Die Snell-Einhüllende (auch Snell’sche Hülle) ist ein Begriff aus der Stochastik und Finanzmathematik. Für einen Prozess ist sie das kleinste Supermartingal, das dominiert. Die Snell-Einhüllende tritt in der Finanzmathematik bei Fragen des optimalen Stoppens, z. B. dem optimalen Ausübungszeitpunkt amerikanischer Optionen auf. Sie ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker J. Laurie Snell benannt.
Sei ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und ein bzgl. absolutstetiges Maß. Ein adaptierter Prozess heißt Snell-Einhüllende des Prozesses bzgl. , wenn
- ein -Supermartingal ist.
- dominiert , d. h. -f.s. für alle . (Dominanz)
- Für jedes -Supermartingal , das dominiert gilt, dass auch dominiert. (Minimalität)
Sei die Menge aller Stopzeiten und die Menge der -wertigen Stoppzeiten in .
Sei ein nichtnegativer Prozess mit càdlàg-Pfaden und , so existiert ein mit cádlág-Pfaden, das die obigen drei Bedingungen erfüllt.
Die Snell-Einhüllende lässt sich in stetiger Zeit darstellen durch
-f.s. und ,
wobei das wesentliche Supremum über die Menge der Zufallsvariablen ist.
Im Spezialfall diskreter Zeit lässt sich die Snell-Einhüllende unter den obigen Voraussetzungen rekursiv durch
und für
definieren. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass die obigen drei Bedingungen von diesem Prozess tatsächlich erfüllt werden.
Sei und gegeben.