Die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ergibt sich zu
![{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{gmd}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3684e3b04c71e1ac0757bc8692e661aa86cd1b3b)
wobei
die Kreisfrequenz,
das Trägheitsmoment bzgl. des Aufhängepunktes,
die Masse des Körpers,
die Schwerebeschleunigung und
der Abstand vom Aufhängungspunkt zum Massenmittelpunkt ist. Dabei ist
ein Maß für das Moment, das die Schwerkraft auf das ausgelenkte Pendel ausübt,
ist also die schwere Masse des Pendelkörpers.
Pendel mit kompakter Pendelmasse und einem Stab/Faden, dessen Masse und Volumen klein sind.
Wenn der Pendelkörper nicht zu ausgedehnt ist, kann man sein Trägheitsmoment bezüglich dem Pendelaufhängungspunkt angenähert zu
berechnen, wobei
seine träge Masse bezeichnet (normalerweise gleich
gemäß Äquivalenzprinzip):
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\overline {m}}d}{gm}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62878a1c6e2668ab36118910f52c5c72edcca3be)
Betrachtet man auch die Luft mit der Dichte
, in der das Pendel schwingt, und sind
die Dichte und
das Volumen des Pendelkörpers, ergibt sich die effektive schwere Masse wegen des Auftriebs des Pendelkörpers zu
. Auch die träge Masse ändert sich, da der sich bewegende Pendelkörper Luft verdrängt und in Bewegung setzt. Seine träge Masse erhöht sich dadurch auf
, wobei
ein Korrekturfaktor für die Ausbildung der Luftströmung um den Pendelkörper ist.
.
Mit
bei 20°C,
für Messing
und mit
ergibt sich für eine Erhöhung des Luftdrucks um 1 mbar (und damit um 0,1%):
.
Die Periode verlängert sich um
, was einer Abweichung von 0,012 s/Tag entspricht. Eine Temperaturerhöhung von 20 auf 21°C bewirkt eine Verminderung der Luftdichte um 1/293 = 0,34% und somit eine Beschleunigung von
oder 0,041 s/Tag (ohne Wärmeausdehnung des Pendels).
Zum Vergleich: Beträgt die Wärmeausdehnung des Pendelwerkstoffs 4·10-6/K, dann bewirkt eine Temperaturerhöhung um 1 K eine Verlangsamung um 2·10-6 oder 0,173 s/Tag (wobei der Einfluss der sich ebenfalls ändernden Luftdichte nicht berücksichtigt ist). Um den Temperaturfehler auszugleichen, müsste das Pendel eine Wärmeausdehnung von etwa 1·10-6/K aufweisen, damit sich die Effekte gegenseitig kompensieren.
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\sum \nolimits _{i}v_{i}(\rho _{i}+k_{i}\rho _{L})d_{i}^{2}}{g\sum \nolimits _{i}v_{i}(\rho _{i}-\rho _{L})d_{i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79fb04b12a892db7ac5bf6b89135930962a9812b)
Pendel aus einem Stab der Länge
, Querschnitt
und Dichte
, der an einem Ende aufgehängt ist.
![{\displaystyle m=Al\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114ca338a3e8e95d337418b7f18826fdb09f74ad)
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{3}}l^{2}m}{gm{\tfrac {1}{2}}l}}}=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{3}}l\rho }{{\tfrac {1}{2}}g\rho }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d96016c61e3565476175d2e83e8d8cba27e1e82)
In Luft der Dichte
:
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{3}}l(\rho +k\rho _{L})}{{\tfrac {1}{2}}g(\rho -\rho _{L})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb16274e50c5dc4edd01fc47e1739ae81a61d67c)
Ein Sekundenpendel bestehe aus einer Stange mit Radius
, Länge
, Dichte
und Wärmeausdehnung
sowie einer Linse mit Volumen
, Dichte
, Trägheitsmoment
und Wärmeausdehnung
, die in ihrem Schwerpunkt am unteren Ende der Stange angebracht ist.
- Masse Stange:
![{\displaystyle n=\pi r^{2}l\rho _{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b62bb0e901111604e0d0f47746ddf837e75796)
- Masse Linse:
![{\displaystyle m=z^{3}\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3ea362b33c155a1774d12b39f86bb093a57810)
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{3}}l^{2}n+m(l^{2}+fz^{2})}{g(n{\tfrac {l}{2}}+ml)}}}=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {\pi }{3}}l^{3}r^{2}(\rho _{S}+k_{S}\rho _{L})+z^{3}(\rho +k\rho _{L})(l^{2}+fz^{2})}{g({\tfrac {\pi }{2}}r^{2}l^{2}(\rho _{S}-\rho _{L})+z^{3}(\rho -\rho _{L})l)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ceb67cbdf8958441dd24f2a6c4a2eea9b65856a)
Mit Wärmedehnung bei Erhöhung der Temperatur von 293 auf 294 K:
![{\displaystyle T_{h}=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {\pi }{3}}(l(1+\sigma ))^{3}(r(1+\sigma ))^{2}(\rho _{S}(1-3\sigma )+k_{S}\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})+(z(1+\alpha ))^{3}(\rho (1-3\alpha )+k\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})((l(1+\sigma ))^{2}+f(z(1+\alpha ))^{2})}{g({\tfrac {\pi }{2}}(r(1+\sigma ))^{2}(l(1+\sigma ))^{2}(\rho _{S}(1-3\sigma )-\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})+(z(1+\alpha ))^{3}(\rho (1-3\alpha )-\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})l(1+\sigma ))}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2eb460fba96350aad8296c7f56f0225f21c377)
Die Periode soll unabhängig von der Temperatur sein, also
:
![{\displaystyle \{{\tfrac {\pi }{3}}l^{3}r^{2}(\rho _{S}+k_{S}\rho _{L})+z^{3}(\rho +k\rho _{L})(l^{2}+fz^{2})\}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6fdc3e026c75e27be655323c6eabf77cc00a55c)
![{\displaystyle \{{\tfrac {\pi }{2}}(r(1+\sigma ))^{2}(l(1+\sigma ))^{2}(\rho _{S}(1-3\sigma )-\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})+(z(1+\alpha ))^{3}(\rho (1-3\alpha )-\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})l(1+\sigma )\}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c00a0d5e8ede001898759f83526437f1afddc9d7)
![{\displaystyle \{{\tfrac {\pi }{3}}(l(1+\sigma ))^{3}(r(1+\sigma ))^{2}(\rho _{S}(1-3\sigma )+k_{S}\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})+(z(1+\alpha ))^{3}(\rho (1-3\alpha )+k\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})((l(1+\sigma ))^{2}+f(z(1+\alpha ))^{2})\}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d10c72e1c3af735bc0346adb53676823c2aa600)
![{\displaystyle \{{\tfrac {\pi }{2}}r^{2}l^{2}(\rho _{S}-\rho _{L})+z^{3}(\rho -\rho _{L})l\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c9d9e8ee7876c50b2f9d65c42af1065e588f83)
Mit mehreren kompakten Pendelkörpern gleicher Dichte
, deren Schwerpunkte in Ruhelage auf einer Vertikalen durch den Aufhängungspunkt liegen, ist
,
,
.
Betrachten wir ein Pendel mit zwei gleichen kompakten Pendelkörpern auf gleicher Höhe
unterhalb des Aufhängungspunkts und um
seitlich versetzt, symmetrisch zur Aufhängung, jeweils mit Dichte
. Die Körper sind an einem Balken aus Material B angebracht, der über eine vertikale Stange der Länge
aus Material S mit dem Aufhängungspunkt verbunden ist. Die Masse und elastische Verformung von Balken und Stange wird vernachlässigt. Mit dieser Anordnung ergibt sich:
.
Mit den Ausdehnungskoeffizienten
ist
,
.
soll von der Temperatur
unabhängig sein, also:
![{\displaystyle {\frac {r^{2}+d^{2}}{d}}={\frac {r_{o}^{2}+d_{o}^{2}}{d_{o}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2105fd4d4a42cac8f630fca37aa7d4bca129e1)
mit
.
Nach Einsetzen, Umformen und Entfernen von Summanden, die
etc. enthalten, ergibt das
.
Sonderfälle:
![{\displaystyle r=0:\;s\alpha _{S}=(s-d)\alpha _{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c39eb2c920387d9a3430a192099ddcb874e5ce9)
![{\displaystyle s=d:\;(r^{2}-d^{2})\alpha _{S}=2r^{2}\alpha _{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41704bbdfd9f12f23f7e26e63b83821faa5809c0)
![{\displaystyle r=d:\;\alpha _{B}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f695260f0bedd8f203a07ed82f7c800cf9cd0566)