Benutzer:Modalanalytiker/Zeitgleichung/Zahlenbeispiele

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Ermittlung der Zeitgleichung

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Erd- und scheinbare Sonnenbahn
Ansicht vom Ekliptiknordpol aus. F, S, H,W: Jahreszeiten- anfänge, C: Zentrum der Bahnellipse, P, A: Peri- bzw. Aphel (oben), Peri- bzw Apogäum (unten). ♈: Frühlingspunkt- richtung. n: Projektion der nördlichen Erdachshälfte auf die Ekliptikebene. Oberes Teilbild: heliozentrische Koordinaten, unteres Teilbild: geozentrische Koordinaten

Die am Artikelanfang als WOZ minus MOZ eingeführte Zeitgleichung für einen zukünftigen oder vergangenen Zeitpunkt (Datum) ist der Rektaszensionsdifferenz

proportional. Die als mittlere Rektaszension bezeichnete Rechengröße ist ein gleichmäßig mit der Zeit zunehmender Vergleichswinkel, der die mittlere Zeit repräsentiert. bezeichnet die am Himmel messbare Rektaszension der Sonne.

Dem in Tab.1 vorgestellten Rechengang liegt das Kepler'sche Zwei-Massen-Bewegungsmodell von Sonne und Erde zugrunde, das den Einfluss von Mond und Planeten vernachlässigt. Aus den für die Rechnung hinreichenden Parametern in Tab. 2 werden in Tab. 3 weitere Hilfsgrößen hergeleitet.

Da der Gegenstand der Zeitgleichung die von der Erde aus betrachtete Sonne ist, wird das Rechenmodell geozentrisch formuliert, weshalb z.B. P als Perigäum statt als Perihel bezeichnet wird. Die im heliozentischen Bezugssystem definierten Anomalien und sind auch Variablen des geozentrischen Modells: Für beide Modelle gelten dieselben Gleichungen. Die Abbildung Erd- und scheinbare Sonnenbahn veranschaulicht die Winkelgrößen in der Ekliptikebene.

Den Kern des Rechenmodells bilden die Keplergleichung , die Beziehung zwischen der wahren und der exzentrischen Anomalie bzw. - sie wird in Tab. 1 und 3 in (mittels des Lageparameter-Arcustangens) aufgelöster Form benutzt - und die Koordinatentransformationsgleichung , mit der die ekliptische Länge in die (äquatoriale) Rektaszension umgerechnet wird.

Der Rechengang nach Tab. 1 liefert für den Zeitraum 1975 bis 2025 -Werte, die um weniger als 5 Sekunden von denen eines genaueren Referenzmodells abweichen, das auch den Einfluss von Mond und Planeten einschließt. Für entferntere Zeitpunkte sind die langsamen (säkularen) Änderungen der ersten drei Parameter in Tab. 2 zu berücksichtigen.

Tabelle 1: Rechengang Die Zahlenwerte gelten für den Zeitpunkt 1. April 2015, 13:55 UT.
= = 5490.26389 d      ( und weitere Parameter oder Hilfsgrößen s. Tabelle 2 und 3.)
Zeit von bis
= = 5566.56080 d
Zeit vom mittleren Perigäum P der Sonne im Jahr 2000 bis
= = 95.76039 rad
mittlere Anomalie der Sonne bei
= 95.77708 rad
exzentrische Anomalie der Sonne bei als Lösung der Keplergleichung
= = 95.79378 rad
wahre Anomalie der Sonne bei
= = 94.44878 rad
Länge der Sonne bei
= = 94.41539 rad
Rektaszension der mittleren (Vergleichs-)Sonne
= = 94.43259 rad
Rektaszension der Sonne bei
= = -0.01720 rad
Zeitgleichungswert bei , als Winkel
= min = -3.94 min
Zeitgleichungswert bei , als Zeit

Anmerkungen zu Tabelle 1 : Bei der Berechnung der Zeitdifferenz kann man sich von mathematischer Software oder einem Online-Rechner helfen lassen.   : Die Keplergleichung ist nicht algebraisch nach auflösbar. Es existieren Näherungslösungen per Reihenentwicklung, die genauer als nötig sind. Alternativ kann man das Newton-Raphson-Verfahren benutzen, z. B. indem man "solve 95.76039 - x + 0.016709*sin(x) starting at 95" bei WolframAlpha eingibt.   : Die Funktion bezeichnet den Arcustangens mit dem Lageparameter . Sie berechnet den Arkustangens-Nebenwert, der am nächsten liegt. Der Hauptwert des Arkustangens würde bei Berechnung einer Zeitgleichungstabelle für ein Jahr oder länger einen unstetigen -Verlauf produzieren.   : Lageparameter sinngemäss wie unter erläutert. Die Formel rechnet die geozentrisch ekliptischen Polarkoordinaten der Sonne (Länge , Breite = 0) in die zugehörige Rektaszension um, d. h. in die äquatoriale Länge.

Tabelle 2: Parameter Alle Parameter der Zeitgleichung
= 0.016709
numerische Exzentrizität der Erdbahn
= 0.409093 rad = 23° 26' 21.4"
Schiefe der Ekliptik gegen die Äquatorebene (Neigung der Erdachse)
= 1.796596 rad = 102.937°
ekliptische Länge des (Erd-)Perihels
= 365.242190 d
Umlaufzeit der Sonne, dargestellt durch das tropische Jahr J2000
= 30. März 2000 7:35 UT
Datum des Frühlingsanfangs im Jahr 2000

Anmerkung zu Tabelle 2 Die Parameter sind im heliozentrischen System definiert, gelten aber auch geozentrisch: Die numerische Exzentrizität der Erdbahn ist gleich jener der scheinbaren Sonnenbahn; die Länge des Perihels ist gleich dem Winkel des Perigäums der Sonne gegen die Herbstpunktrichtung; die Umlaufzeit der Sonne ist gleich jener der Erde.

Tabelle 3: Hilfsgrößen, hergeleitet aus den Parametern in Tabelle 2
= = 1.344997 rad
wahre Anomalie der Sonne bei Frühlingsanfang und negative Länge des Perigäums der Sonne
= = 1.328742 rad
exzentrische Anomalie der Sonne bei Frühlingsanfang
= = 1.312520 rad
mittlere Anomalie der Sonne bei Frühlingsanfang gemäß Keplergleichung
= = 0.0172028 rad/d
mittlere Winkelgeschwindigkeit ders Sonnenumlaufs
= = 76.29691 d
Zeit vom Pergäum der Sonne bis Frühlingsanfang

Anmerkung zu Tabelle 3 Die Anomalien sind wegen des geozentrischen Rechenmodells nach Tabelle 1 auf die Sonne bezogen. Deshalb Perigäum statt Perihel! Die Zahlenwerte der Größen sind in beiden Bezugssystemen gleich.

Mittelwert der Zeitgleichung

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Die mittlere Rektaszension kann man einer fiktiven, am Himmelsäquator umlaufenden mittleren (Referenz-)Sonne zuschreiben. Die (wahre) Sonne entfernt sich, was den äquatorialen Abstand (Rektaszensionsdifferenz) betrifft, im Jahreslauf nie mehr als ca. 4° oder 8 Sonnendurchmesser oder 16 min von der mittleren Sonne. Im Laufe des Jahres finden 4 „Überholvorgänge“ (Nullstellen der Zeitgleichung) statt.

Es ist wünschenswert, die in periodische Zeitgleichungsfunktion mittelwertfrei zu definieren. Dann ist ihr Betragsmittelwert minimal. Der arithmetische Mittelwert ist durch die Wahl des Konstantgliedes der mittleren Rektaszension justierbar (s. Tab. 1). Die getroffene Festlegung auf zieht nach sich. Diese geringe Abweichung vom Idealwert Null ist akzeptabel, zumal man infolge des einfachen Keplermodells viel größere Einzelwertabweichungen gegenüber Messwerten in Kauf zu nehmen hat.

Für die Wahl von als Konstantglied spricht auch das folgende theoretische Argument: Wenn man den Rechenweg im Sinne einer Parameterstudie unverändert auf Erdvarianten mit verschiedenen -Werten bei sonst gleichen Parametern anwendet, bleibt in der genannten geringen Größenordnung. Die vier symmetrischen Konstellationen, in denen die Projektion der Erdachse in die Ekliptikebene parallel oder rechtwinklig zur Apsidenline AP verläuft, erweisen sich mit als Idealfälle.