Die Gruppe
operiert auf der oberen Halbebene
durch
wobei
Für festes
ist die Abbildung
ein Diffeomorphismus. Damit operiert
auch auf
durch
.
Der hyperbolische Laplace Operator auf
wird definiert durch
,
Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe
ist eine glatte Funktion
auf
so dass
für ein
es existiert ein
mit
für
Gilt außerdem
dann nennen wir
Maaß-Spitzenform.
Sei nun
eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen
. Damit hat
eine Fourier-Entwicklung der Gestalt
, wobei die Koeffizientenfunktionen glatt sind.
Wir beobachten außerdem :
ist eine Maaß-Spitzenform genau dann wenn
, denn
wobei in (1) benutzt wurde, dass die Reihe
für festes
lokal gleichmäßig konvergiert.
Sei
der Eigenwert der Maaßschen Wellenform f bezüglich
. Sei
die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit
. Sei
die K-Besselfunktion. Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von
falls
. Ist
so gilt
mit
.
Beweis : Es gilt
. Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für
Zusammen folgt für
In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der n-te Fourierkoeffizient von
genau
ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da f beliebig oft stetig differenzierbar nach y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
Für
kann man zeigen, dass für jede Lösung
dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten
existieren so dass gilt
.
Für
ist jede Lösung
der obigen Differentialgleichung von der Form
für eindeutige
, wobei
die K-Besselfunktion und
die I-Besselfunktionen ist (Siehe dazu zum Beispiel O.Forster : Analysis 2).
Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von
(also
) für ein eindeutiges
Sei
eine Maaß-Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von
als
.
Dann konvergiert die Reihe
für
und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf
fortsetzen.
Ist f gerade oder ungerade so definiert man
wobei
falls
gerade und
falls
ungerade ist. Dann erfüllt
die Funktionalgleichung
.
Beweis:
Sei f eine Maaß-Spitzenform.
Zuerst machen wir uns klar wie schnell die Fourierkoeffizienten von f wachsen.
Behauptung: Es gilt
Beweis: Da f eine Maas-Spitzenform ist, existieren
so dass für
die Ungleichung
gilt. Ist
, und ist
konjugiert zu
modulo
so rechnet man leicht nach, dass
gilt. Da f invariant unter
ist, gilt für
:
. Also gilt für
die Abschätzung
.
Für
und
gilt damit
.
Damit finden wir eine Konstante
so dass für jedes
gilt
.
Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und f ist eine Maas-Spitzenform. Zusammen folgt, dass f auf
beschränkt ist und damit auf
. Damit können wir den obigen Beweis mit
wiederholen und erhalten
für ein
also
.
Um den Satz zu beweisen brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von
.
Behauptung: Für
konvergiert das Integral
absolut und es gilt
.
Beweis: Nach Definition gilt
Wir wenden nun die Transformationsformel auf den Diffeomorphismus
an. Wir erhalten
und
. Das Jacobi-Matrix ergibt sich als
mit Determinante
. Benutzt man nun die Transformationsformel vereinfacht sich obiges Integral zu
und dieses konvergiert absolut für
.
Nun zum Beweis des Satzes. Ist f gerade oder ungerade folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten
für alle
. Sei f zuerst gerade. Dann gilt
Das vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für
gilt :
.
Ebenso zeigt man dass
für
exponentiell fällt.
Wir definieren nun
,
.
Damit gilt
. Da
exponentiell fällt für
, konvergiert
für jedes
und damit ist
eine ganze Funktion (Komplexe Analysis). Nun ist
aber invariant unter
womit insbesondere
folgt.
Wir erhalten nun
.
Damit ist auch
eine ganze Funktion und damit ist
ganz. Insbesondere kann man damit
zu einer ganzen Funktion auf
fortsetzen.
Weiterhin gilt für
die Funktionalgleichung
.
Wenn f ungerade ist, definiert man
.
Dann rechnet man analog zu oben
indem man wieder benutzt, dass die K-Besselfunktion exponential fällt. Wir definieren wieder
,
.
Auch
fällt exponentiell für
. Damit ist auch
wieder eine ganze Funktion. Man rechnet leicht nach, dass gilt
. Damit folgt mit einer analogen Rechnung
. Damit ist
auch im ungeraden Fall ganz und der Satz ist bewiesen.
.
Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe wird für
und
definiert durch
wobei
die Gammafunktion ist.
Dann ist E(z,s) eine Maaßsche Wellenform. Einen Beweis dazu findet man zum Beispiel im Buch Automorphe Formen von Anton Deitmar.
1) Anton Deitmar, Automorphe Formen S.52-74