Benutzer:Benson.by/temp

2c

X ist die Zufallsvariable mit der beschriebenen Dichte. Gesucht ist jetzt eine Zahl x, die die Gleichung P(X>x)=0.2 erfüllt. Dazu äquivalent ist die Formulierung P(X <= x)=0.8. (Mit anderen Worten: wir suchen das 80-Prozent-Quantil x). Geometrisch: Wir suchen einen Punkt x auf der x-Achse, für den 80% der Fläche links und 20% rechts liegen. Bei stetigen Zufallsvariablen mit Dichte f gilt bekanntlich

$P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt$

Man beachte: das x ist nicht die Variable, nach der Integriert wird (die heißt hier t, oder wie man sie auch immer nennen will, auf jeden Fall nicht x). Jetzt setzen wir f ein und rechnen das Integral in Abhängigkeit von x aus. Dabei können wir anstatt $-\infty$ auch gleich 0 schreiben, da die Dichte links von der Null keine Fläche hat.

$\int _{0}^{x}0.4-0.08tdt=0.4\int _{0}^{x}(1)dt-0.08\int _{0}^{x}tdt=$

$=0.4x-0.08{\frac {x^{2}}{2}}=0.4x-0.04x^{2}$

Das integrieren ist hier recht einfach, da die Stammfunktionen bei 0 beide den Wert Null haben. So, dieses ergebnis soll jetzt gleich 0.8 sein, und so müssen wir das x jetzt wählen. Das ergibt eine quadratische Gleichung in x:

$0.4x-0.04x^{2}=0.8\Leftrightarrow 0.04x^{2}-0.4x+0.8=0\Leftrightarrow$

$x^{2}-10x+20=0\Leftrightarrow x={\frac {10\pm {\sqrt {10^{2}-4*1*20}}}{2*1}}={\frac {10\pm {\sqrt {20}}}{2}}=5\pm {\sqrt {5}}$

Dabei habe ich einmal die Gleichung mit 25 erweitert, um die ganzen fiesen kommazahlen zu vernichten, und einmal die Wurzel vereinfacht: ${\sqrt {20}}={\sqrt {4}}*{\sqrt {5}}=2{\sqrt {5}}$ und dann mit 2 gekürzt.

So, jetzt haben wir 2 mögliche ergebnisse, welches ist das richtige? Da die Dichte f ja ihre gesamte Masse zwischen 0 und 5 hat, müssen alle quantile auch in [0,5] liegen. Also scheidet $5+{\sqrt {5}}\approx 7.24$ aus, und das ergebnis ist $5-{\sqrt {5}}\approx 2.76$.

2d

Bei stetigen Zufallsvariablen gilt ganz allgemein $P(X\in [a,b])=\int _{a}^{b}f(t)dt$ (das ist eigentlich das einzige, was man über stetige ZV wissen muss), dabei sind die intervallgrenzen (also [a,b], [a,b[, ]a,b[ usw) egal. Wir wollen P(X=1) berechnen, und das ist demnach

$P(X=1)=P(X\in [1,1])=\int _{1}^{1}f(t)dt=0$

da Integrale über der Intervallänge 0 immer null sind (is ja auch keine Fläche darunter). Das ganze klappt natürlich genauso mit jeder anderen Zahl, also P(X=c)=0 für alle c. Klingt komisch, ist aber so.