Benutzer:Cspan64/Partielle Integration

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  • eine Funktion leicht integrierbar, z.B.:
  • Polynome: (der Grad nimmt zu)
  • Exponentialfunktion: (bleibt unverändert)
  • Sinus und Cosinus gehen zyklisch ineinander über:

, , ...

  • andere Funktion wird durch Differenzieren vereinfacht
  • Polynome: (der Grad nimmt ab)
  • insbesondere verschwindet identisch.
  • Logarithmus



Den Umstand, dass jeder arithmetische Ausdruck beliebig oft den unsichtbaren Faktor 1 beinhaltet, kann man ausnutzen, um die partielle Integration darauf anzuwenden.

Beispiel:

'Phönix aus der Asche'

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'Phönix durch die Brust ins Auge'

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Aufgabe: Berechnen Sie irgendwie:

Dem mit dem Hammer ist alles ein Nagel und ich stehe auf partielle Integration:

Also fangen wir an:

Nun gut, kann man das weiter abräumen? Glücklicherweise hilft die wohlbekannte Beziehung aus der Grundschule: ;o)

Damit gilt:

Setzen wir ein:

Hurra, da steigt ein Phönix aus der Asche, allerdings nur zum Teil, sozusagen ein Flügel:

Immerhin ist das Problem ein Stück weit abgeräumt und lässt sich zurückführen auf die Aufgabe:

Berechnen Sie irgendwie:

Wohlan:

Und wieder hilft das 'Grundschulwissen':

Setzen wir ein:

Wie schön! Da hüpft der zweite halbe Phönix aus der Asche:

Nun kommen wir zum Endspurt:

Und damit:

Mathematik macht einfach Spaß! :o)