Benutzer:Caldo/Algo

Heiß'scher Algorithmus

Ausgangssituation

Man habe einen gemischt-periodischen Bruch

$d=a,b{\bar {c}}$

Wobei $a,b,c$ jeweils natürliche Zahlen sind und $b$ wegfallen könnte.
Beispiel:

Beim Dezimalbruch $12,6{\overline {423}}$ entsprächen $a=12,\,b=6,\,c=423$

und $0,{\bar {3}}$ ist ein Beispiel für wegfallendes $b$. Es bleiben $a=0,\,c=3$

Erster Schritt

Subtrahiere die Zahl $a$ vom Bruch $d$ und erhalte ${\tilde {d}}:=d-a=0,b{\bar {c}}$

Zweiter Schritt

Berechne Zähler $Z$ und Nenner $N$ wie folgt:

$Z:=\{bc\}-b$

Hierbei ist $\{bc\}$ nicht das Produkt von $b$ und $c$, sondern die Zahl, die entsteht, wenn man an $b$ die Zahl $c$ anhängt

Setze $h$ als Zahl, die aus so vielen 9-en besteht, wie die Zahl $c$ Stellen hat und $x$ setze man für die Anzahl der Stellen der Zahl $b$. Man erhält $N:=h\cdot 10^{x}$

Dritter Schritt

Der gewünschte Bruch ist $a+{\frac {Z}{N}}$ und zusammengefasst: ${\frac {a\cdot N+Z}{N}}$

Beispiel

$12,6{\overline {423}}$ subtrahiere erst $12$ und erhalte $0,6{\overline {423}}$.
Errechne $Z=6423-6=6417$ und $N=999\cdot 10^{1}$
und erhalte:
$12+{\frac {6417}{9990}}={\frac {126297}{9990}}={\frac {14033}{1110}}$

Zusammengefasst

Falls $b$ verschwindet, so setze für $b$ den Wert: $b={\frac {1}{10}}$

~

Es ergibt sich die Formel für den Bruch

$d=a+{\frac {\lfloor b\rfloor }{10^{\lfloor \lg(b)\rfloor +1}}}+{\frac {c}{10^{\lfloor \lg(b)\rfloor +1}\left(10^{\lfloor \lg(c)\rfloor +1}-1\right)}}$

~

Dieser Formel kann man jedoch keinen direkten Bruch mit explizitem Nenner und Zähler entnehmen. Eine Umformung liefert dafür:

$d={\frac {\left(10^{\lfloor \lg(c)\rfloor +1}-1\right)\left(10^{\lfloor \lg(b)\rfloor +1}a+\lfloor b\rfloor \right)+c}{10^{\lfloor \lg(b)\rfloor +1}\left(10^{\lfloor \lg(c)\rfloor +1}-1\right)}}$