Benutzer:Filomusa/Archiv
[… Vorspann …] Die Namensgebung wurzelt in einem traditionellen Verständnis der Algebra als der Lehre von Gleichungen höheren Grades mittels „Buchstabenrechnen“.[1][2]
Beweisvarianten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zu Gauß Beweis von 1815:
- Induktiver Beweis für reell abgeschlossene Körper
- Artins Beweis nach Serge Lang mit Hilfe von Sylow-Gruppen
Induktiver Beweis mit algebraischen Methoden und dem Zwischenwertsatz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Grundidee der Beweise dieses Abschnittes geht zurück auf Carl Friedrich Gauß (1815), dessen Beweis daher als erster dargestellt ist.[Anm 1] Aus modernerer Sicht beruht er auf Argumenten aus der algebraischen Theorie der formal reellen Körper. Die nachfolgenden Beweisvarianten lassen dies erkennen und insbesondere, dass der Zwischenwertsatz, der einen topologischen Körper benötigt, durch eine lediglich algebraische Voraussetzung ersetzt werden kann. Deren Gültigkeit für nachzuweisen, erfordert jedoch nicht-algebraische Methoden (wie den Zwischenwertsatz).
Beweis nach Gauß 1815
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein solcher Beweis wurde 1815 von Gauß präsentiert. Es wird benutzt, dass nach dem Zwischenwertsatz jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat sowie dass quadratische Gleichungen, auch mit komplexen Koeffizienten, elementar lösbar sind. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz des Faktors im Grad des Polynoms.
Es sei zunächst quadratfrei und mit reellen Koeffizienten vorausgesetzt. Der Grad habe eine Faktorisierung mit ungerade. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz des Faktors im Grad des Polynoms. Ist , so gibt es eine Nullstelle nach dem Zwischenwertsatz. Es sei nun im Induktionsschritt vorausgesetzt, dass und dass alle Polynome mit Graden bei ungeradem mindestens eine Nullstelle besitzen.
Es sei, der Einfachheit halber, ein (abstrakter) Wurzel- oder Zerfällungskörper des Polynoms konstruiert, in welchem es die paarweise verschiedenen (wiederum abstrakten) Nullstellen hat,
- .
In sei die Menge der Punkte , , betrachtet. Da die abstrakten Nullstellen paarweise verschieden sind, gibt es nur eine endliche Anzahl von Geraden, die durch mindestens zwei dieser Punkte verlaufen, insbesondere auch nur eine endliche Anzahl reeller Anstiege solcher Geraden, für welche die Differenz zweimal denselben Wert annimmt. Für alle anderen Werte von ist das Polynom
ebenfalls quadratfrei und symmetrisch in den abstrakten Nullstellen . Daher können die Koeffizienten von als Polynome in und den Koeffizienten von dargestellt werden, ist also für jedes reelle ein Polynom mit reellen Koeffizienten und kann mittels Resultanten aus bestimmt werden. Der Grad von beträgt , wobei eine ungerade Zahl ist, da ja (also ein gerades ) für den Induktionsschritt vorausgesetzt war. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es wenigstens eine komplexe Nullstelle mit . Aus den partiellen Ableitungen nach und in der Nullstelle können komplexe Zahlen und bestimmt werden, so dass mindestens eine der Nullstellen von eine Nullstelle von ist.
Hat auch echt komplexe Koeffizienten, so hat nur reelle Koeffizienten. Jede Nullstelle des Produkts ist Nullstelle eines Faktors, somit also selbst oder als komplex konjugierte Zahl eine Nullstelle von . Ist das nun reelle Polynom nicht quadratfrei, so kann mit Polynomarithmetik (u. a. euklidischer Algorithmus) eine Faktorisierung in (nichtkonstante) quadratfreie Faktoren gefunden werden, von denen jeder mindestens eine Nullstelle enthält.
Beweisvariante für reell abgeschlossene Körper durch Galois-Theorie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Idee des folgenden Beweis geht auf den soeben dargestellten Beweis von Carl Friedrich Gauss aus dem Jahre 1815 zurück.[3][4][5] Er ersetzt die Argumentationen aus der Theorie symmetrischer Polynome durch Argumente aus der Galois-Theorie. Der Zwischenwertsatz bleibt Grundlage für den Induktionsanker. Dabei wird erkennbar, dass lediglich eine algebraische Eigenschaft des Polynomringes benötigt wird. Ihre Gültigkeit folgt aus dem Zwischenwertsatz unter Zugrundelegung der „gewöhnlichen“ Topologie, obschon sie selbst keine Topologie voraussetzt (siehe unten stehende Eigenschaft „B-W“).
Der Fundamentalsatz wird gezeigt in der Form: Ein reelles irreduzibles Polynom hat eine Nullstelle in und zerfällt also über .
Zunächst bezeichne einen Körper – später wird zu betrachten sein – und ein irreduzibles separables Polynom vom Grade mit ungeradem , und seine Nullstellen in einem Zerfällungskörper seien mit bezeichnet, so dass es in in das Produkt zerfällt.
Wie oben wird Beweis durch Induktion nach geführt. Die Zurückführung von gelingt mit Hilfe von Argumenten aus dem Umfeld des Satzes vom primitiven Element wie folgt:
Konstruktion eines quadratischen Polynoms, das Nullstellen mit teilt
- Die Elemente sowie und allgemeiner haben für und beliebige höchstens den Grad über , denn ihr jeweiliges Minimalpolynom ist ein Teiler des Polynoms , wie nun begründet wird:
- Klar sind die Aussagen und .
- Die Behauptung, dass , lässt sich mit dem Hauptsatz der Galois-Theorie oder aber mit demjenigen über elementarsymmetrische Funktionen begründen: Für jeden Automorphismus ist nämlich , woraus dank Galois-Theorie die Behauptung folgt. Unter Benutzung des Hauptsatzes über elementarsymmetrische Funktionen hingegen folgt sie aus der (noch stärkeren) Tatsache, dass das Polynom (darüber hinaus sogar) jede Permutation der Wurzeln untereinander gestattet.[Anm 2]
Von nun habe der Körper unendlich viele Elemente, und es sei gesetzt.
- Dann kann derart gewählt werden, dass die (für ) paarweise verschieden sind (natürlich ist stets ), also insbesondere , sobald . Dann hat die Nullstellenmenge von genau Elemente, und ist irreduzibel, mithin Minimalpolynom eines jeden . Nach Wahl von und wegen lassen nur die Identität und die Transposition das Element fest, und diese beiden lassen auch und fest. Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie ist also .[Anm 3]
- Somit ist ein Zwischenkörper der Erweiterung vom Grade bestimmt, wobei ungerade für gerades ist.[Anm 4]
- Das Polynom hat (nach dem Vietaschen Wurzelsatz) die Nullstellen und . Es ist also ein quadratisches Polynom über einem Zwischenkörper vom Grade gefunden, welches mit zwei Nullstellen gemein hat.[Anm 5]
Die Vervollständigung des Beweises durch Induktion ermöglichen die folgenden Eigenschaften, die für einen reell abgeschlossenen Körper kennzeichnend sind und welche der Körper erfüllt. Um die Gültigkeit dieser besonderen Eigenschaften für den Körper hervorzuheben, notieren wir ihn fortan als .
- Eigenschaft „Pos“: Der Körper besitzt eine Anordnung, ist also ein angeordneter Körper.
- Folgerung: Quadrate und Quadratsummen sind niemals negativ, insbesondere sind die Eins und ihre Vielfachen positiv.
- Folgerung:
- Folgerung: ist vollkommen und unendlich.
- Folgerung: Die Anordnung eines angeordneten Körpers induziert auf ihm eine Bewertung bzw. einen Betrag und somit die Struktur eines topologischen Körpers. (Diese Folgerung wird zum Beweis nicht benötigt. An die Stelle der Argumentation mit Hilfe des Zwischenwertsatzes tritt nämlich die rein algebraische Eigenschaft „B-W“.)
- Eigenschaft „P=Q“: Positive Elemente aus sind Quadrate.
- Folgerung: Jedes Element aus ist ein Quadrat.
- Folgerung: Daher zerfällt jedes quadratische Polynom über .
- Eigenschaft „B-W“: Polynome ungeraden Grades über haben (mindestens) eine Nullstelle in , spalten also einen Linearfaktor ab.
- Anmerkung: Im Falle folgt dies wegen Leitkoeffizienten von aus der Aussage des Nullstellensatzes von Bolzano-Weierstraß (Zwischenwertsatz) angewandt auf Polynome ungeraden Grades. (Dabei wird die Topologie zugrunde gelegt, welche die Anordnung mit sich bringt.)
Behauptung: ist algebraisch abgeschlossen.
Beweis durch Induktion nach : Den Induktionsanker bei liefert Eigenschaft „B-W“. Für den Induktionsschritt sei nun , so dass der Grad gerade und das Produkt ungerade sind. Dann zerfällt gemäß der seinen Grad betreffenden Induktionsvoraussetzung vollständig in Linearfaktoren über , von denen einer also ist. Daher ist , je nachdem, ob oder nicht. In beiden Fällen folgt mit Eigenschaft „P=Q“, dass , was zu zeigen genügt.[Anm 6]
Anwendung: Für ergibt sich der Fundamentalsatz der Algebra, sofern man die Eigenschaften „Pos“, „P=Q“ und (mit Hilfe des Zwischenwertsatzes) „B-W“ für bestätigt hat.
Beweisvariante nach Emil Artin durch Galois-Theorie und Sylow-Sätze
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Auch die nun folgende Beweisvariante setzt für den Grundkörper die Eigenschaften „Pos“, „P=Q“ und „B-W“ reell abgeschlossener Körper voraus, die im vorigen Abschnitt aufgeführt und im Falle des Körpers der reellen Zahlen erfüllt sind. Sie ersetzt die Konstruktion des Zwischenkörpers dank der Galois-Theorie durch Existenzsätze aus der Gruppentheorie (Sylow-Sätze). Auf diese Weise tritt die Induktion nicht mehr in Erscheinung, da sie im Beweis der Sylow-Sätze aufgehoben ist. Die Grundideen dieses Beweises gehen, wie Serge Lang[6] anmerkt, auf Carl Friedrich Gauss zurück (vgl. obigen Beweis nach Gauß 1815). Emil Artin habe ihn – im Wesentlichen unter Verwendung der Sylow-Sätze – variiert.
Es bezeichne die durch Adjunktion von entstehende quadratische Erweiterung von .
Behauptung: Der Körper gestattet keine endlichen Erweiterungen außer der trivialen . Für ergibt sich der Fundamentalsatz der Algebra.
Zum Beweis: Es sei also eine endliche Erweiterung gegeben. Sie lässt sich, da vollkommen ist, einbetten in eine Galois-Erweiterung mit Galois-Gruppe . Dabei ist bekanntlich auch eine Galois-Erweiterung. Zu zeigen ist .
- Der zu einer 2-Sylow-Gruppe gehörige Fixkörper hat also ungeraden Grad über , wird also von einem primitiven Element erzeugt, dessen Minimalpolynom ungeraden Grad hat und wegen Eigenschaft „B-W“ (und nach Wahl von als 2-Sylow-Gruppe) also linear ist! Daher sind und , und die Galois-Gruppe ist ihre eigene 2-Sylow-Gruppe. – Wenn also mit ungeradem , dann ist somit gezeigt. Die Erweiterung hat also den Grad .
- Nun sei die zu gehörige Untergruppe von , also die Galois-Gruppe , so dass und .
- Ist , d. h. , so ist und enthält eine maximale 2-Gruppe , also der Ordnung . (Für den Fall sei die triviale Möglichkeit gestattet.) Der zu gehörige Fixkörper hätte also den Grad , wäre somit eine quadratische Erweiterung von , was auf den Widerspruch der Eigenschaft „P=Q“ stößt.
- Es folgt insgesamt , d. h. , was zu beweisen war.
Beweis mit Hilfe des Satzes von Gelfand-Mazur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Fundamentalsatz der Algebra folgt aus dem Satz von Gelfand-Mazur (Lemma über das Spektrum), nämlich aus der Tatsache, dass das Spektrum eines Elementes einer komplexen Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist: Denn ein Polynom vom Grade ist charakteristisches Polynom seiner Begleitmatrix . Dabei ist ein (triviales, da endlichdimensionales) Beispiel einer Banachalgebra, und das Spektrum der Matrix besteht genau aus ihren Eigenwerten, das heißt aus den komplexen Nullstellen von . Dass diese Menge nicht leer ist, ist gerade die Aussage des Fundamentalsatzes der Algebra.
Beachtet man, dass eine endliche Körpererweiterung eine komplexe Bachachalgebra ist und somit die Voraussetzungen des Satzes von Gelfand-Mazur erfüllt, so erscheint der Fundamentalsatz der Algebra (gar als ein elementares Beispiel des Satzes von Gelfand-Mazur) in der Form: Der Körper besitzt keine echten endlichen Körpererweiterungen.
Notabene: Sowohl der Satz von Gelfand-Mazur als auch der Fundamentalsatz der Algebra können mit dem Satz von Liouville bewiesen werden. In den Beweis des Satzes von Gelfand-Mazur fließen im Falle einer Banachalgebra unendlicher Dimension transfinite Methoden (Lemma von Zorn, Auswahlaxiom) in Gestalt des Satzes von Hahn-Banach ein. Für den Fundamentalsatz der Algebra freilich ist dies ein „überdimensioniertes“ Argument.
Der folgende bewertungstheoretische Beweis nach Helmut Brückner führt den Fundamentalsatz der Algebra nicht auf den Satz von Gelfand-Mazur zurück, sondern auf den schwächeren Vollständigkeitssatz von Ostrowski, der sich elementar beweisen lässt.
Bewertungstheoretischer Beweis nach H. Brückner
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Helmut Brückner bemerkte 1990, dass sich der Fundamentalsatz der Algebra mittels einer Beweisidee von Wulf-Dieter Geyer[7] und eines Rechenkniffs von Emil Artin[8] auf den „Vollständigkeitssatz“ von A. Ostrowski[9] zurückführen lässt.[10]
Der erwähnte Vollständigkeitssatz von Ostrowski betrachtet vollständige archimedisch bewertete Körper und lautet: Jeder Körper, der bezüglich eines archimedischen Betrages vollständig ist, ist algebraisch und topologisch isomorph zum Körper der reellen Zahlen oder zum Körper der komplexen Zahlen. Mit anderen Worten: Es gibt keine echte Körpererweiterung der komplexen Zahlen, auf welche der komplexe Absolutbetrag archimedisch fortgesetzt werden könnte.[11]
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass es keine echte endliche Körpererweiterung von gibt, und folgt daher aus dem oben erwähnten Satz von Ostrowski, sobald gezeigt ist, dass man einen archimedischen Betrag eines lokalkompakten Körpers (wie ) auf eine endliche Erweiterung fortsetzen kann, was W.-D. Geyers[7] Beweisidee, zusammen mit einem Rechenkniff Emil Artins[8], besorgt. Dies ist die Argumentation des Beweises von Helmut Brückner.
Fundamentalsatz der Algebra: Der Körper der komplexen Zahlen ist keiner echten endlichen Erweiterung fähig. Mit anderen Worten: Eine endliche Körpererweiterung ist notwendig trivial (das heißt: ).
Der Beweis gliedert sich in zwei Abschnitte: Abschnitt (G&A) zeigt die Fortsetzbarkeit des Absolutbetrages gemäß der Idee von Wulf-Dieter Geyer, flankiert von Emil Artins Trick. Damit ist der Satz auf den Vollständigkeitssatz von Ostrowski zurückgeführt, welcher sodann in Abschnitt (O) bewiesen wird, ohne die Endlichkeitsbedingung zu nutzen. Beides zusammen genommen ergibt den Fundamentalsatz der Algebra.
(G&A): Im ersten Beweisschritt betrachte allgemeiner – anstelle von – einen (nicht notwendig archimedisch) bewerteten lokalkompakten Körper , eine endliche Erweiterung vom Grade und zeige, dass durch der Absolutbetrag auf zu einem Absolutbetrag auf fortgesetzt wird.[12] Die Multiplikativität folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, insbesondere die Homogenität () aus für . Da auch positive Definitheit gegeben ist, bleibt die Dreiecksungleichung zu zeigen. Hierbei wird – getreu dem Hinweis von Wulf-Dieter Geyer[7] – ausgenutzt, dass es sich um lokalkompakte Körper handelt.[7]
- Es sei dazu die Maximumsnorm des komplexen Vektorraums bezüglich einer Basis.[Anm 7] (Normen endlichdimensionaler Vektorräume sind äquivalent.) Dann ist bezüglich der durch diese Maximumsnorm induzierte Metrik stetig, und ist kompakt. Nach dem Maximumprinzip (siehe auch Satz von Weierstrass) existieren also mit der Eigenschaft: für jedes .
- Hieraus und aus der Homogenität von folgt für jedes .
- Insbesondere für folgt daraus .
- Es folgt unmittelbar für beliebige .
Gilt dies sogar für , so liegt eine ultrametrische, d. h. nicht-archimedische Bewertung vor, für die neben der Dreiecksungleichung sogar die stärkere Ultradreiecksungleichung gilt. – Im Falle lässt sich mit Hilfe einer Rechnung nach Emil Artin[8] die Dreiecksungleichung folgern: Dies betrifft den archimedischen Fall, der Gegenstand des Fundamentalsatzes der Algebra ist.
- Induktiv ergibt sich für beliebige .
- Für gilt also: ,
- und im Grenzübergang folgt die Dreiecksungleichung , wie gewünscht.
- Damit ist gezeigt, dass die Erweiterung eine Erweiterung archimedisch bewerteter vollständiger Körper ist.
(O): Im zweiten Beweisschritt betrachte nun speziell und stelle zunächst fest, dass die Voraussetzungen des Vollständigkeitssatzes von A. M. Ostrowski für die Erweiterung gemäß (G) zutreffen. Folglich ist der Fundamentalsatz der Algebra nun auf diesen zurückgeführt – genauer gesagt: auf die (schwierigere) Teilaussage, dass keine echte vollständige archimedisch bewertete Körpererweiterung besitzt. Ihr Beweis benötigt die Endlichkeit der Erweiterung nicht und soll nun – Ostrowskis Originalarbeit[9] folgend – bewiesen werden. Ostrowski zeigt , indem er die Annahme zu einem Widerspruch führt.
- Wegen gilt zunächst für jedes
- einerseits (i) und
- andererseits (ii) .
- Folglich nimmt die stetige Funktion nach dem Maximumprinzip ihr globales Infimum auf dem Kompaktum an: . Nach Definition hängt nur von der „affinen Ebene“ in ab.
- Die „Sphäre“ ist also nicht leer, und bei geschickter Auswahl eines gilt sogar und .
- Denn für gilt trivialerweise . Speziell für und ergibt sich und insgesamt für jedes .
Von nun an sei gemäß Annahme ein ausgewählt, das heißt, es sei vorausgesetzt.[Anm 8] Ziel ist es, hieraus den Widerspruch abzuleiten.
- Dazu zeige die Zwischenbehauptung: Für und gilt .[Anm 9] Mit anderen Worten: .[Anm 10]
- Zu ihrem Beweis werden die -ten primitiven Einheitswurzeln (bspw. ) herangezogen: Für gilt
- .[Anm 11]
- Das Gleichheitszeichen „“ gilt nur nach Übergang vom allgemeinen zu jenem mit , der ohne Verlust des Wesentlichen möglich ist, wie zuvor begründet.[Anm 12]
- Sodann ist gemäß Hypothese () die Division durch möglich. Beachtet man dabei die Auswahl von , so erhält man insgesamt die Abschätzung mit Konvergenz .[Anm 13]
- Der Grenzübergang erzwingt die Gleichheit , also (bzw. ), wie behauptet.
- Aus dieser Behauptung folgt induktiv[Anm 14] für beliebiges und , das heißt und mithin .[Anm 15]
- Dies steht jedoch im Widerspruch zur Tatsache, dass ein archimedischer Betrag ist, für den gilt: , sobald nur .
Somit ist die Annahme widerlegt und der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra erbracht.
Anmerkung:
- Es kann leicht gezeigt werden, dass die in (G) angegebene Fortsetzung des Absolutbetrages die einzig mögliche ist.
Vollständigkeitssatz von Ostrowski und reell abgeschlossene Körper
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Vollständigkeitssatz von Ostrowski besagt, dass ein vollständiger archimedisch bewerteter Körper entweder mit oder mit topologisch und algebraisch identifiziert werden kann. Um also den Beweis dieses Satzes zu vollenden, muss nur noch angemerkt werden, dass notwendig , da der topologische Abschluss (Vervollständigung) des Primkörpers eines archimedisch bewerteten Körpers ist. Also wähle man als Grundkörper und mache sich klar, dass für die Erweiterung nur entweder (trivialerweise) oder (nach dem obigen Beweis) in Frage kommen: Denn die quadratische Erweiterung bietet keinen Platz für echte Zwischenkörper. Dies ist der Vollständigkeitssatz von Ostrowski über vollständige archimedisch bewertete Körper. Welcher der beiden Fälle vorliegt, entscheidet sich an der Frage, ob eine (und damit jede) der folgenden, für den hier betrachteten (vollständigen archimedisch bewerteten) Körper äquivalenten Bedingungen[Anm 16] erfüllt ist oder nicht:
- Der Körper enthält nicht jede Einheitswurzel.[Anm 17]
- Das Element ist in kein Quadrat.
- Das Element ist in keine Quadratsumme.
- In verschwindet eine Quadratsumme nur dann, wenn jeder Summand verschwindet.
- Das Polynom ist über irreduzibel.
- Es gibt ein nicht-lineares, über irreduzibles Polynom.[Anm 18]
- Der Körper ist formal reell.
- Der Körper ist reell abgeschlossen.
- Der Körper verfügt über eine Anordnung.
- Der Betrag auf wird von einer Anordnung auf induziert.
- Die „Einheits-Sphäre“ enthält nur zwei Elemente.[Anm 19]
- Bezogen auf die (sogar eindeutig) existierende Anordnung auf gelten die beiden Eigenschaften:
- Eigenschaft „P=Q“: Positive Elemente sind Quadrate in .
- Eigenschaft „B-W“: Polynome ungeraden Grades über haben eine Nullstelle in , spalten also einen Linearfaktor ab.
- Es gibt eine Einbettung topologischer (angeordneter) Körper.[Anm 20]
Hieran wird deutlich, wie eng der bewertungstheoretische Beweis nach H. Brückner und der Vollständigkeitssatz von Ostrowski mit der Theorie formal reeller Körper und der obigen Beweisvariante für reell abgeschlossene Körper durch Galois-Theorie zusammenhängen – und letztlich auch mit dem Beweis von Gauß von 1815, der auf Vorarbeiten von Euler, Laplace und Lagrange beruht und genau diese Argumente heranzieht.
Zusammenhang mit dem Satz von Gelfand-Mazur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der erwähnte Vollständigkeitssatz von Ostrowski steht in engem Zusammenhang mit dem Satz von Gelfand-Mazur über die Tatsachen,
- dass das Spektrum einer komplexen Banach-Algebra mit Einselement nicht leer ist und
- dass eine komplexe Banach-Algebra, die ein Schiefkörper ist, mit dem Körper identifiziert werden kann.
Beide Sätze, sowohl der Satz von Gelfand-Mazur als auch der Fundamentalsatz der Algebra, lassen sich mit dem Satz von Liouville beweisen. Der Fundamentalsatz der Algebra ist eine elementare Anwendung des Satzes von Gelfand-Mazur, der Banachalgebren beliebiger Dimension betrachtet und daher zu seinem Beweis transfinite Methoden (Satz von Hahn-Banach) benötigt.
Der Satz von Gelfand-Mazur verallgemeinert den erwähnten Vollständigkeitssatz von Ostrowski auf komplexe Banachalgebren und liefert somit eine Verallgemeinerung in zweierlei Hinsicht: Banachalgebren müssen nicht kommutativ sein, und ihre Normen unterliegen schwächeren Anforderungen als Absolutbeträge von Körpern.[Anm 21]
Beweisvariante mit Cauchyschem Integralsatz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beweisvariante mittels des Cauchyschen Integralsatzes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Beweisvariante unter Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes findet sich bei Bartel Leendert van der Waerden[13]:
Unter der Annahme, dass für die Polynomfunktion gelte, setze und betrachte definiert durch für und stetig fortgesetzt bei dank . Mit sind – gemäß Annahme – auch und auf der gesamten Ebene holomorph, das heißt ganze Funktionen. Also verschwindet nach dem Cauchyschen Integralsatz das Weg-Integral über eine Kreislinie mit Radius um den Nullpunkt, und mittels Kreislinienparametrisierung[Anm 22] kommt:
Nun gibt es zu jedem beliebig gegebenem einen genügend großen Radius , so dass für den Integranden auf gilt, und für das Integral folglich . Hieraus folgt , was auf den Widerspruch stößt.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Originalliteratur und Literatur vor 1932
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Carl Friedrich Gauß: Methodvs nova integralivm valores per approximationem inveniendi. Dieterich, Göttingen 1815, (Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree. (PDF; 190 kB) (engl. Übersetzung des Originals)). Korrigierter Link: PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 31. Mai 2021. Siehe auch Literatur im Artikel zur Gauß-Quadratur.
- Karl Weierstraß: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. In: Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1891 (Juni bis December), S. 1085–1101, bbaw.de. Korrigierte, aktuelle Links: digilab.bbaw.de, de.wikisource.de, www.biodiversitylibrary.org, zdb-katalog.de/title.xhtml, sämtlich abgerufen am 31. Mai 2021.
- Heinrich Weber: Lehrbuch der Algebra I. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1895, PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 30. Mai 2021. Beweise des Fundamentalsatzes in § 38 (rein analytischer Beweis, vgl. den Abschnitt „Rein analytischer Beweis“) und in § 98 Gauss' erster Beweis (mit Hilfe des Sturmschen Lehrsatzes).
- Marie Ennemond Camille Jordan: Cours d'Analyse, Tome I (Calcul Différentiel). 3me édition, Gauthier-Villars, 1909. Reproduktion: 1991 Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-018-7. Siehe PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 29. Mai 2021.
- Hermann Weyl: Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik. In: Mathematischen Zeitschrift, Bd. 20, (1924), ab Seite 131. Siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 29. Mai 2021. Darin ab Seite 142 ein intuitionistischer Beweis des Fundamentalsatzes (Abschnitt II Fundamentalsatz der Algebra und Grundlagen der Mathematik).
- Alexander M. Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung . In: Acta Mathematica 41 (1918). April 1916, S. 271–284, abgerufen am 6. Januar 2023.
- Siehe auch doi:10.1007/BF02422947 oder direkt im Project Euclid
- Reinhold Baer (Halle) und Helmut Hasse (Marburg): Zusammenhang und Dimension topologischer Körperräume. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle-Journal), Band 167 (1931). 5. Mai 1931, S. 40–45, abgerufen am 4. Januar 2023.
Der Satz über die Existenz einer Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung besagt, dass es eine Basis des -Vektorraums gibt, die sich als Bahn eines geeigneten Elementes unter der Operation der Galois-Gruppe ergibt. Ein solches Element heißt erzeugendes oder freies Element der Galois-Erweiterung , seine Bahn eine Normalbasis von .
Der Name rührt daher, dass (vor allem gemäß älterem, klassischem Sprachgebrauch) Galoiserweiterungen als „normal und separabel“ bezeichnet wurden.[Anm 23] Gemäß dieser Konvention heißt also eine Erweiterung normal, wenn den Zerfällungskörper („Wurzelkörper“) eines jeden enthält und also das Minimalpolynom jedes über in Linearfaktoren zerfällt, mit anderen Worten: Dank der Normalität liegen die über Konjugierten eines jeden (das heißt die übrigen Nullstellen seines Minimalpolynoms) sämtlich in , und operiert auf , d. h., ist ein -Modul. Separable normale Körpererweiterungen sind Galoiserweiterungen, und eine Normalbasis der Galoiserweiterung ist eine Basis des -Vektorraums , die als Bahn aus seiner -Modul-Struktur hervorgeht.
In der Sprache der Darstellungstheorie endlicher Gruppen formuliert liefert der Satz von der Existenz einer Normalbasis die Erkenntnis, dass die natürliche Darstellung , die durch die Operation von auf gegeben ist, äquivalent (isomorph) zur regulären Darstellung von ist, mit anderen Worten: und sind als -Linksmoduln isomorph. So liefert Zyklizität von diejenige von , also ein Element , dessen Bahn eine -Basis ist.
Für zyklische Erweiterungen erscheint dieser Satz als eine Anwendung der Klassifikation endlich erzeugter Torsionsmoduln über Hauptidealringen (Elementarteilersatz). Diese Betrachtungsweise ist also insbesondere für endliche Körper und zyklische Kummer-Erweiterungen fruchtbar. Zugleich wird deutlich, dass weitere Existenzsätze – nämlich der Satz von der Existenz einer Primitivwurzel modulo einer Primzahl und allgemeiner der Satz über die Zyklizität endlicher Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers – demselben Argumentationsschema folgen: Im einen Fall geht es um den Nachweis, dass ein endlich erzeugter (sogar ein endlicher) Torsionsmodul über den ganzen Zahlen (nämlich eine endliche abelsche Gruppe) zyklisch ist, im anderen Falle um den Nachweis, dass ein endlich erzeugter Torsionsmodul über zyklisch ist. Kriterium für Zyklizität ist, dass Annullator und charakteristischer Divisor übereinstimmen.
Für unendliche Körper gab Emil Artin einen Beweis, der auf der Betrachtung der Determinante eines Matrizenpolynoms beruht: Setzt man für die Unbestimmte ein primitives Element der Galoiserweiterung ein, so geht die zugehörige Matrix über in die Permutationsmatrix, mit welcher die Inversion die Elemente von permutiert. Da das Polynom folglich nicht identisch verschwindet, muss es auch über dem unendlichen Grundkörper Stellen geben, an denen es nicht verschwindet, so dass die zugehörige Matrix regulär ist.
Für den Existenzbeweis im zyklischen Falle spielt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind eine Schlüsselrolle, dessen Aussage deshalb im Rahmen der Vorüberlegungen zum Beweis für den zyklischen Fall spezifiziert wird. Zugleich vermag der Unabhängigkeitssatz für Elemente ein Matrixkriterium dafür zu liefern, wann ihre Bahnen Normalbasen sind: Dies wird im darstellungstheoretischen Zusammenhang des Erweiterungskörpers beleuchtet und später im Existenzbeweis genutzt.
Es ist jedoch auch möglich, den Satz über die Existenz einer Normalbasis auf die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt zurückzuführen. Diese Beweisführung beruht ebenfalls auf dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind und lässt die Mächtigkeit des Grundkörpers unberücksichtigt.
Mit Hilfe einer Normalbasis lässt sich der Zusammenhang zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und den zugehörigen Fixkörpern – Zwischenkörpern der Galois-Erweiterung – leicht beschreiben. Im Zuge der Untersuchungen zur Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung und der Kreisteilungskörper geschah dies schon in der klassischen algebraischen Zahlentheorie, wie im Zahlbericht David Hilberts (1897) nachzulesen ist: In diesen Zusammenhang gehören die Lagrangesche Resolvente und die Gaußschen Perioden, die den mathematischen Hintergrund bei der Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks darstellen.
Die Existenz einer Normalbasis erlaubt für die Kryptographie auf elliptischen Kurven eine nützliche Anwendung, um den Rechenaufwand zu optimieren.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei eine galoissche Körpererweiterung mit Galoisgruppe endlichen Grades , und bezeichne eine Basis von (als Vektorraum) über . Die Basis heißt eine Normalbasis der Galois-Erweiterung , wenn die Automorphismen von – als auf eingeschränkte Abbildungen – eine Operation auf induzieren, das heißt, wenn sie Basiselemente permutieren. Gemäß Galoistheorie sind hierzu äquivalente Bedingungen:
- Für jedes ist .
- Für jedes und jedes ist .
- Die Basis ist mit der Bahn eines identisch: .
Ein solches Element mit diesen Eigenschaft heißt Erzeuger oder erzeugendes Element einer Normalbasis oder freies Element der Galoiserweiterung .[14]
Für ein Element sind also äquivalent:
- Das Element erzeugt eine Normalbasis von .
- Die Bahn ist eine Normalbasis.
- Die Bahn enthält Elemente und ist linear unabhängig über .
- Die Bahn spannt über den Raum auf.
Zusammenhang mit dem Gruppenring über dem Grundkörper
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Galois-Gruppe einer Galois-Erweiterung induziert auf in naheliegender Weise zunächst die Struktur eines Links-Moduls über dem (nicht notwendig kommutativen) Gruppenring . In der Sprache der Darstellungstheorie lässt sich dasselbe so ausdrücken: Jede Galois-Erweiterung induziert eine Darstellung der Galoisgruppe , indem Automorphismen aus als Endomorphismen auf dem -Vektorraum aufgefasst werden.
Dabei sind äquivalent:
- Es gibt einen Isomorphismus von Links-Moduln über dem Gruppenring zwischen dem Erweiterungskörper und der Gruppenalgebra :
- Der Erweiterungskörper ist als -Links-Modul zyklisch, d. h.:, es gibt ein mit
- Die Erweiterung besitzt eine Normalbasis.
Ist nämlich ein solcher Isomorphismus, so setze . Dann ist .
Dabei operiert die Galoisgruppe auf als reguläre Darstellung.
Jeder Isomorphismus von -Links-Moduln vermittelt also eine Normalbasis von – und umgekehrt. Denn es gilt folgender
Satz (Matrixkriterium für Erzeuger einer Normalbasis): Es sei eine Galois-Erweiterung mit der Galoisgruppe . Dann sind für ein äquivalent:
- Das Element erzeugt eine Normalbasis für .
- Die Bahn ist eine Normalbasis von .
- .
- Die (eindeutige) Fortsetzung der Substitution zu einer -linkslinearen Abbildung von Linksmoduln über ist surjektiv und also ein Isomorphismus von -Linksmoduln. (Denn eine solche Fortsetzung ist zugleich ein Homomorphismus von Vektorräumen derselben endlichen Dimension über .)
- Die Matrix ist regulär.
Begründung für das Matrix-Kriterium: Der Umstand, dass ein Vektorraum-Homomorphismus durch seine Werte auf einer Basis eindeutig festgelegt ist, liefert zusammen mit dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Erkenntnis, dass für eine Basis von und Koeffizienten die Implikation gilt:
- .
Diese Implikation bedeutet aber, dass für eine Normalbasis die angegebene Matrix regulär ist. Ist umgekehrt[Anm 24] diese Matrix für ein regulär, so liefert der Ansatz mit Koeffizienten für jedes die Gleichung , also ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten, zu welcher die reguläre Matrix gehört, so dass für jedes folgt. Also impliziert die Regularität der Matrix die lineare Unabhängigkeit der Bahn .
Demzufolge ist eine Normalbasis gefunden, sobald ein gefunden ist, für welches die Matrix regulär ist. Genau dies ist die Idee des Beweises für den Fall eines unendlichen Grundkörpers.
Notabene: Dass und als Linksmoduln über dem Gruppenring isomorph sind, bedeutet nicht, dass sie auch als Algebren über isomorph sind. Ein offensichtliches Gegenbeispiel liefert jede nicht-abelsche Galoiserweiterung.
Anmerkung 1: Dass als Modul über zyklisch ist, ist trivial. Bemerkenswert ist die Zyklizität über .
Anmerkung 2: Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind besagt für eine endliche Körpererweiterung , dass der Gruppenring als -Unterraum von ( als Vektorraum über betrachtet)[Anm 25] die Dimension hat, so dass insgesamt folgt: . Äquivalent sind also:
- ist galoissch.
- .
- als -Vektorräume.
- als -Vektorräume.
Anmerkung 3: Für eine endliche Körpererweiterung und die Gruppe der relativen Automorphismen gilt, wenn den Dualraum des -Vektorraums bezeichnet, allgemeine Aussagen über die Isomorphie von Tensorprodukträumen:
- einerseits und
- andererseits.
Auch dies zeigt die obigen beiden Kriterien dafür, dass eine Galois-Erweiterung ist. Doch lässt sich aus der Vektorraum-Isomorphie nicht ohne Weiteres die Isomorphie als Links-Moduln über dem Gruppenring folgern.
Der Satz von der Existenz einer Normalbasis aber behauptet demnach, dass eben diese Folgerung doch zutreffend ist: Es sei eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe . Dann gilt:
- als -Vektorräume als -Linksmoduln.
Der Beweis ist jedoch zu erbringen.
Anmerkung 4: Da die umgekehrte Implikation trivial ist, liefert die Satz von der Existenz einer Normalbasis also bei gleichen Voraussetzungen die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
- ist endliche Galois-Erweiterung.
- .
- als endlichdimensionale -Vektorräume.
- als endlichdimensionale -Vektorräume.
- als -Linksmoduln.
Anmerkung 5: Dabei sind für jedes äquivalent:
- ist zyklische Galois-Erweiterung mit und .
- als -Vektorräume endlicher Dimension.
- als -Vektorräume endlicher Dimension.
- Minimalpolynom und charakteristisches Polynom von haben gleichen Grad, d. h., sind (als normierte Polynome) gleich.
- als -Linksmoduln und .
Die Aussage über das Minimalpolynom ist der springende Punkt beim Beweis des Satzes über die Existenz einer Normalbasis für den zyklischen Fall, wie dort genauer erläutert wird.
Folgerungen bei Existenz einer Normalbasis
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Angenommen, die Galois-Erweiterung mit Galoisgruppe besitze eine Normalbasis in Gestalt der Bahn von .
- Dann besitzt auch über jedem Zwischenkörper eine Normalbasis, und diese ergibt sich aus den Nebenklassen der zum Zwischenkörper gehörigen Untergruppe: Denn ist die zum Zwischenkörper gehörige Untergruppe, dann ist nach Galois-Theorie der Fixkörper unter den Automorphismen der Untergruppe , das heißt: Die Automorphismen werden die Koordinaten der Elemente bezüglich der Normalbasis von nicht verändern. Das bedeutet jedoch, dass die Koordinaten solcher innerhalb jeder Rechtsnebenklasse übereinstimmen müssen, denn sie werden innerhalb dieser Rechtsnebenklassen permutiert, das heißt: für jedes . Also bilden die Summen eine Basis der Teilerweiterung , wobei diese Summe über jeder der disjunkten Rechtsnebenklassen von in zu bilden ist. Bezeichnet also die Menge dieser disjunkten Rechtsnebenklassen, so ist . Beachte: Dies ist keine Normalbasis, denn dies würde zumindest erfordern, dass galoissch oder, was dasselbe bedeutet, dass Normalteiler ist.[15]
- Ist dabei sogar Normalteiler (also Galois-Erweiterung mit zu isomorpher Galoisgruppe), so ist und der Zwischenkörper ist die Summe . Daher ist die Spur ein Erzeuger einer Normalbasis für .[Anm 26]
- Spezialfall Kreisteilungskörper und abelsche Zahlkörper: Für Kreisteilungskörper , die Zerfällungskörper des -ten Kreisteilungspolynoms über , stellt die Menge der primitiven -ten Einheitswurzeln eine Normalbasis dar, da sie sämtlich untereinander konjugiert sind, d. h., unter der Operation der Galois-Gruppe bilden sie eine Bahn: . Tatsächlich ist operiert die Galoisgruppe scharf transitiv auf ihnen, besteht daher genau aus den Substitutionen der primitiven Einheitswurzeln durcheinander und ist somit isomorph zu von der Ordnung . Nach dem Satz von Kronecker/Weber (vulgo „Jugendtraum von Kronecker“) liegt jede abelsche Körpererweiterung (also jeder absolut abelsche Zahlkörper) in einem geeignet gewählten Kreisteilungskörper: , sobald geeignet gewählt ist.[Anm 27] Für die Fixgruppe ist dann und mit und . Für eine abelsche Körperweiterung lässt sich also, wie oben beschrieben, aus den -ten primitiven Einheitswurzeln (als einer Normalbasis von ) eine Normalbasis von konstruieren: Mit jeder der Nebenklassen geht eine -gliedrige Gaußsche Periode einher, nämlich . David Hilbert nennt die aus den Gaußschen Perioden bestehende Normalbasis eine Lagrangesche Normalbasis, denn mit ihr in engem Zusammenhang steht die Lagrangesche Resolvente oder Lagrangesche Wurzelzahl: David Hilbert: Zahlentheorie Kapitel 7.24, § 110.
Im Folgenden werden jedoch die allgemeinen Beweise für die Existenz einer Normalbasis skizziert.
Satz über die Existenz einer Normalbasis für Galois-Erweiterungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein galoisscher Erweiterungskörper endlichen Grades über seinem Grundkörper besitzt eine Normalbasis.
Äquivalent formuliert: Für eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe und den zugehörigen Gruppenring gilt:
- Wenn es einen Isomorphismus von Vektorräumen über gibt, so gibt es auch einen Isomorphismus von Linksmoduln über dem Gruppenring ; mit anderen Worten: Gilt , so ist der Erweiterungskörper als -Linksmodul zyklisch.
Beweis der Existenz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Bemerkenswerterweise kann der Beweis für einen endlichen Grundkörper auf gänzlich andere Weise geführt werden als für einen unendlichen Grundkörper : Im Falle eines endlichen Grundkörpers ist die Galois-Erweiterung gemäß Galois-Theorie zyklisch. Zum Beweis der Existenz einer Normalbasis ist diese Eigenschaft bereits hinreichend, und durch sie wird der Satz über Existenz einer Normalbasis eine bloße Folgerung aus der Elementarteilertheorie für Hauptidealringe, d. h., aus dem Strukturhauptsatz für Moduln über Hauptidealringen. Diese Beweisführung ist also bei endlichem Grundkörper und bei Kummerschen Erweiterungen anwendbar.
Der Beweis im nicht-zyklischen Falle gelingt – nach einer Idee von Emil Artin – mit Mitteln der Linearen Algebra, indem die Unendlichkeit des Grundkörpers explizit herangezogen wird.
Schließlich gibt es auch einen Beweis unter Verwendung des Satzes von Krull-Remak-Schmidt, welcher von Max Deurings Ideen inspiriert ist und die Mächtigkeit des Grundkörpers ignoriert. Auch dieser Beweis stützt sich wesentlich auf den Unabhängigkeitssatz von Dedekind. Der Struktursatz von Krull-Remak-Schmidt gestattet, unmittelbar auf die Isomorphie als -Links-Moduln zu schließen.
Alle drei Beweise werden im Folgenden wiedergegeben, beginnend mit dem zuletzt erwähnten.
Allgemeiner Beweis mit Hilfe des Satzes von Krull-Remak-Schmidt
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für diesen Beweis[16] spielt die Mächtigkeit Grundkörpers keine Rolle. Er ist von Max Deurings Beweis inspiriert und beruht auf der Grundidee, den -Linksmodul der Endomorphismen des -Vektorraums auf zwei Arten zu zerlegen und auf diese Zerlegungen die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt anzuwenden.
Vorüberlegungen: Es sei also eine Galoiserweiterung vom Grade mit Galoisgruppe . Der -Vektorraum der Endomorphismen auf dem -Vektorraum ist mit der Komposition „“ zugleich eine -Algebra. Also induziert sie für jede Untergruppe ihrer Einheitengruppe eine Operation von auf von links durch Nachschalten und von rechts durch Vorschalten der Elemente von : Das bedeutet, dass zu einem -Bimodul wird, insbesondere für die Untergruppe :
- mit .
Der Satz betrifft die Links-Modulstruktur über , daher wird diese im Beweis von Interesse sein.
Jedes Element liefert durch Multiplikation einen Endomorphismus und mithin eine Einbettung von -Algebren.[Anm 28]
Für bedeute mit dieser Identifikation und . Insbesondere für jedes gilt damit , und wegen folglich .
Zum Beweis: Es sei nun eine Basis des -Vektorraums und eine Basis des Dualraumes . Auf der linken Seite dieses Dualraums, aufgefasst als -Unterrraum von , operiert die Galoisgruppe wegen trivial: .
Die Zerlegung besteht daher sowohl in der Kategorie der -Vektorräume als auch in der Kategorie der -Linksmoduln.
Daraus folgt ferner , was freilich ohnehin klar ist, da .
Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind bilden die Automorphismen somit aus Dimensionsgründen eine -Basis von und liefern eine zweite Zerlegung , allerdings zunächst nur als Vektorräume über . Denn die Unterräume sind nicht invariant (stabil) unter der Links-Operation von , also keine -Links-Untermoduln[Anm 29] – im Gegensatz zu den Unterräumen .
Doch lassen sich die -Unterräume dieser Zerlegung weiter in -Unterräume zerlegen, und diese lassen sich in folgender Weise umgruppieren und zu -Links-Untermoduln zusammenfassen:
- .
Insgesamt bestehen also Isomorphismen von -Linksmoduln:
- .
Da sowohl als auch endlichdimensionale -Vektorräume sind, erfüllen sie als -Linksmoduln notwendig die Voraussetzungen des Satzes von Krull-Remak-Schmidt, welcher seinerseits auf die Isomorphie von -Linksmoduln schließen lässt.
Beweis im zyklischen Falle
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Nach den Überlegungen zum Zusammenhang mit dem Gruppenring (insbesondere Anmerkung 5) ist also zu zeigen:
Satz: Ist eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe , so sind für jedes äquivalent:
- ist zyklische Galois-Erweiterung mit und .
- als -Vektorräume endlicher Dimension.
- als -Vektorräume endlicher Dimension.
- als -Linksmoduln.
- Als -Linksmodul ist zyklisch.
Es ist dann .
Der weiter unten stehende Beweis wird im Wesentlichen in der Erkenntnis bestehen, dass jede der genannten Aussagen mit der folgenden Aussage äquivalent ist:
- ,
das heißt: Minimalpolynom (Annulatorpolynom) und charakteristisches Polynom sind gleich („Annullator und charakteristischer Divisor sind gleich“).
Um diese Argumentation nachzuvollziehen, bedarf es einiger Vorüberlegungen, die den geeigneten Blickwinkel schaffen.
Vorüberlegungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dies soll in diesem Abschnitt geschehen. Wesentliche Ingredienzen sind der Unabhängigkeitssatz von Dedekind sowie der Blick auf den Erweiterungskörper als einen Modul über dem prinzipalen Polynomring (gestiftet durch die Darstellung ), so dass der Elementarteilersatz anwendbar ist.
Unabhängigkeitssatz von Dedekind
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei zunächst ein Körper und die Gruppe der Automorphismen auf diesem Körper. Für jeden Teilkörper ist dann die Menge der relativen Automorphismen eine Untergruppe von . Dabei kann als ein Vektorraum über der Dimension betrachtet werden und die Untergruppe der relativen Automorphismen als eine Untergruppe der -Algebra der -linearen Endormorphismen auf : Ihre Einheitengruppe ist ja und enthält . Diese -Algebra hat über die Dimension über , als Teilraum des -Vektorraumes aller Abbildungen also die Dimension . Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind bilden die relativen Automorphismen dabei stets ein über linear unabhängiges System, das heißt, der Gruppenring hat als -Unterraum die Dimension . Für jeden Teilkörper ist also . Dies gilt insbesondere für Teilkörper , die Fixkörper unter einer Untergruppe sind: . Wegen gilt also .
Tatsächlich beruht der Beweis über die Existenz einer Normalbasis im zyklischen Fall auf ganz analogen Argumenten wie der Beweis, dass eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch ist (Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel). Dabei nimmt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Rolle eines Satzes über die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ein, wie die folgende Gegenüberstellung zeigen möge:
Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel | Satz von der Existenz einer Normalbasis (zyklischer Fall) |
---|---|
Der Satz über die Anzahl Nullstellen eines Polynoms in Körpern liefert: | Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind liefert: |
Für die Ordnung der Untergruppe der Nullstellen des Polynoms gilt: . | Für die Ordnung einer Untergruppe gilt . Insbesondere für ein gilt . |
Eigenschaften einer endlichen Galois-Erweiterung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die heißt eine Galoiserweiterung, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
- Es gibt eine Untergruppe mit .
- Es gilt (und nicht etwa nur ).
Ist zudem endlich, so ist ferner äquivalent:
- .
- .
Die Gruppe heißt die zugehörige Galoisgruppe. Ist die Galoisgruppe zyklisch (auflösbar, primyzklisch etc.), so gilt auch die Galoiserweiterung als zyklisch (auflösbar, primzyklisch etc.)
Einordnung in die Elementarteilertheorie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Automorphismus lässt sich als ein -linearer Vektorraum-Endomorphismus auf betrachten. Solche Endomorphismen werden untersucht, indem als ein Modul über dem Hauptidealring , der sogar ein euklidischer Ring mit Höhe ist, betrachtet wird: Die Hauptraumzerlegung erscheint dann als die Primärzerlegung dies Moduls gemäß der Elementarteilertheorie bzw. dem Strukturhauptsatz über Moduln über Hauptidealringen.
Dabei beachte man: Ist ein unitärer kommutativer Ring, so ist ein Modul dem Polynomring notwendig ein Modul über und die Abbildung ist eine -lineare Abbildung: . Umgekehrt liefert ein -Modul und ein Endormorphismus einen -Modul durch die Festlegung und lineare Fortsetzung. Die Betrachtung eines -Moduls kommt also der Betrachtung eines Endomorphismus gleich. Der Satz von Frobenius (Äquivalenz und Ähnlichkeit, gem. Crelles Journal, Band 85, 1878, Georg Frobenius: Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, darin § 6: Aequivalenz, Abschnitt 2, S. 21 (unter Verweis auf Ergebnisse von Weierstraß und Kronecker! B.M. 1868 und 1874)) liefert den Zusammenhang zwischen beiden Betrachtungen.
Angewendet auf einen endlichdimensionalen Vektorraum über einem Körper besteht mit dem Minimalpolynom die exakte Sequenz
- , die den Isormorphismus induziert.
Im Allgemeinen ist Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen Polynoms , und es gilt . Der folgende Satz kennzeichnet, wann beide Polynome gleich sind, und liefert damit das Kriterium für zyklische Moduln über dem Hauptidealring .
Satz: Für einen Vektorraum endlicher Dimension über dem Körper , betrachtet als einen Modul über der euklidischen Polynomalgebra bezüglich eines Endomorphismus' , sind äquivalent:
- Der Modul ist zyklisch über , das heißt, es gibt ein mit .
- Es gibt ein , so dass die Abbildung eine exakte Sequenz von -Moduln induziert:
- Es gibt ein , so dass die Abbildung einen Isomorphismus von -Moduln vermittelt.
- .
- Das Minimalpolynom von und sein charakteristisches Polynom sind gleich: .
- (und diese Summe ist sogar notwendig direkt).
- (und diese Summe ist sogar notwendig direkt).
- Es gibt eine -Basis von , bezüglich welcher die Darstellungsmatrix von eine Frobeniussche Begleitmatrix ist, das heißt mit der Eigenschaft: für (und ).
Angewandt auf eine endliche galoissche Körpererweiterung über und sind dies also gerade äquivalente Kriterien für die Existenz einer Normalbasis, denn genau das ist die Aussage eines der Kriterien. Dabei gilt zunächst
- , und für den -Untervektorraum gilt dabei
- .
Man beachte, dass ein Körperelement tatsächlich einen -linearen Endomorphismus im Vektorraum liefert, nämlich . Da vermittelt die Multiplikation eine Einbettung . Freilich sind dies weder Körperautomorphismen auf noch lassen sie fest, doch umgekehrt spannen – nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind – die Automorphismen als -lineare Abbildungen auf über den -Vektorraum der Vektorraum-Endomorphismen der Dimension auf: . Nun enthält der Teilraum alle Potenzen von . Wenn also die Potenzen von bereits die gesamte Galoisgruppe liefern, so folgt , mithin sind alle Zahlen identisch: . Es sind sogar offenkundig äquivalent:
Diese Situation beschreibt der Satz über die Existenz einer Normalbasis für eine zyklische Körpererweiterung.
Zyklischer Fall: Satz und Beweis
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Kriterien dafür, wann Minimalpolynom und charakteristisches Polynom eines Körper-Automorphismus' gleichen Grad haben und mithin für die Existenz einer Normalbasis einer galoisschen Körpererweiterung, liefert der Satz:
Satz: Für eine endliche Galois-Erweiterung und ein Element sind nun äquivalent:
- Die Erweiterung ist zyklisch mit als Erzeugendem, d. h.: .
- Es gilt .
- , d. h.: .
- Es ist , und ist als Modul über der Polynomalgebra bezogen auf zyklisch, d. h., es gibt ein mit .
- Die Galoiserweiterung besitzt eine Normalbasis der Gestalt für .
Zum Beweis beachte, dass zunächst allgemein , also . Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind liefert jedoch andererseits die lineare Unabhängigkeit der Familie , so dass notwendig .
Also gilt für ein mit stets: , d. h.: . Damit ist das obige Kriterium erfüllt und die Existenz einer Normalbasis nachgewiesen.
Zusammenfassung und alternativer Beweis durch Primärzerlegung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wie für den Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel, so kann auch für den Satz von der Existenz einer Normalbasis im zyklischen Fall durch explizite Primärzerlegung des in Rede stehenden Moduls konstruktiv argumentiert werden, wie die folgende Gegenüberstellung verdeutlichen soll. Darf das obige Kriterium für die Zyklizität von Moduln über Hauptidealringen gemäß Elementarteilertheorie als bekannt vorausgesetzt werden, so ist der Beweis schon beim Zeichen „◀“ erbracht. Andernfalls kann der Beweis mittels Primärzerlegung vollendet werden, wie anschließend gezeigt.
Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers sind zyklisch. | Endliche zyklische Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis. |
---|---|
Betrachtet wird eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers als (multiplikativ notierter, scil.) Modul über dem euklidischen Ring . | Betrachtet wird eine zyklische Körpererweiterung endlichen Grades als Modul über der euklidischen Polynomalgebra . |
Es sei also eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe des Körpers und ihr Exponent (Annullator). | Es sei also eine Galois-Erweiterung mit zyklischer Galois-Gruppe der Ordnung . Betrachte als -Modul vermöge . Es sei das Minimalpolynom von , das heißt mit minimalem Grad . |
Nach dem Satz über die Anzahl von Nullstellen gilt sind Ordnung und Exponent notwendig gleich: . ◀ | Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind ist , also . ◀ |
Zerlege in Primfaktoren, setze und finde mit . Das ist möglich, weil nicht mehr als Nullstellen haben kann, aber . | Zerlege in irreduzible Faktoren, setze und finde mit für jedes . Das ist möglich, weil . |
Für die Ordnung von gilt somit , denn . | Für das Minimalpolynom von gilt somit , denn |
Für das Produkt dieser gilt nun | Für die Summe dieser gilt nun |
Also ist surjektiv mit Kern , d. h. . | Also ist surjektiv mit Kern , d. h. . |
Folgerung aus dem zyklischen Fall: Normalbasis für abelsche Erweiterungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Nach dem Elementarteilersatz zerfällt jede endliche abelsche Gruppe in eine direkte Summe zyklischer Gruppen.[Anm 30] Ist eine endliche abelsche Körpererweiterung mit der Galoisgruppe , so korrespondieren mit ihren Elementarteilern (gemäß der Galoiskorrespondenz (Galois-Verbindung, Galois-Zusammenhang) des Hauptsatzes der Galoistheorie) Zwischenkörper, deren direkter Durchschnitt gleich dem Grundkörper ist, und äquivalent liefert die Galoiskorrespondenz also auch Zwischenkörper, deren direktes Kompositum gleich ist.[Anm 31] So lässt sich eine Normalbasis für jede abelsche Erweiterung konstruieren.
Für absolut abelsche Zahlkörper, d. h. für abelsche Erweiterungen des Körpers war dies bereits Gegenstand der obigen Folgerungen bei Existenz einer Normalbasis zum Spezialfall der Kreisteilungskörper. Doch lässt sich der Beweis der Existenz einer Normalbasis für den nicht-zyklischen Fall auf andere Weise führen. In diesem Falle besitzt der Grundkörper notwendig unendlich viele Elemente.
Beweis im Falle eines unendlichen Grundkörpers
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es werden zwei Beweisvarianten gegeben.
Nach Serge Lang
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Serge Langs Beweis[18] setzt sogar unmittelbar bei dem obigen Matrizen-Kriterium für eine Normalbasis an: Das Polynom in den Unbestimmten verschwindet nicht identisch, weil sich bei Einsetzung von (Kronecker-Delta) eine unimodulare Matrix ergibt. Als Polynom über dem unendlichen Grundkörper ist reduziert. Daher gibt es ein , so dass bei Einsetzung (für jedes ) einen von Null verschiedenen Wert annimmt und folglich die Matrix , wie zu zeigen, regulär ist.
Dieser Beweis betrachtet also (mit ) die Determinante der -Matrix der Gruppentafel, wobei ihre Einträge, die Automorphismen , als Unbestimmte aufgefasst werden. Da die Substitution die zur Permutation gehörige (unimodulare) Permutationsmatrix liefert, kann ihre Determinante nicht das Nullpolynom sein. Mit einem geeigneten wird also bei der Substitution nicht verschwinden, diese Substitution folglich eine reguläre Matrix liefern, wie gewünscht.
Der nachfolgend dargestellte Beweis von Emil Artin betrachtet Polynome in nur einer Unbestimmten und nutzt dazu die Lagrangeschen Interpolationspolynome mit der Menge der Konjugierten eines primitiven Elements der Galoiserweiterung als Menge der Stützstellen.[Anm 32]
Nach Emil Artin
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für eine Galoiserweiterung eines unendlichen Grundkörpers vom Grade wird wie folgt argumentiert:[19]
Gemäß Voraussetzungen sei also ein primitives Element, so dass . Sein Minimalpolynom über sei . Gemäß Körpertheorie hat es den Grad , und es gilt . Gemäß Galois-Theorie operiert die Galoisgruppe operiert scharf transitiv auf der Menge der Wurzeln des Minimalpolynoms. Sie sind also paarweise verschieden, können mit bezeichnet werden und sind sämtlich gleichermaßen als primitives Element der Körpererweiterung geeignet.[Anm 33]
Ferner werde die Operation der Gruppe fortgesetzt auf durch für jedes . Damit operiert auf trivial, so dass insbesondere .
Die nun folgende tabellarische Gegenüberstellung soll Gemeinsamkeiten und Unterschiede in Einzelheiten zweier Beweise verdeutlichen, die Emil Artin bzw. Bartel L. van der Waerden gegeben haben.
no. | Beweis nach Emil Artin | Derselbe Beweis mit begrifflichem Hintergrund nach Bartel L. van der Waerden |
---|---|---|
1 | Betrachte .
Dabei gilt:
|
Betrachte den Restklassenring (Siehe auch Faktorring) :[Anm 34] Dieser kann mit dem Tensorprodukt der -Algebren und identifiziert werden.
Bezeichnet nämlich die Klasse der Unbekannten , so bilden eine -Basis und eine -Basis von . Dann ist tatsächlich eine -Basis der Algebra , die sich daher als das Tensorprodukt der -Algebren und auffassen lässt: .[Anm 35] Daher bilden eine -Basis von und eine -Basis von .
|
2 | Es gilt notwendig , denn auf beiden Seiten stehen Polynome,
|
Mit Hilfe der Langrangeschen Interpolation lässt sich eine weitere -Basis von angeben: Da ja alle Wurzeln paarweise verschieden sind, lässt sich jedes Polynom vom Grad in eindeutiger Weise als Linearkombination der Lagrangeschen Interpolations-Polynome vom Grad darstellen: Diese haben nämlich die Eigenschaft, dass (Kronecker-Delta), so dass notwendig für jedes Polynom mit und zwar in eindeutiger Weise. Insbesondere für das konstante Polynom erhält man .
Durch den Übergang zu den Restklassen folgt also . Da jene Polynome mit ganz repräsentieren, so ist , und dabei handelt es sich um eine direkte Summe von Teilräumen[Anm 36], weil die Darstellung eindeutig ist. |
3 | Für verschwindet das Produkt auf allen Nullstellen von . Daher gilt | In gilt nun die Beziehung , die sich im euklidischen Ring als Kongruenz leicht verifizieren lässt: Für gilt zunächst (Begründung siehe links), und … |
4 | Multipliziert man obige Summenbeziehung mit , so folgt für jedes . | … es gilt (Begründung siehe links). |
5 | Es gilt , wobei . | Die Gruppe permutiert die Lagrangeschen Polynome (gemäß ihrer Definition) und folglich auch ihre Nebenklassen in eben derselben Weise, wie sie die Wurzeln permutiert. |
6 | Die Einträge des Matrizenprodukts aus der quadratischen Matrix und ihrer Transponierten sind demnach in der Hauptdiagonalen gleich , während sie außerhalb der Diagonalen sämtlich modulo verschwinden: .
Um die Matrix wohl zu definieren, müsste die Reihenfolge ihrer Spalten und Zeilen, also die der Elemente festgelegt werden. Da jedoch nur das Verschwinden der Determinante benötigt wird, welche bei Vertauschungen lediglich das Vorzeichen wechselt, möge diese Schreibweise genügen. Eine Argumentationsvariante an dieser Stelle[Anm 37] besteht in der Feststellung, dass , weil und (Kronecker-Delta). Damit erübrigen sich die Beweisschritte 3 und 4, und anstelle von Beweisschritt 2 genügt die Feststellung . Tatsächlich zielt dieser Beweisschritt lediglich auf eine Begründung dafür, dass das Polynom nicht identisch verschwindet.[Anm 38] |
Für die Teilräume (die „direkten Summanden“) gilt also : Es sind also Ideale. Zudem ist jedes (als isomorphes Bild des Körpers ) selbst ein Körper mit dem Einselement (wobei ). Dabei annullieren sich verschiedene Körper: .
Ebenso sind auch die Teilringe Ideale und (als isomorphe Bilder von ) Körper, die sich gegenseitig annullieren, so dass die Summe der Teilräume notwendig direkt ist und daher aus Dimensionsgründen die gesamte Algebra aufspannt: (als Vektorraum). Es gilt sogar , denn wählt man in der obigen Lagrangeschen Interpolation die Polynome (mit ), so repräsentieren sie im Übergang ganz und im Übergang ganz . Geht man zu den Restklassen über (), so erhält man: . Multiplikation mit ergibt: . Damit ist die Darstellung ein zweites Mal begründet. Also bilden die eine Normalbasis von .[Anm 39] Gesucht ist jedoch eine Normalbasis von . Beachte: Umgekehrt wäre eine Normalbasis von zugleich eine Basis von , und zwar eine Normalbasis, da ja auf trivial operiert. |
7 | Also ist auch . | Es sei nun eine Basis von . Dann ist es zugleich eine Basis von , denn jedes Polynom zerfällt in eine Summe von Polynomen über gemäß ,[Anm 40] und der Übergang zu den Restklassen liefert die Behauptung. Dies gilt insbesondere für die Lagrangeschen Interpolationspolynome , das heißt: Es gibt eine Matrix mit . Im Übergang erhält man . Diese Matrix hat Einträge und ist regulär, da die eine Basis bilden. Also ist , also auch . |
8 | Nun besitzt als Polynom über höchstens endlich viele Nullstellen. | Nun besitzt nur endlich viele Nullstellen in . |
9 | Da auf trivial operiert, bleiben obige Beziehungen bestehen, wenn für die Unbestimmte Elemente eingesetzt werden. | Auf der Transformationsmatrix operiert trivial, wie oben erwähnt.
Diese Tatsache wird aber gar nicht benötigt werden, weil es ein viel eleganteres Argument gibt. |
10 | Da unendlich, gibt es (sogar unendlich viele) mit . Ein solches sei nun ausgewählt. | Da unendlich, gibt es (sogar unendlich viele) mit . Ein solches sei nun ausgewählt. |
11 | Wegen bleibt, wie bereits erwähnt, auch die Beziehung für bestehen. Setzt man , so ist für jedes . | Für jedes setze , so dass . |
12 | Werden nun auf eine Relation (mit ) alle Automorphismen angewendet, so hat das entstehende Gleichungssystem in den Unbekannten die Determinante , kann also (schon in , geschweige denn in ) nur trivial gelöst werden: für jedes . Daher bedeutet , dass die Bahn aus über linear unabhängigen Elementen von besteht. | Wegen ist regulär und bildet als Basistransformation die Basis auf eine weitere Basis ab. |
13 | Also ist die Bahn eine Normalbasis. | Also bilden () eine Normalbasis von . |
Anwendung auf endliche Grundkörper
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Galoiserweiterungen endlicher Grundkörper sind zyklisch, ihre Galoisgruppe wird vom Frobenius-Homomorphismus erzeugt, wobei eine Potenz der Charakteristik ist. Dabei bezeichne der Grad der Erweiterung und mithin zugleich des Minimalpolynoms .
- Ist ein primitives Element dieser Körpererweiterung, das heißt gilt , so bilden die Potenzen eine -Basis von .
- Ist hingegen Erzeugendes einer Normalbasis, so bilden die Potenzen eine Normalbasis von .
Ist also die Bahn eine Normalbasis der Erweiterung vom Grade , so liefert die Koordinatendarstellung zu einem ein -Tupel aus . Die Anwendung des Frobenius-Homomorphismus, also die Potenzierung mit , spiegelt sich in zyklischer Vertauschung dieser Koordinaten wider: Zu gehören die Koordinaten , da (d. h. ).
Tabellarisch:
Dies ist für von Nutzen für die Kryptographie auf elliptischen Kurven: Die Koordinaten sind dann Null oder Eins.
Zur Geschichte
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Satz von der Existenz einer Normalbasis für eine endliche Galoiserweiterung wurde zunächst für endliche Grundkörper bewiesen:[16][20]
- 1850: Gotthold Eisenstein bewies den Fall eines Primkörpers : Lehrsätze, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 39, 1850, Seiten 180–182.
- 1850: Theodor Schönemann bewies den Fall einer Erweiterung von Primzahlgrad: Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40, 1850, Seiten 185–187.
- 1888: Kurt Hensel bewies den Fall eines endlichen Grundkörpers im Allgemeinen: Über die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103, 1888, Seiten 230–273.
Später wurde der Satz auch für unendliche Grundkörper nachgewiesen:
- 1932: Emmy Noether zeigt den Satz für gewisse unendliche Grundkörper : Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103, 1888, Seiten 230–273.
- 1932: Max Deuring verallgemeinert auf beliebige unendliche Grundkörper: Galoissche Theorie und Darstellungstheorie, in: Mathematische Annalen, Band 107, 1932, Seiten 140–144. Er benutzt dabei das Argument von Deuring-Noether, mit welchem der endliche und unendliche Fall zugleich begründet werden. Hierzu siehe auch Charles W. Curtis und Irving Reiner: Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS, 1962, 689 p. (ISBN 978-0-8218-4066-5), Seite 200.
- 1948: Emil Artin gibt für den unendlichen Fall ein auf der Determinantentheorie beruhendes Argument und für den endlichen Fall ein gänzlich anderes Argument: Linear Mappings and the Existence of a Normal Basis, in: Volume für Richard Courant's 60th birthday, Interscience Publications, 1948, Seiten 1–5. Dieser Darstellung folgen die meisten Lehrbücher.
- 1975: T. R. Berger und Irving Reiner geben, inspiriert von Max Deurings Artikel, die oben angegebene Zurückführung auf den Satz von Krull-Remak-Schmidt: A Proof of the Normal Basis Theorem, in: American Mathematical Monthly, vol. 82, no 9, November 1975, Seiten 915–918. online
Nach dem Satz über die Existenz einer Normalbasis nennt man ein Element , dessen Bahn über dem Grundkörper den Erweiterungskörper (als Vektorraum über dem Grundkörper) aufspannt (d. h., ein Erzeuger der Normalbasis ist), ein freies Element über oder freies Element für die Erweiterung .
In Verallgemeinerung des Satzes über die Existenz einer Normalbasis wurde bewiesen, dass es sogar ein vollständig freies Element gibt, d. h. eines, welches zugleich für alle Zwischenerweiterungen jeweils eine Normalbasis von erzeugt: .
- 1957 zeigte dies Carl Clifton Faith für unendliche Körper, indem er Emil Artins Argumente verallgemeinerte: Extensions of normal bases and completely basic fields, in: Transactions of the American Mathematical Society, vol. 85, 1957, Seiten 406–427.
- 1986 zeigten dies D. Blessenohl und K. Johnsen für endliche Körper: Eine Verschärfung des Satzes von der Normalbasis, in: Journal of Algebra, vol. 103, 1986, Seiten 141–159.
- 1996: Dirk Hachenberger: Completely Free Elements, in: Stephen D. Cohen und Harald Niederreiter: Finite Fields and Applications, Cambridge University Press, coll. London Mathematical Society Lecture Note Series, (no 233), 1996 (ISBN 978-0-521-56736-7), Seiten 97–107.
- 1997: Dirk Hachenberger gibt einen konstruktiven Nachweis der Existenz freier und vollständiger freier Elemente über endlichen Grundkörpern (Galois-Feldern): Finite fields: Normal bases and completely free elements, Kluwer Academic Publishing (1997).
Für Erweiterungen endlicher Grundkörper (Galois-Felder) können sogar stets solche Erzeugenden einer Normalbasis gefunden werden, die Elemente von maximaler Ordnung in der multiplikativen Gruppe sind: Diese erzeugen also als -Linksmodul und als -Modul. Dann (und genau dann) teilt jedes Element der Normalbasis diese Eigenschaft. Solche Erzeugenden werden primitiv genannt.[21]
- 1968: Dies bewies Harold Davenport für endliche Primkörper : Bases for finite fileds, J. London Math. Soc, vol 43 (1968), 21-39, MR 227144, DOI
- 1987: Für beliebige endliche Körper bewiesen es Hendrik Willem Lenstra Jr. und René J. Schoof: Primitive normal bases for finite fields, Mathematics of Computation, Band 48 (177), Seiten 217–231. doi:10.2307/2007886. JSTOR 2007886. ZbMATH 0615.12023
- Siehe dazu auch: Rudolf Lidl, Harald Niederreiter: Finite fields , Addison-Wesley (1983) Zbl 0554.12010; second edition Cambridge University Press (1996) ISBN 0-521-39231-4 Zbl 0866.11069.
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Anmerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Gemäß Herbert Schröder („Der Fundamtentalsatz der Algebra […]“, siehe Literatur), Abschnitt 4.3.1 (Seite 79) griff Gauß Beweisansätze von Euler, Lagrange und Laplace auf und vereinfachte sie oder arbeitete sie zu Beweisen aus.
- ↑ Dies wird ersichtlich durch Betrachtung der Beziehung
- ↑ Es lässt sich auch „zu Fuß“ mit Überlegungen aus dem Beweis des Satzes vom primitiven Element argumentieren: Auf der Nullstellenmenge operiert transitiv. Denn mit einer Zuordnung von ist ein Automorphismus bestimmt. (Das heißt, operiert scharf einfach transitiv auf der Nullstellenmenge.) Ist dann , so wird abgebildet. Für und ist dies die Identität, andernfalls nicht und man beachte, dass genau einmal in vorkommt, nämlich mit . Daraus folgt, dass irreduzibel und mithin das Minimalpolynom einer jeden seiner Nullstellen ist. Die Stammkörper sind untereinander isomorph über mit (für jede Wahl von ). Für die Minimalpolynome und von bzw. kann nun (wie im Beweis des Satzes vom primitiven Element) aus geschlossen werden, dass die Polynome und nach Auswahl von nur diese eine Nullstelle teilen und deshalb ihr größter gemeinsamer Teiler ist, woraus und somit auch folgen, also insgesamt .
- ↑ Im Übrigen ist die Erweiterung nur dann normal, wenn die Transposition einen Normalteiler in erzeugt, also mit allen Automorphismen vertauschbar ist.
- ↑ Setzt man von vornherein voraus, dass unendlich ist, so lässt sich (gemäß Wolfgang Krull) folgendermaßen argumentieren: Für verschiedene Elemente betrachte die Mengen mit jeweils Elementen, die sämtlich zueinander konjugiert sind. Daher liegt jedes der Polynome und besitzt seines Grades wegen nach Induktionsvoraussetzung eine Nullstelle . Es sei also für . Nach Wahl von müssen bei zweien der die Indexkombinationen übereinstimmen. Ohne Einschränkung sei also für . Dann liegen mit sowohl als auch in . Das quadratische Polynom über hat also mit die Nullstellen gemein.
- ↑ Der Beweis zeigt, dass der Zwischenkörper für das Paar in entsprechender Weise ein geeigneter Zwischenkörper ist, so dass der Nachweis erbracht ist. (Tatsächlich sind diese Zwischenkörper zueinander über konjugiert.) Aber diese Erkenntnis kann auch der Induktion nach überlassen bleiben.
- ↑ Das heißt: Für eine -Basis von setze .
- ↑ NB: . Zur visuellen Motivation: Wenn man sich den Raum als einen euklidischen Anschauungsraum vorstellen dürfte, dann dürfte man sich als einen Punkt über dem Punkt , insbesondere über dem Nullpunkt vorstellen, so dass der minimale Abstand von jenem „außerhalb gelegenen, hypothetischen Punkt“ zur komplexen Ebene durch das Lot auf realisiert wird. Die „Sphären“ wird man sich zunächst als Kreislinien vorstellen wollen, die mutmaßlich auf einen Punkt zusammengezogen sind, doch diese dubiose Verstellung wird krachend widerlegt werden: Aufgrund der Annahme, dass sei, werden die Punkte zu Kreisen aufgebläht werden, und die Kreise werden unbegrenzt große Kreise ziehen, so dass sie die ganze komplexe Ebene erfassen werden, die sich als Kugel (vom Radius ) um den fraglichen Punkt wölben müsste – im Widerspruch dazu, dass sie archimedisch metrisiert ist.
- ↑ Natürlich ist hierbei vor allem von Interesse, was aufgrund der Hypothese möglich ist – und später zum Widerspruch führen wird. Für sind die offene Kugel und die Zwischenbehauptung leer.
- ↑ Addiert man also die Kugel zur Sphäre , so bleibt unverändert! Man ahnt bereits, in welch arge räumliche Bedrängnis diese Behauptung den archimedischen Raum bringt. Sie betrifft die jene dubiose „Sphäre“ um das hypothetische Element und zwingt die komplexe Ebene zunehmend, sich zu verbiegen …
- ↑ Beim Gleichheitszeichen „“ wird die Multiplikativität des Betrages ausgenutzt: Die Subadditivität der Norm einer komplexen Banachalgebra mit Eins ließe diese Abschätzung misslingen. Wie Ostrowskis Beweis für submultiplikative Normen abzuwandeln ist, zeigt Tornheim im Beweis des Satzes von Gelfand-Tornheim.
- ↑ Fortsetzung der Visualisierung: Der ausgewählte hypothetische Punkt soll also über dem Nullpunkt und damit zentral über den von den Einheitswurzeln aufgespannten -Polygonen liegen, um diese optimale Abschätzung und damit den Widerspruch herbeizuführen.
- ↑ NB: Hier wird also ausgenutzt, dass alle Einheitswurzeln beliebigen Grades in liegen. In liegen lediglich die zweiten Einheitswurzeln .
- ↑ Alternativ zur expliziten Induktion gibt es eine topologische Argumentation: Die Zwischenbehauptung zeigt, dass offen liegt. Offenkundig ist aber auch abgeschlossen (und zudem beschränkt, also kompakt). Daraus folgt notwendig, dass kompakt ist, was auf Widerspruch stößt.
- ↑ In Fortführung der Visualisierung: Die Kreise überdecken die ganze komplexe Ebene: , so dass also . Die komplexe Ebene wäre also als Kugel vom Radius um den Mittelpunkt vorzustellen, so dass zwei komplexe Zahlen (nach Dreiecksungleichung) höchstens den Abstand hätten – im Widerspruch dazu, dass die komplexe Ebene archimedisch bewertet ist. Ganz zu schweigen davon, wie die räumliche Metrik der archimedischen Bewertung auf ganz vorzustellen wäre …
- ↑ Im Allgemeinen sind diese Bedingungen für einen Körper nicht sämtlich äquivalent.
- ↑ In sind trivialerweise nur die zweiten Einheitswurzeln enthalten. Da für als reellen Vektorraum die Identität gilt, sobald nur , kann also entweder alle Einheitswurzeln oder nur die trivialen zweiten enthalten.
- ↑ Solch ein Polynom ist wegen des Vollständigkeitssatzes quadratisch.
- ↑ Es gilt dann notwendig . – Beachte .
- ↑ Diese Einbettung ist sogar notwendig ein Isomorphismus und eindeutig bestimmt.
- ↑ Normen müssen lediglich submultiplikativ, nicht notwendig multiplikativ (wie Absolutbeträge) sein.
- ↑ Nämlich mit
- ↑ Hintergrund dieser Begriffsbildung war natürlich, dass sie per Galoistheorie korrespondiert mit dem Begriff des Normalteilers aus der Gruppentheorie, ebenso wie die Konjugation: Ist eine Körpererweiterung mit ihren über konjugierten Erweiterungskörpern identisch, so heißt die Erweiterung normal. Ist eine Untergruppe mit ihren in konjugierten Untergruppen identisch, so heißt sie normal in .
- ↑ Die nun folgende Argumentation entstammt dem Beweis nach Emil Artin, siehe dort den Beweisschritt 12.
- ↑ Mit Hilfe der Darstellung formuliert gilt also , und der Unabhängigkeitssatz von Dedekind sagt aus, dass die Bilder der Darstellung über (also erst echt über ) linear unabhängig sind.
- ↑ Man beachte also den bedeutsamen Unterschied zwischen einer Bahn und der Summe : Ist vollständig frei, so ist Normalbasis von . Ist Normalteiler und frei für , so erzeugt die Spur eine Normalbasis für .
- ↑ Siehe Hilbertscher Zahlbericht (1897), Satz 131. Einen Beweis allein mit Hilfe der Hilbertschen Verzweigungstheorie gab Andreas Speiser: Die Zerlegungsgruppe. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (vulgo „Crelle-Journal“). 1919, S. 174–188, abgerufen am 10. Januar 2023. – Siehe auch „Kroneckerscher Satz“.
- ↑ Nur für nicht-kommutative Schiefkörper ist dabei zwischen der Linksmultiplikation und der Rechtsmultiplikation zu unterscheiden. Sowohl als auch (entsprechend) sind wegen injektiv und liefern Einbettungen von -Algebren. Nur für kommutative Körper gilt .
- ↑ Vielmehr permutiert die Galoisgruppe diese Unterräume untereinander, der linksregulären Darstellung entsprechend.
- ↑ Diese zyklischen Gruppen sind nach historischem Sprachgebrauch genau die Elementarteiler.
- ↑ Dass ihr direkter Durchschnitt gleich dem Grundkörper ist, will genau das besagen, was die Galoiskorrespondenz des Hauptsatzes der Galoistheorie für die Fixkörper der direkten zyklischen Untergruppen als ihre „Spiegelbilder“ aussagt, nämlich:
- Jede Erweiterung ist normal.
- und
- für jedes .
- Jede Erweiterung ist normal.
- (Kompositum) und
- für jedes (Direktheit)
- ↑ Den Zusammenhang zwischen beiden Beweisen stiftet die Theorie um zyklische Matrizen (auch Zyklanten oder Zirkulanten genannt) und die Vandermonde-Matrix. Sie wirft auch ein Licht darauf, woran genau diese Argumentation bei positiver Charakteristik scheitert.
- ↑ Zugleich bestimmt jede Substitution eindeutig den zugehörigen Automorphismus , da .
- ↑ Es ist . In diesem Sinne ist die Schreibweise je nach Zusammenhang als Ideal in oder in zu verstehen.
- ↑ Dabei wird als bilineare Abbildung natürlich die Multiplikation in zugrunde gelegt, nämlich als Skalarmultiplikation von auf dem -Vektorraum .
- ↑ Verstünde man diese Beziehung in der Kategorie der Ringe oder -Algebren, so wäre anstelle der direkten Summe der -Teilräumen das Produkt der Teilringe zu notieren.
- ↑ Dieses Argument bringt Nathan Jacobson in seiner Basic Algebra I, Chater IV.14, S. 284 oben.
- ↑ Vgl. den obigen Beweis von Serge Lang.
- ↑ Es ist klar, dass und auf welche Weise hierbei der Begriff Normalbasis auf eine -Algebra ausgeweitet wird.
- ↑ In Worten: Die Koeffizienten eines jeden Polynoms können mit dieser Basis ausgedrückt werden. Ausklammern der Basiselemente über alle Monome hinweg ermöglicht die Darstellung als Summe von Produkten mit .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether, 8. Auflage (der Modernen Algebra) Springer-Verlag, 1971, Heidelberger Taschenbücher Band 12, ISBN 3-540-03561-3.
- Emil Artin: Linear mappings and the existence of a normal basis. Studies und Essays presented to Richard Courant on his 60th birthday (Interscience Publishers, New York, S. 1 (1948)).
- Emil Artin: Galoissche Theorie. 3. Auflage. Harri Deutsch, 1988, ISBN 3-8171-1714-0.
- Deutsche Erstausgabe Teubner 1959.
- Englische Ausgabe: Galois Theory. Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-62342-4. Online-Version oder Online-Version. Lectures delivered at the University of Notre Dame, edited and supplemented with a Section on Applications by Dr. Arthur N. Milgram, Notre Dame, Indiana, 1942 (2. Auflage 1948).
- Serge Lang: Algebra. Second Edition, Addison-Wesley, 1984.
- Nathan Jacobson: Algebra I. W. H. Freeman and Company, San Franciso 1974, ISBN 0-7167-0453-6.
Ältere Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper (auch bekannt als Zahlbericht). 1897. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung. Band 4, 1897, S. 175–546 und 7. Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. In: Gesammelte Abhandlungen. Band 1: Zahlentheorie. Julius Springer, Berlin 1932 (Volltext [Wikisource]).
- David Hilbert: Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsatzes über Abelsche Zahlkörper. 1896 In: Aus den Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse. 1896, S. 29–39 und Gesammelte Abhandlungen. Band 1: Zahlentheorie. Kapitel 6, Julius Springer, Berlin 1932 (Volltext [Wikisource]).
- Emmy Noether: Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 167, 147–152 (1932). 24. August 1931, S. 147–152, abgerufen am 29. Juni 2022 (SUB Göttinger Digitalisierungszentrum).
- Max Deuring: Galoissche Theorie und Darstellungstheorie. In: Mathematische Annalen, Band 107, 140–144 (1933). 17. Dezember 1931, S. 140–144, abgerufen am 29. Juni 2022 (SUB Göttinger Digitalisierungszentrum).
- Andreas Speiser: Die Zerlegungsgruppe. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (vulgo „Crelle-Journal“), Band 149 (1919). 1919, S. 174–188, abgerufen am 10. Januar 2023 (SUB Göttinger Digitalisierungszentrum).
Weiterführende Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- John William Scott Cassels, G. E. Wall: The Normal Basis Theorem. In: Journal of the London Mathematical Society, Vol s1–25, issue 4, 259–264, October 1950. Abgerufen am 29. Juni 2022.
- Friedrich Kasch: Über den Endomorphismenring eines Vektorraumes und den Satz von der Normalbasis. In: SUB Göttinger Digitalisierungszentrum. 29. Januar 1953, S. 447–463, abgerufen am 29. Juni 2022 (Mathematische Annalen, Band 126, 447–463 (1953)). Kasch betrachtet in diesem Artikel auch Schiefkörpererweiterungen und schlägt so die Brücke zur Algebrentheorie.
- Normal basis theorem. In: Encyclopedia of Mathematics. Abgerufen am 17. Februar 2022 (Artikel von Dieter Jungnickel (Originalartikel) und Richard Pinch (Adaption)).
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ So schreibt Heinrich Weber 1895 im Vorwort seines – zunächst auf nur zwei Bände angelegten – Lehrbuchs der Algebra PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de: „Der grosse Stoff ist in zwei Bände vertheilt. Der erste Band enthält den elementaren Theil der Algebra, den man mit einem hergebrachten Ausdruck als Buchstabenrechnung bezeichnen kann, sodann Vorschriften über die numerische Berechnung der Gleichungswurzeln und die Anfänge der Galois'schen Theorie.“ So betrachtet Weber denn auch zu Beginn seines Lehrwerks, die Grundlagen (Erstes Buch) legend, im Ersten Abschnitt die Rationalen Functionen bringt in § 38 (des Dritten Abschnittes. Die Wurzeln) einen rein analytischen Beweis des Fundamentalsatzes, der dem hier gegebenen im Wesentlichen gleichkommt; der Achte Abschnitt (Der Sturm'sche Lehrsatz) des Zweiten Buches (Die Wurzeln) dieses ersten Bandes, gipfelt in § 98. Gauss' erster Beweis des Fundamentalsatzes des Algebra mit Hilfe des Sturmschen Satzes. Dennoch ist bei Weber der Wandel des Verständnisses der Algebra deutlich spürbar, da er dem eben gebrachten Zitat aus dem Vorwort (S. v) folgende Sätze vorausschickt: „Zwei Dinge sind es, die für die neueste Entwickelung der Algebra ganz besonders von Bedeutung sind, das ist auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangende Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie. Wenn auch die Algebra zum Theil über die Zahlentheorie hinausgeht, und in andere Gebiete, z. B. die Functionentheorie oder in ihren Anwendungen auch in die Geometrie hinüber greift, so ist doch die Zahlenlehre immer das vorzüglichste Beispiel für alle algebraischen Betrachtungen, und die Fragen der Zahlentheorie, die heute im Vordergrund des Interesses stehen, sind vorwiegend algebraischer Natur. Hierdurch war der Weg bezeichnet, den ich in meiner Arbeit zu gehen hatte.“ Bartel Leendert van der Waerden hingegen lässt sein einflussreiches Lehrbuch der „[Modernen] Algebra“ (Algebra I, 8. Auflage, 1971, siehe Literatur und Artikel zur Modernen Algebra) bereits – nach einem kurzen Kapitel über „Zahlen und Mengen“ – mit Betrachtungen zur Gruppentheorie beginnen. In § 80 (S. 252) lässt er deutlich anklingen, dass er den Namen „Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen“ treffender fände: „Der ‚Fundamentalsatz der Algebra‘, besser Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen, besagt […]“ Die erste Auflage dieses Buches erschien bereits 1930 – 22 Jahre nach Heinrich Webers drittem Band zur Algebra –, damals noch unter dem Titel Moderne Algebra. Nach eigenem Bekunden im Vorwort zur vierten Auflage entsprach van der Waerden dem Ratschlag einer Buchbesprechung Heinrich Brandts im Jahresbericht der DMV (1952, Band 55, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de oder PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de, PDF-Seite 178) und nannte sein zweibändiges Lehrwerk ab der vierten Auflage des ersten Bandes (1955) schlicht Algebra. Zur Vertiefung dieser geschichtlichen Aspekte sei auf die Artikel Moderne Algebra und Algebra verwiesen.
- ↑ Wolfgang Krull beginnt sein Lehrbuch von 1953 mit den Worten: Die Algebra wird beherrscht von den vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division. Der Leser geht am besten mit diesen Rechnungsarten zunächst so um, wie er es vom elementaren Buchstabenrechnen her gewohnt ist. Er beschließt es mit einem Anhang über den Fundamentalsatz der Algebra. Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt (= Sammlung Goeschen. Band 930). Walter de Gruyter, Berlin 1952 (136 S.).
- ↑ Der Beweis entstammt der Aufgabensammlung zur Höheren Algebra von Helmut Hasse/Walter Klobe, 2.IV.§17, Aufgaben 7, 8 und 9. (Seite 147 f.) aus dem Jahre 1926.
- ↑ Siehe auch Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt (= Sammlung Goeschen. Band 930). Walter de Gruyter, Berlin 1952, Anhang Der Fundamentalsatz der Algebra, S. 128 ff. (136 S.).
- ↑ Siehe auch Bartel Leendert van der Waerden: Algebra 1, Kapitel XI Reelle Körper, § 81 Algebraische Theorie der reellen Körper. (Ironie der Geschichte: Die achte Auflage des ersten Bandes dieses Lehrbuches gipfelt geradezu traditionell in der Gaußschen Beweisidee des Fundamentalsatzes der Algebra, wiewohl der Satz nicht zuletzt dank der präsentierten modernen algebraischen Sicht seine vormals fundamentale Stellung in der Algebra eingebüßt hat.)
- ↑ Beweisführung gemäß Serge Lang: Algebra, Chapter VIII Galois Theory, §2 Examples and Applications, Example 5, Seite 310f. Siehe auch David A. Cox: Galois Theory (= Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. Band 106). 2. Auflage. John Wiley & Sons, 2012, ISBN 978-1-118-21842-6, S. 218 f. (608 S.).
- ↑ a b c d Den Vorschlag zum Beweis der Fortsetzbarkeit von Primstellen lokalkompakter Körper auf endliche Erweiterungen machte Wulf-Dieter Geyer auf einer Tagung in Brighton, Sussex UK, vom 1. bis zum 17. September 1965, die in den Tagungsband Eingang gefunden hat: John Cassels und Albrecht Fröhlich (Hrsgbr): Algebraic Number Theory. Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the Support of the International Mathematical Union. Academic Press, New York NY 1967, ISBN 0-12-163251-2. Siehe darin Chapter II Gloal Fields, section 10 Extension of Valuations, Seite 56. Diese Idee nutzt zum Beweis der Existenz einer Bewertung auf einem lokalkompakten Körper dessen Lokalkompaktheit aus.).
- ↑ a b c Vergleiche John Cassels/Albrecht Fröhlich: Algebraic Number Theory, Chapter II Global Fields, section 1 Valuations, Fußnote auf Seite 43. Siehe auch die (auf die Arbeit von A. Ostrowski aus dem Jahre 1918 Bezug nehmende) Originalarbeit von Emil Artin: Über die Bewertungen algebraischer Zahlkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 167 (1931). 25. August 1931, S. 157–159, abgerufen am 4. Januar 2023. Siehe auch Chapter 1 Valuations of a Field, Theorem 3 in Emil Artin: Algebraic Numbers and Algebraic Functions. Gordon and Breach, New York 1968, ISBN 978-0-8218-4075-7, S. 4 f.
- ↑ a b Der von seinem Autor als „Vollständigkeitssatz“ bezeichnete Satz und sein Beweis befinden sich in der Originalarbeit von Alexander M. Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y) = φ(xy). In: Acta Mathematica 41 (1918). April 1916, S. 271–284, abgerufen am 6. Januar 2023. Satz und Beweis präsentierte auch Helmut Hasse in seiner Zahlentheorie, Akademie-Verlag, Berlin, 1949. Kapitel II, § 13 Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper, Seite 183. Eine topologisch-uniforme Beweisvariante des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski veröffentlichten bereits 1931 Reinhold Baer (Halle) und Helmut Hasse (Marburg): Zusammenhang und Dimension topologischer Körperräume. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle-Journal), Band 167 (1931). 5. Mai 1931, S. 40–45, abgerufen am 4. Januar 2023. , siehe dort den „Zusatz 1: Es gibt keinen bewerteten Körper , der als Wertbereich den Körper aller reellen Zahlen besitzt, und der den Körper aller komplexen Zahlen in der üblichen Bewertung zum echten Unterkörper hat.“.
- ↑ Der Beweis beschloss das WS1989/90 in einer Vorlesung am 8. Februar 1990 zur Zahlentheorie und erschien in den „Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg“ (Band XII Festschrift zum 300jährigen Bestehen der Gesellschaft. Zweiter Teil) 12 (2), Seiten 487–489 (1991) unter dem Titel „Ein elementarer Beweis der algebraischen Abgeschlossenheit des Körpers der komplexen Zahlen“ („eingegangen am 30. 4. 1990“).
- ↑ In der genannten Originalarbeit wird der Vollständigkeitssatz so formuliert: Es gibt keinen archimedisch bewerteten Körper , der einen Körper zum Unterkörper hat, ohne mit ihm identisch zu sein. Ostrowski beschließt seine Arbeit mit den Sätzen: „Nennen wir nach STEINITZ einen Körper algebraisch abgeschlossen, wenn in ihm jede algebraische Gleichung mit einer Unbekannten eine Lösung hat, so folgt insbesondere aus dem Vollständigkeitssatz: Jeder archimedisch bewertete perfekte und algebraisch abgeschlossene Körper lässt sich auf den Körper aller komplexer Zahlen so abbilden, dass dabei sowohl alle algebraischen als auch alle Limesrelationen bestehen bleiben. Damit ist eine merkwürdige Charakterisierung des Körpers aller komplexer Zahlen gewonnen.“ – Von dem „Vollständigkeitssatz“ ist ein anderer Satz von Ostrowski zu unterscheiden, der die möglichen Bewertungen auf betrifft. Die Beweise beider Sätze hat Ostrowski 1918 in Artikel der Acta Mathematica (Band 41 (1918)) veröffentlicht, gemäß der Datumsangabe unter dem Artikel („Marburg an der Lahn, April 1916“) schon zwei Jahre früher gefunden. In der Literatur bezieht sich „Satz von Ostrowski“ häufiger auf den Satz über die rationalen Bewertungen, während der „Vollständigkeitssatz“ wohl seltener als „Satz von Ostrowski“ angesprochen wird. Der Grund dürfte darin zu suchen sein, dass er schon bald in der mächtigen Verallgemeinerung des Satzes von Gelfand-Mazur aufgegangen ist.
- ↑ Dabei bezeichne die Norm der Körpererweiterung .
- ↑ Siehe Kapitel XI (Relle Körper), § 81 (Der Körper der komplexen Zahlen). In diesem Paragraphen führt der Autor in die Theorie der reellen Körper nach Artin-Schreier ein und bringt den im Abschnitt „Beweisvariante durch Zwischenwertsatz und Galois-Theorie“ gezeigten algebraischen Beweis des Fundamentalsatzes. Zuvor allerdings zeigt er den bekannten funktionentheoretischen Beweis mit Hilfe des Satzes von Liouville als den wohl „einfachsten Beweis“ und lässt in einer kleingedruckten Textpassage den hier gebrachten Beweis folgen, eingeleitet mit den Worten: „Will man nur die ersten Elemente der Funktionentheorie voraussetzen, so kann man statt der Funktion […]“. Der Beweis greift den Beweisansatz zur Cauchyschen Integralformel auf, ergänzt um eine betragsmäßige Abschätzung für Polynomfunktionen. In späteren Auflagen (nach der 6. Auflage, spätestens mit der 8. Auflage) wurde diese kleingedruckte Passage jedoch zugunsten neuer Inhalte eliminiert. Eine Fußnote mit einem Verweis auf weitere Beweise blieb jedoch erhalten: „Einen anderen einfachen Beweis findet man z. B. bei C. Jordan: ‚Cours d'Analyse I‘, 3me éd., S. 202. Einen intuitionistischen Beweis gab Hermann Weyl: Math. Z. Bd. 20 (1914), S. 142.“ Der Jahrgang ist auf 1924 zu korrigieren: Gemeint ist offenbar Hermann Weyls Beitrag „Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik“ aus der Mathematischen Zeitschrift, Bd. 20, (1924), Seite 142, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 29. Mai 2021. Marie Ennemond Camille Jordans Cours d'Analyse I ist hier zu finden: PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 29. Mai 2021. Siehe auch Katalogeinträge [1 catalogue.bnf.fr] oder [2 catalogue.bnf.fr] u. a. Ausgaben dortselbst. – Am Ende des XI. Kapitels notiert van der Waerden weitere Literaturhinweise, siehe Literatur.
- ↑ Vgl. Encyclopedia of Mathematics: Normal basis theorem: Ein solches Element heißt vollständig frei oder komplett frei (engl.: completely free), wenn es zugleich für jede Zwischenerweiterung (wobei also ) eine Normalbasis erzeugt. Tatsächlich gibt es solche komplett freien Elemente. Sie können sogar im Falle endlicher Körper so gewählt werden, dass sie überdies die zyklische multiplikative Gruppe erzeugen. Dann besteht natürlich die gesamte Bahn aus Elementen mit dieser Eigenschaft (primitive Normalbasis). Ein solches Element erzeugt also als einen -Linksmodul und als einen (multiplikativen) -Modul, natürlich erst recht als (multiplikativen) -Modul.
- ↑ Vgl. Encyclopedia of Mathematics: Normal basis theorem: Die Suche nach einem , welches für jede Untergruppe eine Normalbasis für die zugehörige Galoiserweiterung erzeugt, führt auf die Frage nach der Existenz vollständiger Erzeuger oder vollständig freier Elemente . Diese Frage wurde 1986 positiv beantwortet von D. Blessenohl, K. Johnsen in: Eine Verschärfung des Satzes von der Normalbasis. J. Algebra, 103 (1986) pp. 141–159.
- ↑ a b Dieser Abschnitt ist dem französischen Artikel zur Normalbasis gedankt.
- ↑ Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. Kapitel VIII, § 67, S. 208.
- ↑ Serge Lang: Algebra, Chapter VIII, § 13.
- ↑ Beweise gemäß Emil Artin: Galoissche Theorie. (Verlag Harri Deutsch, 1965), Abschnitt II.N; und Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. VIII, § 67, S. 205.
- ↑ Ferner basiert dieser Abschnitt auf Angaben aus dem englischen Artikel zur Normalbasis sowie aus Encyclopedia of Mathematics: Normal basis theorem. Abgerufen am 5. Juli 2022 (Autoren: Dieter Jungnickel und Richard Pinch).
- ↑ Diese Bedeutung dieses (häufig benutzten) Attributs für Erzeugende einer Normalbasis muss also klar unterschieden werden von seiner Bedeutung für einfache Körpererweiterungen und im Satz vom primitiven Element.
Kategorie:Algebra Kategorie:Körpertheorie Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Algebraische Zahlentheorie Kategorie:Darstellungstheorie
siehe dort.
Beispiel aus der Zahlentheorie: Kollabierendes Tensorprodukt
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Ring der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Jeder euklidische Ring – wie etwa der Ring der Gaußschen Zahlen oder die Polynomalgebra über einem Körper – ist ein Hauptidealring. Das folgende Beispiel illustriert einen, wie ihre Primärzerlegung lehrt, für Torsionsmoduln über Hauptidealringen typischen Fall.
Betrachte für zwei ganze Zahlen das Tensorprodukt der beiden Restklassenringe , die ja Moduln über sind.
Ist für zwei Zahlen , so gilt für jeden elementaren Tensor :
Tatsächlich lassen sich für den größten gemeinsamen Teiler solche Zahlen finden. Also annulliert der größte gemeinsame Teiler das gesamte Tensorprodukt:
- .
Von nun an seien die beiden Zahlen teilerfremd, das heißt, für den größte gemeinsame Teiler gelte .
Dann folgt, dass das Tensorprodukt zum Nullmodul kollabiert:
- .
Mit anderen Worten: Es wurde gezeigt, dass eine -bilineare Abbildung (bei teilerfremden ganzen Zahlen ) notwendig die triviale Nullabbildung ist.
Man beachte hier den großen Unterschied zwischen direktem Produkt und Tensorprodukt: Während das Tensorprodukt zu
kollabiert, liefert das direkte Produkt nach dem Chinesischen Restsatz den Restklassenring
- .
Ebenso lässt sich zeigen: Das Tensorprodukt endlich erzeugter Torsionsmoduln über Hauptidealringen mit teilerfremden Annullatoridealen (wie etwa endlicher abelscher Gruppen teilerfremder Exponenten (oder erst recht Ordnungen)) kollabiert.
Anmerkungen
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