Benutzer:Hp.Baumeler/Dämmerung

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Dauer der Dämmerung auf verschiedenen Breitengraden

Sonne am Himmelszelt bei Dämmerung und Sonnenaufgang (SR)

Die Tabellen zeigen, um wie viele Minuten nach Sonnenuntergang die betreffende Dämmerungsphase endet, beziehungsweise um wie viele Minuten vor Sonnenaufgang sie beginnt. Auch am Äquator werden die längsten Dämmerungszeiten zu den beiden Sonnenwenden erreicht. Die kürzesten Dämmerungszeiten fallen mit den Tagundnachtgleichen zusammen.

Die Dauer der drei Dämmerungsphasen kann, ähnlich wie die Berechnung des Azimuts der aufgehenden Sonne, mit dem Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie berechnet werden. Dazu betrachtet man das Dreieck, das am Himmelszelt durch den Nordpol $(NP)$, den Zenit $(Z)$ des Beobachters und durch die Position der Sonne aufgespannt wird. $\varphi$ ist dabei die geographische Breite des Beobachters und $\delta$ die momentane Deklination der Sonne. $c$ ist die Zenitdistanz der Sonne vom Betrachter aus gesehen. Die drei Seiten $a,b,c$ des Dreiecks sind somit $a=(90^{\circ }-\delta )$ und $b=(90^{\circ }-\varphi )$. Bei Sonnenaufgang ist die Zenitdistanz $c$ der Sonne 90°. Für die Grenzen der drei verschiedenen Dämmerungsphasen hat die Sonne, die unter dem Horizont steht, eine Zenitdistanz $c=90^{\circ }+\sigma$, wobei $\sigma =$ 6°, 12° oder 18° ist.

$\gamma$ ist der Winkel am Nordpol zwischen dem Meridian des Beobachters und dem momentanen Meridian der Sonne für eine bestimmte Dämmerungsgrenze $\sigma$. $\gamma _{SR}$ (SR=sunrise) ist der entsprechende Winkel bei Sonnenaufgang, also bei einer Zenitdistanz von 90°. Vom Moment, an dem die Sonne $\sigma$ Grade unter dem Horizont steht bis zum Sonnenaufgang dreht sich die Erde um einen Winkel von $\Delta \gamma =\gamma -\gamma _{SR}$. Für die Drehung um den Winkel $\Delta \gamma$ braucht die Erde

$t_{D}={\frac {\Delta \gamma }{360^{\circ }}}\cdot 24$ Stunden beziehungsweise $t_{D}={\frac {\Delta \gamma }{360^{\circ }}}\cdot 1440$ Minuten.

Die Winkel $\gamma$ und $\gamma _{SR}$ berechnen sich wie folgt:

Der Seiten-Kosinussatz lautet:	$\cos \gamma$	=	${\frac {\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}}$
So folgt für $\gamma$:	$\gamma$	=	$\arccos \left[{\frac {\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}}\right]$
Ersetzt man die drei Dreiecksseiten $a,b,c$ folgt:	$\gamma$	=	$\arccos \left[\sec \delta \cdot \sec \varphi \cdot (-\sin \sigma -\sin \delta \cdot \sin \varphi )\right]$
Bei Sonnenaufgang $(\sigma =0)$ ist:	$\gamma _{SR}$	=	$\arccos \left[-\tan \delta \cdot \tan \varphi \right]$

und damit

$t_{D}(min)={\frac {\gamma -\gamma _{SR}}{360^{\circ }}}\cdot 1440\quad Minuten$
also

$t_{D}(\varphi ,\delta ,\sigma )={\frac {\arccos \left[\sec \delta \cdot \sec \varphi \cdot (-\sin \sigma -\sin \delta \cdot \sin \varphi )\right]-\arccos \left[-\tan \delta \cdot tan\varphi \right]}{360^{\circ }}}\cdot 1440\quad min$

Mit dieser Formel wird die Dauer der drei Dämmerungsphasen mit $\sigma =6^{\circ },12^{\circ },18^{\circ }$ als Funktion der Breite $\varphi$ und der Deklination $\delta$ berechnet.

• Dauer der Dämmerungsphasen in Abhängikkeit der geographischen Breite
• 
  Nördlicher Sommeranfang
  (Die Polarkreise liegen bei 66.6° Nord und 66.6° Süd)
• 
  Herbst- und Frühlingsanfang
  (Die Polarkreise liegen bei 66.6° Nord und 66.6° Süd)
• 
  Nördlicher Winteranfang
  (Die Polarkreise liegen bei 66.6° Nord und 66.6° Süd)

Beobachter am Äquator ($\varphi =0^{\circ }$)

Tag	Datum	bürgerlich	nautisch	astronomisch
Wintersonnenwende	21. Dezember	26 Min.	52 Min.	79 Min.
Tagundnachtgleiche	19. bis 21. März und 22. oder 23. September	24 Min.	48 Min.	72 Min.
Sommersonnenwende	21. Juni	26 Min.	52 Min.	79 Min.

Beobachter auf 30° nördlicher Breite (z. B. Kairo)

Tag	Datum	bürgerlich	nautisch	astronomisch
Wintersonnenwende	21. Dezember	31 Min.	61 Min.	90 Min.
Tagundnachtgleiche	21. März und 22. oder 23. September	28 Min.	56 Min.	84 Min.
Sommersonnenwende	21. Juni	32 Min.	65 Min.	101 Min.

Beobachter auf 50° nördlicher Breite (z. B. Vancouver, Frankfurt am Main, Kiew)

Tag	Datum	bürgerlich	nautisch	astronomisch
Wintersonnenwende	21. Dezember	45 Min.	87 Min.	126 Min.
Tagundnachtgleiche	21. März und 22. oder 23. September	37 Min.	75 Min.	115 Min.
Sommersonnenwende	21. Juni	51 Min.	117 Min.	(nicht erreicht)

Je nach geografischer Breite und Jahreszeit kann es vorkommen, dass bestimmte Dämmerungsphasen nicht erreicht werden.