Benutzer:Bbenne/Totalvariationsabstand

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Der Totalvariationsabstand ist ein Begriff aus der Stochastik. Er beschreibt den Abstand zwischen zwei elementaren Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Definition

Seien P, Q elementare Wahrscheinlichkeitsmaße auf X. Dann gilt:

$d_{TV}:=\sup _{A\subseteq X}\left|P(A)-Q(A)\right|$

Für P, Q elementare Wahrscheinlichkeitsmaße mit den Dichten f, g und mit

$A:=\left\{x\in X:f(x)>g(x)\right\}$

gilt weiter:

$d_{TV}:=\sup _{A\subseteq X}\left|P(A)-Q(A)\right|={\frac {1}{2}}\sum _{x\in X}\left|f(x)-g(x)\right|$

Diese Form des Totalvariationsabstand ist häufig für die Berechnung geeigneter. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Beispiel

Im folgenden Beispiel wird der Totalvariationsabstand zwischen einer Bernoulli-Verteilung $B_{2/3}$ und einer Binomial-Verteilung $B_{2,1/3}$ vorgerechnet:

Zunächst errechnen wir die Wahrscheinlichkeiten der Binomial-Verteilung:

$B_{2,{\frac {1}{3}}}(0)={2 \choose 0}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{0}\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{2}={\frac {4}{9}}$

$B_{2,{\frac {1}{3}}}(1)={2 \choose 1}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{1}\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{1}={\frac {4}{9}}$

$B_{2,{\frac {1}{3}}}(2)={2 \choose 2}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{0}={\frac {1}{9}}$

Nun werden die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Verteilung, also der Bernoulli-Verteilung errechnet:

$B_{\frac {2}{3}}(0)={\frac {1}{3}}$

$B_{\frac {2}{3}}(1)={\frac {2}{3}}$

$B_{\frac {2}{3}}(2)=0$

Jetzt können wir die Formel von oben benutzen:

$d_{TV}={\frac {1}{2}}\cdot \left(\left|{\frac {4}{9}}-{\frac {1}{3}}\right|+\left|{\frac {4}{9}}-{\frac {2}{3}}\right|+\left|{\frac {1}{9}}-0\right|\right)={\frac {2}{9}}$

Der Totalvariationsabstand ist also ${\tfrac {2}{9}}$.