Benutzer:KonstantinVonGutensteinStreiteben/Sandkasten
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In der mathematischen Theorie der algebraischen Zahlen, also der komplexen Nullstellen α∈C, p(α)=0, von univariaten Polynomen p(X)∈Z[X] mit ganzen rationalen Zahlen als Koeffizienten, versteht man unter dem p-Klassenkörperturm eines algebraischen Zahlkörpers K=Q(α) die maximale unverzweigte pro-p-Erweiterung Fp∞(K) von K für eine fest vorgegebene Primzahl p. Die Gruppe der Automorphismen von Fp∞(K), welche den Grundkörper K invariant lassen, heißt die p-Turmgruppe G:=Gp∞(K):=Gal(Fp∞(K)/K) von K. Im Fall eines unendlichen p-Klassenkörperturms Fp∞(K) ist G eine topologische Gruppe mit der Krull-Topologie.
| d | Typus | κ | τ | Gp2(K) | Gp∞(K) | Ref. |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -3896 | H.4 | (4443) | [111,111,21,111] | ⟨729,45⟩ | ⟨6561,606⟩ | [1] |
| -4027 | D.10 | (2241) | [21,21,111,21] | ⟨243,5⟩ | ⟨243,5⟩ | [2] |
| -9748 | E.9 | (2231) | [32,21,21,21] | ⟨2187,302⟩ | ⟨6561,620⟩ | [3] |
| or | ⟨2187,306⟩ | ⟨6561,624⟩ | ||||
| -12131 | D.5 | (4224) | [111,21,111,21] | ⟨243,7⟩ | ⟨243,7⟩ | [2] |
| -15544 | E.6 | (1313) | [32,21,111,21] | ⟨2187,288⟩ | ⟨6561,616⟩ | [1] |
| -16627 | E.14 | (2313) | [32,21,111,21] | ⟨2187,289⟩ | ⟨6561,617⟩ | [1] |
| or | ⟨2187,290⟩ | ⟨6561,618⟩ | ||||
| -34867 | E.8 | (1231) | [32,21,21,21] | ⟨2187,304⟩ | ⟨6561,622⟩ | [1] |
Stufen und Länge des p-Klassenkörperturms
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die absteigende Reihe der iterierten Kommutatoruntergruppen von G, G=G(0)>G(1)>G(2)>… mit G(n+1):=[G(n),G(n)] für n≥0, gibt im Sinne der Galoiskorrespondenz Anlass für die Stufen (Etagen, Stockwerke) des Turms, welche gegeben sind durch Fpn(K):=Fix(G(n)), beziehungsweise gleichwertig durch Gal(Fp∞(K)/Fpn(K))=G(n), für n≥0. Aufgrund des Isomorphiesatzes ist Gpn(K):=Gal(Fpn(K)/K)≅Gal(Fp∞(K)/K)/Gal(Fp∞(K)/Fpn(K))=G/G(n) die Galoisgruppe des n-ten Hilbert p-Klassenkörpers Fpn(K) von K, isomorph zum n-ten abgeleiteten Quotienten von G, und wird als n-te p-Klassengruppe von K bezeichnet. Für n=1 ergibt sich mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes von Artin [4] die Isomorphie der Abelianisierung der p-Turmgruppe, G/G(1)≅Gal(Fp1(K)/K)≅Clp(K), zur (gewöhnlichen) ersten p-Klassengruppe von K, also zur Sylow p-Untergruppe der (endlichen abelschen) Idealklassengruppe Cl(K) von K, als Galoisgruppe der maximalen abelschen unverzweigten p-Erweiterung Fp1(K) von K. Die p-Turmgruppe G ist entweder eine unendliche pro-p-Gruppe mit endlicher Abelianisierung G/G(1) oder eine endliche p-Gruppe. Im ersteren Fall ist auch der p-Klassenkörperturm von K, K<Fp1(K)<Fp2(K)<…<Fp∞(K), von unendlicher Länge λp(K)=∞ und G=Gp∞(K)≅lim←Gpn(K) ist der projektive Limes der Galoisgruppen aller Stufen des Turmes. Im letzteren Fall ist G auflösbar und nilpotent und der Turm K<Fp1(K)<Fp2(K)<…<Fpλ(K)=Fpλ+1(K)=Fp∞(K) endet bei der abgeleiteten Länge von G, λp(K)=λ=dl(G), präziser ausgedrückt: wird dort stationär.
Relationenrang der p-Turmgruppe
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für die Bestimmung der Länge eines p-Klassenkörperturms ist die Abschätzung des Relationenrangs von G=Gp∞(K) von entscheidener Bedeutung. G operiert trivial auf dem endlichen Körper GF(p) mit p Elementen und die kohomologischen Dimensionen d1(G):=dim H1(G,GF(p)), bzw. d2(G):=dim H2(G,GF(p)), heißen Generatorenrang, bzw. Relationenrang, von G. Für einen Grundkörper K mit der Signatur (r,c), also mit dem torsionsfreien Dirichlet-Einheitenrang u:=r+c-1, hat Shafarevich [5] die folgende Abschätzung des Relationenrangs der p-Turmgruppe hergeleitet: d1(G)≤d2(G)≤d1(G)+u+θ, wobei θ:=1, falls K die p-ten Einheitswurzeln enthält, und θ:=0 anderenfalls. Aufgrund der Isomorphie G/G(1)≅Clp(K) ist der Generatorenrang d1(G) von G gleich dem p-Klassenrang ρp(K) von K, also gleich der Anzahl der Basiselemente der p-Klassengruppe Clp(K). Für den besonders ausführlich untersuchten einfachsten Spezialfall eines imaginär-quadratischen Grundkörpers K haben Koch und Venkov [6] aus dem kohomologischen Kriterium von Shafarevich das folgende grundlegende Resultat abgeleitet.
Satz von Koch und Venkov. Für eine ungerade Primzahl p≥3 ist die p-Turmgruppe G=Gp∞(K) eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers K eine sogenannte Schur σ-Gruppe mit ausgewogener Präsentation d2(G)=d1(G) und mit einem Automorphismus σ∈Aut(G), welcher auf der Abelianisierung G/G(1) die Inversion x→x-1 hervorruft. (Wegen der Isomorphie G/G(1)≅H1(G,GF(p)) heißt σ ein generatoren-invertierender (GI-)Automorphismus.)
Zusatz von Schoof. [7] Für eine ungerade Primzahl p≥3 und für jede ganze Zahl n≥2 besitzt die n-te p-Klassengruppe U=Gpn(K) eines beliebigen (imaginären oder reellen) quadratischen Zahlkörpers K einen Automorphismus σ∈Aut(U), der sowohl auf H1(U,GF(p)) als auch auf H2(U,GF(p)) die Inversion x→x-1 induziert. (σ heißt daher ein relatoren-invertierender (RI-)Automorphismus.)
| d | Typus | κ | τ | Gp2(K) | Gp∞(K) | Ref. |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 32009 | a.3 | (2000) | [21,11,11,11] | ⟨81,8⟩ | ⟨81,8⟩ | [2] |
| 62501 | a.1 | (0000) | [22,11,11,11] | ⟨729,99⟩ | ⟨729,99⟩ | [8] |
| 72329 | a.2 | (1000) | [21,11,11,11] | ⟨81,10⟩ | ⟨81,10⟩ | [2] |
| 142097 | a.3 | (2000) | [111,11,11,11] | ⟨81,7⟩ | ⟨81,7⟩ | [2] |
| 152949 | a.1 | (0000) | [22,11,11,11] | ⟨729,100⟩ | ⟨729,100⟩ | [8] |
| 214712 | G.19 | (4321) | [21,21,21,21] | ⟨729,57⟩ | ⟨2187,311⟩ | [9] |
| 252977 | a.1 | (0000) | [22,11,11,11] | ⟨729,101⟩ | ⟨729,101⟩ | [8] |
| 342664 | E.9 | (2231) | [32,21,21,21] | ⟨2187,302⟩ | ⟨6561,620⟩ | [9] |
| or | ⟨2187,306⟩ | ⟨6561,624⟩ | ||||
| 494236 | a.3↑ | (2000) | [32,11,11,11] | ⟨729,97⟩ | ⟨729,97⟩ | [2] |
| or | ⟨729,98⟩ | ⟨729,98⟩ | ||||
| 534824 | c.18 | (0313) | [22,21,111,21] | ⟨729,49⟩ | ⟨2187,291⟩ | [10] |
| 540365 | c.21 | (0231) | [22,21,21,21] | ⟨729,54⟩ | ⟨2187,307⟩ | [10] |
| or | ⟨2187,308⟩ | |||||
| 790085 | a.2↑ | (1000) | [32,11,11,11] | ⟨729,96⟩ | ⟨729,96⟩ | [2] |
| 957013 | H.4 | (4443) | [111,111,21,111] | ⟨729,45⟩ | ⟨2187,273⟩ | [9] |
| 2905160 | a.1↑ | (0000) | [33,11,11,11] | ⟨6561,2227⟩ | ⟨6561,2227⟩ | [8] |
| 3918837 | E.14 | (2313) | [32,21,111,21] | ⟨2187,289⟩ | ⟨2187,289⟩ | [9] |
| or | ⟨2187,290⟩ | ⟨2187,290⟩ | ||||
| 4760877 | E.9 | (2231) | [32,21,21,21] | ⟨2187,302⟩ | ⟨2187,302⟩ | [9] |
| or | ⟨2187,306⟩ | ⟨2187,306⟩ | ||||
| 5264069 | E.6 | (1313) | [32,21,111,21] | ⟨2187,288⟩ | ⟨6561,616⟩ | [9] |
| 6098360 | E.8 | (1231) | [32,21,21,21] | ⟨2187,304⟩ | ⟨6561,622⟩ | [9] |
| 7153097 | E.6 | (1313) | [32,21,111,21] | ⟨2187,288⟩ | ⟨2187,288⟩ | [9] |
| 8632716 | E.8 | (1231) | [32,21,21,21] | ⟨2187,304⟩ | ⟨2187,304⟩ | [9] |
| 9433849 | E.14 | (2313) | [32,21,111,21] | ⟨2187,289⟩ | ⟨6561,617⟩ | [9] |
| or | ⟨2187,290⟩ | ⟨6561,618⟩ | ||||
| 10200108 | a.3↑↑ | (2000) | [43,11,11,11] | ⟨6561,2223⟩ | ⟨6561,2223⟩ | [8] |
| or | ⟨6561,2224⟩ | ⟨6561,2224⟩ | ||||
| 10399596 | a.1↑ | (0000) | [33,11,11,11] | ⟨6561,2225⟩ | ⟨6561,2225⟩ | [8] |
| 14458876 | a.2↑↑ | (1000) | [43,11,11,11] | ⟨6561,2222⟩ | ⟨6561,2222⟩ | [8] |
| 27780297 | a.1↑ | (0000) | [33,11,11,11] | ⟨6561,2226⟩ | ⟨6561,2226⟩ | [8] |
Artin-Muster der p-Turmgruppe
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Auf dem Wege zur Identifikation der p-Turmgruppe G eines vorgegebenen Zahlkörpers K verwendet man zunächst das Artin-Muster AP=(κ,τ), um die Metabelianisierung M:=G/G(2) von G zu finden. Dieses Muster besteht aus der Gesamtheit der Kerne κ:=(ker(V(G,U))) und Ziele τ:=(U/U(1)), genauer: der logarithmischen abelschen Quotienten-Invarianten der Ziele, der Artin-Verlagerungen V(G,U):G/G(1)→U/U(1) der Gruppe G in ihre maximalen Untergruppen U vom Index p. In vielen Fällen führt diese Strategie der Mustererkennung mittels Artin-Verlagerungen zur eindeutigen Identifizierung zumindest der zweiten Stufe des Turmes, also der metabelschen Galoisgruppe M≅Gp2(K) des zweiten Hilbert p-Klassenkörpers Fp2(K) von K, als Approximation der vollen p-Turmgruppe G. Auf jeden Fall liefert dieser Prozess nur endlich viele Kandidaten für Gp2(K). Historisch gesehen geht die Idee zu dieser Vorgangsweise auf die Untersuchungen von Scholz und Taussky [11] im Jahre 1934 zurück, aus welchen auch die Bezeichnungen für den Typus [12] in den Tabellen 1 und 2 herrühren. Diese Autoren bestimmten aus dem Kapitulationstypus (kurz: Typus) κ imaginär quadratischer Zahlkörper K mit elementarer 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Rang ρ3(K)=2 die symbolische Ordnung, das heißt das Annihilatorideal [13] aller bivariaten Polynome f(X,Y)∈Z[X,Y] mit der Eigenschaft sf(x,y)=1, des Hauptkommutators s=[y,x] der metabelschen Gruppe M:=G32(K) vom Erzeugendenrang d1(M)=2, also mit zwei Generatoren x und y. Die zweite Komponente τ des Artin-Musters kam bei Scholz und Taussky noch in einer rudimentären Ausprägung in Form der 3-Klassenzahlen der vier unverzweigten zyklisch-kubischen Erweiterungen von K ins Spiel, war aber zusammen mit κ hinreichend für die eindeutige Identifikation der Gruppe M. In der experimentellen, computerunterstützten Mathematik dient das Artin-Muster als Suchbegriff für Datenbankabfragen entweder in der SmallGroups Bibliothek [14] oder in Erweiterungen dieser Bibliothek, welche mit Hilfe des p-Gruppen Erzeugungsalgorithmus von Newman [15] und O' Brien [16] konstruiert werden. Die Verwendung der expliziten Struktur von τ in Form der abelschen Typinvarianten der 3-Klassengruppen (anstelle der 3-Klassenzahlen) der vier unverzweigten zyklisch-kubischen Erweiterungen von K kann dabei zu einer erheblichen Einschränkung der Kandidaten für die Gruppe M führen.
Konkrete Beispiele von p-Klassenkörpertürmen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Systematisch erforscht wurden bisher die p-Klassenkörpertürme von quadratischen Zahlkörpern für ungerade Primzahlen p≥3. Ein quadratischer Zahlkörper K=Q(√d) entsteht durch Adjunktion einer der beiden Nullstellen √d und -√d des Polynoms p(X)=X2-d mit einer Fundamentaldiskriminante d≡0,1(mod 4), d≠1, an den Körper Q der rationalen Zahlen. Einige grundlegende Regeln für die Länge λp(K) des p-Klassenkörperturms eines quadratischen Zahlkörpers K lassen sich in Termen des p-Klassenrangs ρp(K) von K ausdrücken:
- Der triviale Fall λp(K)=0 tritt bei einem beliebigen Zahlkörper K genau dann auf, wenn auch ρp(K)=0, also die Klassenzahl von K nicht durch p teilbar ist.
- Einstufige Türme mit λp(K)=1 sind bei quadratischen Grundkörpern K charakteristisch für zyklische p-Klassengruppen mit ρp(K)=1. Diese Äquivalenz geht bei anderen Arten von Grundkörpern leider verloren. So ist für Zahlkörper K dritten und vierten Grades die Bedingung ρp(K)=1 zwar noch hinreichend aber im allgemeinen nicht mehr notwendig für λp(K)=1.
- Koch und Venkov [6] haben gezeigt, dass imaginär-quadratische Zahlkörper K mit mindestens dreibasiger p-Klassengruppe, also mit ρp(K)≥3, einen unendlichen p-Klassenkörperturm mit λp(K)=∞ besitzen.
- Den abwechslungsreichsten Fall bilden die quadratischen Zahlkörper K mit p-Klassenrang ρp(K)=2, für die theoretisch alle Längen 2≤λp(K)≤∞möglich sind, von denen aber bisher (Stand 25.04.2020) nur Situationen mit λp(K)=2 und λp(K)=3 rigoros nachgewiesen werden konnten.
Die zweite Etage G32(K) des 3-Klassenkörperturms aller quadratischen Zahlkörper K=Q(√d) mit Fundamentaldiskriminanten d im Bereich -106<d<107 und elementarer 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Rang zwei wurde im Jahre 2010 in einem aufwändigen, mehrere Monate an CPU-Zeit in Anspruch nehmenden Projekt [17] bestimmt, dessen zugrundeliegende neuartige Algorithmen unter dem Schlagwort Kapitulationstypus mittels Klassengruppenstruktur [2] publiziert wurden, weil für die Bewältigung der 4596 zu analysierenden Zahlkörper der von Scholz und Taussky [11], sowie auch von Heider und Schmithals [18], benutzte Algorithmus zu wenig effizient gewesen wäre.
Die dritte Etage G33(K) eines 3-Klassenkörperturms, nämlich jedes imaginär-quadratischen Zahlkörpers K=Q(√d), d<0, mit elementarer 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Rang zwei und Artin-Muster AP=(κ,τ) mit Kapitulation κ=(2231) vom Typus E.9 und logarithmischen abelschen Quotienten-Invarianten τ=[32,21,21,21], wurde im Lauf der Geschichte erstmals 2012 von Boston, Bush und Mayer [3] unzweifelhaft mit präziser Länge λ3(K)=3 identifiziert, nachdem Scholz und Taussky[11], sowie Heider und Schmithals[18], die fehlerhafte Zweistufigkeit λ3(K)=2 behauptet hatten. Entscheidend für den Beweis war die Tatsache, dass die Metabelianisierung M=⟨2187,302⟩, bzw. ⟨2187,306⟩, von G keine Schur σ-Gruppe ist, die 3-Turmgruppe G=⟨6561,620⟩, bzw. ⟨6561,624⟩, mit dl(G)=3 hingegen sehr wohl.
Weitere exakt dreistufige 3-Klassenkörpertürme der Typen E.6, E.14 und E.8 für imaginär-quadratische Körper [1] sowie c.18 und c.21 für reell-quadratische Körper [10] wurden im Jahr 2015 entdeckt.
Im gleichen Jahr wurden auch reell-quadratische Körper der Typen E.6, E.14, E.8 und E.9 auf die Länge ihres 3-Klassenkörperturms untersucht, [9] wobei sich die Kuriosität herausstellte, dass die von Scholz und Taussky für den imaginären Fall fälschlich behauptete Länge λ3(K)=2 im reellen Fall tatsächlich erlaubt ist und von der Dreistufigkeit λ3(K)=3 durch streng deterministische Kriterien unterschieden werden kann.
Im Jahr 2017 schließlich gelang noch die Ermittlung der Feinstruktur der reell-quadratischen Zahlkörper K=Q(√d), d>0, mit elementarer 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Rang zwei und Artin-Muster AP=(κ,τ) mit vierfacher Totalkapitulation κ=(0000) vom Typus a.1 (und beliebigen abelschen Quotienten-Invarianten τ) unter Verwendung der sogenannten tiefen Verlagerungen. [8]
Tabelle 1, bzw. 2, zeigt die essentiellen Invarianten des 3-Klassenkörperturmes F3∞(K) von allen imaginären, bzw. reellen, quadratischen Zahlkörpern K=Q(√d) mit der Minimaldiskriminante d für das jeweilige Artin-Muster AP=(κ,τ), falls die Ordnungen der beiden Galoisgruppen G32(K) und G3∞(K) den Maximalwert 6561 der SmallGroups Datenbank [14] nicht überschreiten. Zahlreiche konkrete Beispiele mit 3-Turmgruppen G höherer logarithmischer Ordnung lo(G)>8 sind bekannt, [10] [9] sollen aber hier nicht explizit angeführt werden, weil die Bezeichnungsweise für diese Gruppen mit Relativ-Identitäten leider viel Platz in Anspruch nimmt und auf den ersten Blick unübersichtlich aussieht. Die Symbole ↑, bzw. ↑↑, hinter dem Typus heben erste, bzw. zweite, Anregungszustände gegenüber dem Grundzustand hervor, das bedeutet Varianten von τ bei festem Typus κ. Bei Gleichheit von G32(K) und G3∞(K) ist λ3(K)=2, bei Verschiedenheit ist G3∞(K)=G33(K) und λ3(K)=3.
Ein auffallender Unterschied in der Ordnung ord(G) der 3-Turmgruppe G und gelegentlich sogar in der Länge λ3(K) des 3-Klassenkörperturms wurde zwischen imaginär-quadratischen Zahlkörpern mit negativen Diskriminanten d<0 und reell-quadratischen Zahlkörpern mit positiven Diskriminanten d>0 bei übereinstimmendem Artin-Muster AP=(κ,τ) festgestellt. So besitzen die Körper K mit Diskriminanten d=-3896 und d=957013 übereinstimmend den Typus H.4 mit κ=(4443), τ=[111,111,21,111], isomorphe zweite 3-Klassengruppen G32(K)≅⟨729,45⟩ und dieselbe Länge λ3(K)=3, aber die Schur σ-Gruppe G3∞(K)≅⟨6561,606⟩ im imaginären Fall hat größere Ordnung als die 3-Turmgruppe G:=G3∞(K)≅⟨2187,273⟩ mit Relationenrang d2(G)=3 im reellen Fall. Noch gravierender ist das unterschiedliche Verhalten bei den Körpern K mit Diskriminanten d=-15544 und d=7153097. Während der Typus E.6 mit κ=(1313), τ=[32,21,111,21] und die zweiten 3-Klassengruppen G32(K)≅⟨2187,288⟩ übereinstimmen, besteht der anspruchsvolle imaginäre Körper nach dem Satz von Koch und Venkov natürlich auf der Schur σ-Gruppe G3∞(K)≅⟨6561,616⟩ mit λ3(K)=3 aber der genügsame reelle Körper ist schon mit der nicht-balancierten Gruppe G3∞(K)≅⟨2187,288⟩ mit λ3(K)=2 zufrieden.
Ungelöste Probleme bei unendlichem p-Klassenkörperturm
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der p-Klassenkörperturm Fp∞(K) eines Zahlkörpers K kann nur dann als bekannt betrachtet werden, wenn eine pro-p-Präsentation seiner Galois-Gruppe, also der p-Turmgruppe Gp∞(K), mit expliziten Generatoren und Relationen vorliegt. Bei einem unendlichen Turm mit der Länge λp(K)=∞ könnte aus dieser pro-p-Präsentation ein analytischer Ausdruck n→Ordn für das Wachstum der Ordnungen Ordn:=ord(Gpn(K)) der abzählbar unendlich vielen Stufen des Turmes in Abhängigkeit von n≥2 angegeben werden.
Leider ist man derzeit von der Lösung dieses hochinteressanten Problems noch meilenweit entfernt. Beispielsweise besitzt der imaginär-quadratische Zahlkörper K=Q(√d) mit Fundamentaldiskriminante d=-4447704 eine elementare 3-Klassengruppe vom Rang ρ3(K)=3, also mit logarithmischen abelschen Typinvarianten [111], und somit nach der obenstehenden grundlegenden Regel 3 einen unendlichen 3-Klassenkörperturm mit λ3(K)=∞. Aber die Werte der Funktion Ordn sind für n≥3 völlig unbekannt und für n=2, also für die Ordnung der zweiten 3-Klassengruppe Gal(F32(K)/K), konnte unter enormem Aufwand an CPU-Zeit nur die untere Abschätzung Ord2≥317 berechnet werden. [9]
Referenzen (Belege)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ a b c d e Mayer, D. C.: Index-p abelianization data of p-class tower groups. In: Adv. Pure Math. 5. Jahrgang, Nr. 5, 2015, S. 286–313, doi:10.4236/apm.2015.55029, arxiv:1502.03388.
- ↑ a b c d e f g h Mayer, D. C.: Principalization algorithm via class group structure. In: J. Théor. Nombres Bordeaux. 26. Jahrgang, Nr. 2, 2014, S. 415–464, doi:10.5802/jtnb.874, arxiv:1403.3839.
- ↑ a b Bush, M. R., Mayer, D. C.: 3-class field towers of exact length 3. In: J. Number Theory. 147. Jahrgang, 2015, S. 766–777, doi:10.1016/j.jnt.2014.08.010, arxiv:1312.0251.
- ↑ Artin, E.: Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 5. Jahrgang, 1927, S. 353–363.
- ↑ Shafarevich, I. R.: Extensions with given points of ramification. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 18. Jahrgang, 1963, S. 71–95. Translated in Amer. Math. Soc. Transl. (2), 59: 128-149, (1966).
- ↑ a b Koch, H., Venkov, B. B.: Über den p-Klassenkörperturm eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers. In: Astérisque. 24-25. Jahrgang, 1975, S. 57--67.
- ↑ Schoof, R.: Infinite class field towers of quadratic fields. In: J. Reine Angew. Math. 372. Jahrgang, 1986, S. 209–220.
- ↑ a b c d e f g h i Mayer, D. C.: Deep transfers of p-class tower groups. In: J. Appl. Math. Phys. 6. Jahrgang, Nr. 1, 2018, S. 36–50, doi:10.4236/jamp.2018.61005, arxiv:1707.00232.
- ↑ a b c d e f g h i j k l m Mayer, D. C.: Criteria for three-stage towers of p-class fields. In: Adv. Pure Math. 7. Jahrgang, Nr. 2, 2017, S. 135–179, doi:10.4236/apm.2017.72008, arxiv:1601.00179.
- ↑ a b c d Mayer, D. C.: New number fields with known p-class tower. In: Tatra Mt. Math. Pub. 64. Jahrgang, 2015, S. 21–57, doi:10.1515/tmmp-2015-0040, arxiv:1510.00565.
- ↑ a b c Scholz, A., Taussky, O.: Die Hauptideale der kubischen Klassenkörper imaginär quadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm. In: J. Reine Angew. Math. 171. Jahrgang, 1934, S. 19–41.
- ↑ Mayer, D. C.: Transfers of metabelian p-groups. In: Monatsh. Math. 166. Jahrgang, Nr. 3–4, 2012, S. 467–495, doi:10.1007/s00605-010-0277-x, arxiv:1403.3896.
- ↑ Mayer, D. C.: Annihilator ideals of two-generated metabelian p-groups. In: J. Algebra Appl. 17. Jahrgang, Nr. 4, 2018, doi:10.1142/S0219498818500767, arxiv:1603.09288.
- ↑ a b Besche, H. U., Eick, B., O'Brien, E. A.: The SmallGroups Library – a library of groups of small order. An accepted and refereed GAP 4 package, available also in MAGMA, 2005.
- ↑ M. F. Newman: Determination of groups of prime-power order. In: Group Theory, Canberra, 1975 (= Lecture Notes in Mathematics. Band 573). Springer, 1977, S. 73–84.
- ↑ O'Brien, E. A.: The p-group generation algorithm. In: J. Symbolic Comput. 9. Jahrgang, 1990, S. 677–698, doi:10.1016/s0747-7171(08)80082-x.
- ↑ Mayer, D. C.: The second p-class group of a number field. In: Int. J. Number Theory. 8. Jahrgang, Nr. 2, 2012, S. 471–505, doi:10.1142/s179304211250025x, arxiv:1403.3899.
- ↑ a b Heider, F.-P., Schmithals, B.: Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen. In: J. Reine Angew. Math. 363. Jahrgang, 1982, S. 1–25.