Relationen gehören zu den im Zentrum der Mathematik stehenden Begriffe, sie geben Beziehungen zwischen mathematischen Objekten an. Gibt eine Relation 2-er Beziehungen an, dann spricht man von einer binären Relation, gibt sie 3-er Beziehungen an, von einer tertiären Relation und so fort, allgemein: gibt eine Relation Beziehungen zwischen n Objekten an, dann nennt man sie n-stellige Relation. Eine binäre Relation ist eine Menge geordneter Paare, welche jeweils die beiden in Beziehung stehenden Objekte als Komponenten enthalten, bei tertiären Relationen sind es Tripel, bei n-stelligen Relationen n-Tupel. Beispiel einer binären Relation ist die mit dem Symbol “<” bezeichnete Kleiner–als–Relation, das ist die Menge aller geordneten Paare (x,y) reeller Zahlen, deren Differenz negativ ist; man schreibt, wie bei binären Relationen üblich, a<b, wenn (a,b) ein Element dieser Relation ist.
Mengen gleichlanger Tupel, deren Längen größer als 1 ist, nennt man Relationen, insbesondere n-stellige Relationen, wenn n die Länge ihrer Elemente ist.
bezeichnet eine n-stellige Relation.
heißt in der i-ten Position eindeutig, wenn sie keine verschiedenen Elemente enthält, die sich nur in der i-ten Komponente voneinander unterscheiden.
- Formal:
.
- Die Menge der i-ten Komponenten der Elemente von
heißt i-ter Komponentenbereich von .
- Formal:
.
- Ist
eine Permutation des n-Tupels (1, 2 . . . n), dann nennt man diejenige Relation, die aus hervorgeht, indem in jedem ihrer Elemente die i-te Komponente gegen die –te austauscht, –Inverse von . Die (n, . . . 2, 1)–Inverse von nennt man einfach Inverse von .
- Formal:
.
Eine n-stellige Relation heißt
- binär, tertiär und so fort, je nachdem n = 2, 3, . . .
- funktional, wenn sie in der letzten (n-ten) Position eindeutig ist.
- Relation zwischen den Mengen
, wenn für i = 1, . . . n (gleichbedeutend mit [1] )
- homogen auf der Menge
, wenn für i = 1, . . . n.
Nachstehend bezeichnen binäre Relationen.
- Für
schreibt man auch ![{\displaystyle xRy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324aab4e2674bb19cc073ea887888b98f0fc63d4)
- Die Relationenverknüpfung von
ist definiert als die Relation .
- Die Relationenverknüpfung ist assoziativ:
.
heißt
- linkseindeutig, wenn sie in der 1. Position eindeutig ist.
- rechtseindeutig, wenn sie in der 2. Position eindeutig ist.
- eineindeutig, wenn sie sowohl links- als auch rechtseindeutig ist.
- Eine (n+1)-stellige (n ≥ 1) funktionale Relation
heißt n-stellige Funktion oder Funktion mit n Argumenten.
- Für
schreibt man auch , nennt Wert von für die Argumente und bezeichnet diesen mit .
heißt injektiv, wenn aus folgt, dass für i = 1, . . . n.
- Die Menge
heißt Wertebereich von und wird so notiert .
- Die Aussage
heißt in der i-ten Position total oder partiell, je nachdem oder .
- Die Aussage
heißt
- links- oder rechtstotal, wenn sie in der 1. respektive 2. Position total ist
- links- oder rechtspartiell, wenn sie in der 1. respektive 2. Position partiell ist
- bitotal, wenn sie sowohl links- als auch rechtstotal ist
- bipartiell, wenn sie sowohl links- als auch rechtpartiell ist
- Die Aussage
liest man " ist eine Funktion aus in " und schreibt dafür .
- Bei Funktionen mit einem Argument setzt man bei Bedarf in der Aussage
auf den Pfeil die Buchstaben
- "i", wenn
injektiv ist
- "t", wenn
linkstotal ist
- "p", wenn
linkspartiell ist
- "s", wenn
rechtstotal ist
- "b" anstelle der Kombination "is"
Lesarten bei Funktionen mit einem Argument
(der hinter dem Schrägstrich in der ersten Spalte angegebene Pfeil ist eine Alternative zum davorstehenden)
Die Aussage
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liest man: ist eine
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alternativ auch: ist eine
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totale Funktion aus in
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Funktion von in
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totale injektive Funktion aus in
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injektive Funktion von in
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totale surjektive Funktion aus in
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Funktion von auf
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totale bijektive Funktion aus in
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injektive Funktion von auf
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partielle Funktion aus in
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––––––
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partielle injektive Funktion aus in
|
––––––
|
|
partielle surjektive Funktion aus in
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partielle Funktion aus auf
|
|
partielle bijektive Funktion aus in
|
partielle injektive Funktion aus auf
|
- Die Identitätsrelation auf einer Menge
ist die Relation .
- Die Universalrelation auf einer Menge
ist die Relation .
- Im Kontext einer vorgegebenen Menge verzichtet man bei der Identitätsrelation und der Universalrelation auf die Angabe der Menge, schreibt also einfach nur
respektive .
Beispiele: Gewöhnliche Vergleichsrelationen auf der Menge der reellen Zahlen
![{\displaystyle {\leq }\;:=\;\{(x,y)\in {\text{U}}\mid \exists \,z\in \mathbb {R} \colon y\,{\text{I}}\,(x+z^{2})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114afb3064e32c51ddfcf1e6f14a01675e88488b)
![{\displaystyle {\geq }\;:=\;\,\leq ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43d2ca965768c9c9a7f23549e7ae608858ec4a0)
![{\displaystyle {<}\;:=\;{\leq }\setminus {\text{I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c04eb11cad17ce92a84f263a50424beb60406e)
![{\displaystyle {>}\;:=\;{<}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd68fb09a301b2dabcce765e9c6023aa7a4f3bf)
![{\displaystyle {=}\;:=\;{\text{I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232fc53837c22a2182dfa46aa44348ed95694dee)
![{\displaystyle {\not =}\;:=\;{\text{U}}\setminus {\text{I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f695cd85555cc67d6b41195723de88b201344e9)
Eine binäre homogene Relation auf
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heißt
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wenn
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in Worten
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rechtskomparativ
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Ist z sowohl von x als auch von y Partner, dann sind x und y Partner voneinander
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linkskomparativ
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Sind x und y beide Partner von z, dann sind x und y Partner voneinander
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transitiv
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Ist y Partner von x und z Partner von y, dann ist auch z Partner von x
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intransitiv
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Ist y Partner von x und z Partner von y, dann ist z kein Partner von x
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reflexiv
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Jedes x ist Partner seiner selbst
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irreflexiv
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Kein x ist Partner seiner selbst
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symmetrisch
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Ist y Partner von x, dann ist auch x Partner von y
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asymmetrisch
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Ist y Partner von x, dann ist x kein Partner von y
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antisymmetrisch
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Ist y Partner von x und x Partner von y, dann sind x und y gleich
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vollständig
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y ist Partner von x oder x ist Partner von y
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konnex
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Ist y verschieden von x, dann ist y Partner von x oder x Partner von y
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trichotom
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wenn konnex und asymmetrisch ist
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quasigeordnet
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wenn transitiv und reflexiv ist
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äquivalent
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wenn transitiv, reflexiv und symmetrisch ist
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teilgeordnet
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wenn transitiv, reflexiv und antisymmetrisch ist
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linear geordnet
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wenn vollständig und teilgeordnet ist
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striktgeordnet
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wenn transitiv, irreflexiv und antisymmetrisch ist
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streng vollgeordnet
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wenn konnexe und teilgeordnet ist
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wohlgeordnet
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wenn linear geordnet ist und jede nichtleere Teilmenge von ein kleinstes Element besitzt
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Relationen können echte Klassen gleichlanger Tupel, sein[2]
Beispiel:
Substring-Relation ( ist die Verkettung der Tupel )
. Z.B. gilt .
- ↑
In der Literatur findet sich "n-stellige Relation" manchmal auch als (n+1)-Tupel
definiert, wobei . wird dann "Graph" der Relation genannt.
- ↑ Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.
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