der Enthaltung oder ungültigen Stimmabgabe gibt.

Wenn alle Abstimmenden keine festgelegte Meinung haben, ist die Wahrscheinlichkeit $p$ eines Abstimmenden, sich für A oder B zu entscheiden, analog zu einem Münzwurf jeweils $p={\tfrac {1}{2}}$. Der Abstimmungsvorgang kann als Bernoulli-Prozess mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p={\tfrac {1}{2}}$ für den Erfolg „Ereignis A tritt ein.“ betrachtet werden. Der Erwartungswert für den Erfolg von A beträgt dann ebenfalls ${\tfrac {1}{2}}$, also ist ein Erfolg für Ereignis A mit fünfzigprozentiger Wahrscheinlichkeit anzunehmen.

Falls sich ein (wenn auch kleiner) Teil der Abstimmenden schon vorher auf eine sichere Wahl von A festgelegt haben und eine einfache Mehrheit für den Gewinn genügen soll, vergrößert sich die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn von Ereignis A bei einer ausreichenden Menge von Abstimmenden drastisch.

In den folgenden Betrachtungen sei $N$ die Anzahl aller Abstimmenden und $M$ die Anzahl der Angehörigen der entschlossenen Minderheit. Damit Ereignis A gewinnt, ist bei einfacher Mehrheit eine Abgabe von ${\frac {N}{2}}+1$ Stimmen für A nötig. $M$ Stimmen sind bereits sicher, also interessiert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $N-M$ noch verbleibenden Abstimmenden ${\frac {N}{2}}+1-M$ für Ereignis A stimmen. Unter Anwendung der Formeln für die kumulierte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann

$P(X\geq {\frac {N}{2}}+1-M)=1-P(X\leq {\frac {N}{2}}-M)=1-F_{X}({\frac {N}{2}}-M)=1-\sum _{k=0}^{{\frac {N}{2}}-M}{\binom {N-M}{k}}({\frac {1}{2}})^{N-M}$.

Die zugehörigen Rechnungen können bei einer großen Anzahl von Abstimmenden extrem aufwändig werden, deshalb ist es sinnvoll, wissenschaftliche Taschenrechner zu nutzen oder auf Annäherungen mit Hilfe der Normalverteilung zurückzugreifen.

Rechenbeispiele

Der kleine Verein

In einem kleinen Verein mit zehn ($N$) Mitgliedern soll mit einfacher Mehrheit ein neuer Kassenwart gewählt werden, Kneifen bei der Wahl gilt nicht. Die Kandidaten Albert und Bernhard stellen sich zur Wahl. Acht ($N-M$) Vereinsmitglieder vertrauen beiden Kandidaten gleich stark, zwei ($M$) sind bei der letzten Kneipenrunde von Bernhard auf der Rechnung sitzengelassen worden, werden ihn also garantiert nicht wählen.

Albert (A) braucht sechs Stimmen (${\frac {N}{2}}+1$), um gewählt zu werden, zwei Stimmen hat er schon sicher. Er benötigt also noch mindestens vier Stimmen der unentschiedenen Mehrheit. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den verbleibenden acht Vereinsmitgliedern mindestens vier für Albert stimmen und er damit der neue Kassenwart wird, beträgt 63,7 %, was kein schwer vorstellbares Ergebnis darstellt.

Die Bürgermeisterstichwahl

In der Mittelstadt Xhausen ging die letze Wahl nicht wirklich befriedigend aus. Die beiden Kandidaten Dr. A und Meister B erhielten zwar die meisten, aber jeweils gleich viele Stimmen, sie müssen sich also einer Stichwahl stellen. Die Abstimmung von 10.000 ($N$) Wahlberechtigten wird erwartet. Dr. A mobilisiert 100 ($M$) Parteifreunde, die ihn garantiert wählen werden. 9.900 ($N-M$) sonstiger Wählender ist es egal, wer von beiden Bürgermeister wird.

Dr. A (A) braucht 5001 Stimmen (${\frac {N}{2}}+1$), um gewählt zu werden, 100 Stimmen hat er schon sicher. Er benötigt noch mindestens 4.901 Stimmen der unentschiedenen Mehrheit. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den verbleibenden 9.900 Wahlberechtigten 4.901 für A abstimmen, beträgt analog zur obigen Rechnung 84,4 %. Ein Prozent fest Entschlossener führt bei dieser Anzahl Abstimmender zu einer extrem erscheinenden Verschiebung der Chancen des Gewinns von A.

Realität

Evtl. noch einarbeiten:

• http://www.treffpunkteuropa.de/gespenster-der-zukunft
• http://www.focus.de/politik/ausland/us-wahlen-2016/grosse-analyse-so-laeuft-das-duell-trump-gegen-clinton_id_5502479.html

Bezüge zu:

• The People’s Choice
• en:Collective behavior
• Neil J. Smelser
• Mitläufereffekt und im Gegenteil die Theorie der rationalen Entscheidung

Zu hinterfragen:

• Konsequenzen der Politikmüdigkeit - hat da mal jemand eine Zusammenhang hergestellt?