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Körper
Nr. |
Axiom |
Erklärung
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Axiome durch
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A1 |
![{\displaystyle \forall a,b,c\in K:\quad a+(b+c)=(a+b)+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca09b389fac2396c5638a4c63a865131f3db0b2) |
Assoziativgesetz
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A2 |
![{\displaystyle \forall a,b\in K:\quad a+b=b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2002164bba5b66537f3b6131f35670e1560ba57c) |
Kommutativgesetz [k 1]
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A3 |
![{\displaystyle \exists 0\in K:\quad \forall a\in K:\quad 0+a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a5cf47b2766358f361aaa486bd358e6e44fd77) |
Es existiert ein neutrales Element bezüglich der Addition für alle Elemente
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A4 |
![{\displaystyle \forall a\in K:\quad \exists (-a)\in K:\quad (-a)+a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8faa46978b6965ae9d5e01e56595111671eb2b3) |
Für alle Elemente existiert ein inverses Element bezüglich der Addition
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Axiome durch
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M1 |
![{\displaystyle \forall a,b,c\in K:\quad a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f085a0cde2b01ded5049b81afbb4f0037aea9bf9) |
Assoziativgesetz
|
M2 |
![{\displaystyle \forall a,b\in K:\quad a\cdot b=b\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29af9d01dbf25fd55d0ad148ee3d8221543cd7e3) |
Kommutativgesetz [k 1]
|
M3 |
![{\displaystyle \exists 1\in K:\quad \forall a\in K:\quad 1\cdot a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d82ae22bf13acf555c8dbab01afb4a280f74a2) |
Es existiert ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation für alle Elemente
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M4 |
![{\displaystyle \forall a\in K\setminus 0:\quad \exists a^{-1}\in K\setminus 0:\quad a^{-1}\cdot a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b26d67e1cb4290bcc79e1e6e03e45b0093ef5a) |
Für alle Elemente (außer Null) existiert ein inverses Element bezüglich der Multiplikation
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Distributivgesetze
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D1 |
![{\displaystyle \forall a,b,c\in K:\quad a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cae739476c1c4362354b256c9d0e938839bfcd) |
Links-Distributivgesetz
|
D2 |
![{\displaystyle \forall a,b,c\in K:\quad (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aafd28ff2197096f0306398c46c8e7453dc0839) |
Rechts-Distributivgesetz
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- ↑ a b Gruppen, für die das Kommutativgesetz gilt, werden als Abelsche Gruppe bezeichnet.
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