Benutzer:Anthroporraistes/Konfidenzband

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Ein Konfidenzband (engl. confidence band) wird in der Statistik verwendet, um ---- Die Idee ist, ein Band um die Schätzfunktion zu legen, das die wahre Funktion mit einer bestimmen vorgegebenen Wahrscheinlichkeit überdeckt.

Ein Paar von Funktionen heiß Konfidenzband zum Niveau für , falls:

für jedes . Man beachte dabei, dass für alle gleichzeitig gelten soll; daher spricht man von einem Konfidenzband und keinem Konfidenzintervall.[1]

Mit anderen Worten: Man kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass der Graph von im Konfidenzband liegt.[2]

Konfidenzband für die Verteilungsfunktion

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Seien unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit unbekannter Verteilungsfunktion . Ein natürlicher Schätzer für diese theoretische Verteilungsfunktion ist die empirische Verteilungsfunktion . Nach dem Satz von Glivenko-Cantelli konvergiert diese für größer werdenden Stichprobenumfang fast sicher gleichmäßig gegen die wahre Verteilungsfunktion . Die Idee ist nun, ein Band um die empirische Verteilungsfunktion zu legen, das die wahre Verteilungsfunktion zu einer vorgegebenen

Konfidenzbänder für die empirische Verteilungsfunktion normalverteilter Daten unterschiedlicher Stichprobenumfänge

Wahrscheinlichkeit überdeckt. Für die Konstruktion eines Konfidenzbands ist die Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz-Massart-Ungleichung (kurz: DKWM-Ungleichung) hilfreich. Für alle gilt[3]:

Es sei nun ein Konfidenzniveau vorgegeben. Setzt man , so ergibt sich . Nach der DKWM-Ungleichung gilt nun:

Das heißt ein Konfidenzband für die Verteilungsfunktion ist über bzw. konstruierbar.

Konfidenzband für Regressionsgerade

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Einzelnachweise

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  1. Zakhar Kabluchko: Mathematische Statistik. 2017, S. 155 (uni-muenster.de [PDF]).
  2. Lutz Dümbgen: Einführung in die Statistik. Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-0003-7, S. 69.
  3. Michael Messer, Gaby Schneider: Statistik: Theorie und Praxis im Dialog. Springer Spektrum, 2019, ISBN 978-3-662-59338-7, S. 69.

Kategorie:Stochastik Kategorie:Schätztheorie