Benutzer:Mbasti01/Bausteine Regelungstechnik

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Varianz

Diskussion auf Seite Stichprobenvarianz: Fände ich schön das hier zu lesen: https://online.stat.psu.edu/stat415/book/export/html/810 2A01:C23:81B4:A500:692C:272B:1A9C:F663 22:45, 13. Feb. 2022 (CET)

Varianz der Varianz einer Stichprobe

Aus den Werten in einer Stichprobe lässt sich mit den Formeln (1) und (2) näherungsweise die Varianz der Grundgesamtheit $\sigma ^{2}$ berechnen. Was bedeutet "näherungsweise" in diesem Fall? Wie genau ist diese Schätzung? Das hängt von der Streuung der Datenwerte und von der Anzahl der Datenwerte ab. Die Varianz basierend auf einer Stichprobe ist eine Zufallsvariable: D.h. wenn man viele Stichproben nimmt, dann wird jede Stichprobe zu einer anderen Varianz-Schätzung ${\tilde {\sigma }}^{2}$ führen. Gesucht ist also die Streuung dieser Zufallsvariable - die "Varianz der Varianz", die wir im Folgenden mit $Var(\sigma ^{2})$ abkürzen.

Die Berechnung der "Varianz der Varianz" baut auf den Formeln (1) und (2) auf.

Varianz der Varianz - bei unbekanntem wahren Mittelwert der Gesamtheit

In diesem Fall ist der Ausgangspunkt die Formel (1). Die "Varianz der Varianz" wird dann berechnet durch:

(5a)	$Var(\sigma ^{2})={\frac {2}{n-1}}\sigma ^{4}$

Varianz der Varianz - bei bekanntem wahren Mittelwert der Gesamtheit

In diesem Fall ist der Ausgangspunkt die Formel (2). Die "Varianz der Varianz" wird dann berechnet durch:

(5a)	$Var(\sigma ^{2})={\frac {2}{n}}\sigma ^{4}$

Weblink

HU-Berlin 2022 - Verteilung der Stichprobenvarianz (MediaWiki)

HU-Berlin 2022 - Peter C. Young: Recursive Estimation and Time-Series-Analysis. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21980-1. 

Formelzeichen, basierend auf Vorlage:Infobox

Formelzeichen
a	asdf
b	sdfg
c	dfgh
d	fghj

Seiten

sort	Seite	z-Trans	x	x	Bemerkung
01	Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)				x,y,T
01.01	Frequenzgang				x,y,A,H
01.02	Übertragungsfunktion	x

Regelungstechnik

Matrixexponential

$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=E+X+{\frac {X^{2}}{2}}+\dots$.

Zustandsraummodell

diskret Zeitinvariant

${\vec {x}}(k+1)={A_{d}}{\vec {x}}(k)+{B_{d}}{\vec {u}}(k)$

${\vec {y}}(k)={C}{\vec {x}}(k)+{D}{\vec {u}}(k)$

Die zeitdiskrete Zustandsdarstellung wird aus der kontinuierlichen Form mittels Diskretisierung über einer festen Zeitschrittweite T in der Form

${A_{d}}=e^{{A}T}$

${B_{d}}=\int _{0}^{T}e^{{A}\tau }{B}d\tau$

gewonnen. Gilt $\vert {A}\vert \neq 0$ ergibt das Integral

${B_{d}}={A}^{-1}(e^{{A}T}-{I}){B}$.

Die diskrete Form ist besonders für Berechnungen in Echtzeit geeignet. In Echtzeit wird zuerst die Ausgangsgleichung gerechnet, und danach erst die Zustandsdifferenzengleichung zur Ermittlung der Zustände für den nächsten Berechnungsschritt.

${A_{d}}=e^{{A}T}$

${B_{d}}={A}^{-1}(e^{{A}T}-{I}){B}$.

Für die Berechnung in Echtzeit wird die e-Funktion in der Praxis durch das Matrixexponential linear angenähert. Dann vereinfacht sich sich die Berechnung der diskreten Darstellung zu:

${A_{d}}=AT+I$

${B_{d}}={TB}$.

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ba7d36b92d5b9d77f454a75284c9956cb6abbe

Abkürzungen

Folgende Abkürzungen werden verwendet um das Cepstrum detaillierter zu erklären:

Abkürzung	Erklärung
$f(t)$	Signal, als Funktion der Zeit ..........................................................................
$C$	Cepstrum

Abtastsysteme

Quelle

Übertragungsfunktion

Formelbuchstaben in der Tabelle festlegen !

	diskretes System	kontinuierliches System
Eigenschaften der betrachteten Systeme	linear, zeitinvariant, ...
Ein-/Ausgangssignal	reelle Folge, Zeitreihe	kontinuierliches reelles Signal

Frequenzgang

Praktische Bestimmung des Frequenzgangs (Schmitt)

Frequenzgangmessung

Der Frequenzgang kann auf folgende Arten bestimmt werden :

Formatting

<!-- Interne Info. -->

!-- Interne Info. -->

< !-- Interne Info. --> >

${\dot {y}}(t)={\frac {dy}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y_{k}}{T_{A}}}={\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{T_{A}}}$

Literatur

• Günther Schmidt: Grundlagen der Regelungstechnik. Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6