Benutzer:Norbert Dragon/Compton-Effekt

Feynmandiagramme
s-Kanal
u-Kanal

Als Compton-Effekt bezeichnet man die Vergrößerung der Wellenlänge eines Photons bei der Streuung an einem Elektron oder einem anderen geladenen Teilchen. Dieser Streuprozess heißt Compton-Streuung. Die Vergrößerung der Wellenlänge beträgt bei Streuung an einem freien Elektron

$\Delta \lambda ={\frac {h}{m\,c}}\left(1-\cos \phi \right)\,.$

Dabei bezeichnet $h$ das Plancksche Wirkungsquantum, $m$ die Masse des Elektrons, $c$ die Lichtgeschwindigkeit und $\phi$ den Streuwinkel des Photons. Die Frequenz und die Energie des Photons vermindern sich entsprechend der Wellenlängenvergrößerung.

Die Vergrößerung der Wellenlänge des Photons beim Stoß am Elektron hängt nur vom Streuwinkel $\phi$ ab, nicht aber von der ursprünglichen Wellenlänge des Photons. Bei einer Streuung um $\phi =90^{\circ }$ beträgt die Vergrößerung

$\Delta \lambda ={\frac {h}{m\,c}}=2{,}43\cdot 10^{-12}\ {\rm {{m}=\lambda _{C}\,.}}$

Sie heißt Compton-Wellenlänge des Elektrons.

Der Compton-Effekt wird erst bei Photonen merklich, deren Wellenlänge nicht zu groß gegenüber der Compton-Wellenlänge ist, das heißt, wenn die Energie des Photons nicht zu klein gegenüber der Ruheenergie des Elektrons von etwa 511 keV ist. Dies ist bei Röntgen- oder Gammastrahlung der Fall. Compton-Streuung ist der dominierende Wechselwirkungsprozess von Photonen mit Materie für Photonenenergien zwischen etwa 100 keV bis 10 MeV.

Ist das Elektron an ein Atom gebunden, dann gibt die obige Gleichung nur noch näherungsweise die Wellenlängenverschiebung an. Denn der Impuls des Elektrons in der Atomhülle ist zufallsverteilt. Den Einfluss dieses Impulses auf die Winkelabhängigkeit der Energie des gestreuten Photons bezeichnet man als Doppler-Verbreiterung. Er ist besonders stark ausgeprägt bei niedrigen Energien, großen Streuwinkeln und Atomen mit hoher Kernladungszahl.

Bei der Comptonstreuung in Materie wird ein Elektron aus der Atomhülle geschlagen. Somit ist dies ein wichtiger Ionisationsprozess.

Beim inversen Compton-Effekt streut ein hochenergetisches Elektron (oder ein anderes geladenes Teilchen, etwa ein Proton) an einem niederenergetischen Photon und überträgt Energie auf das Photon. Der inverse Compton-Effekt tritt in Teilchenbeschleunigern auf und kann in der Astrophysik bei Ausströmungen in den Koronen von Akkretionsscheiben aktiver Galaxienkerne und bei Supernovae beobachtet werden (siehe auch Sunjajew-Seldowitsch-Effekt). Inverse Compton-Streuung an der Hintergrundstrahlung beschränkt die Maximalenergie von Protonen in der kosmischen Strahlung.

Der Compton-Effekt kann nicht mit der Vorstellung der klassischen Physik erklärt werden, dass Licht eine elektromagnetische Welle sei, die ein geladenes Teilchen in Schwingungen versetzt. Es würde mit der Frequenz der einfallenden Welle schwingen und eine Welle mit unveränderter Frequenz aussenden. In Übereinstimmung mit den Messungen wird die Compton-Streuung als Stoß zweier Teilchen, Photon und Elektron, beschrieben. Dies zeigt, dass Licht Teilcheneigenschaften hat (siehe Welle-Teilchen-Dualismus) oder dass Elektronen Welleneigenschaften haben. Denn wenn man Elektronen durch Materiewellen und Licht durch eine elektromagnetische Welle beschreibt, ergibt sich bei ihrer Wechselwirkung ebenfalls der Compton-Effekt.

Geschichte

Bis zur Entdeckung des Compton-Effekts war der Photoeffekt der einzige Befund, dass Licht sich nicht nur wie eine Welle, sondern auch, wie von Albert Einstein 1905 postuliert, wie ein Strom von Teilchen verhält (siehe auch Welle-Teilchen-Dualismus).

Als Arthur Holly Compton im Jahre 1922 die Streuung von hochenergetischen Röntgenstrahlen an Graphit untersuchte, machte er zwei Beobachtungen: Zum einen war die Streuwinkelverteilung in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung nicht gleich, und zum anderen war die Wellenlänge der gestreuten Strahlung länger als die der einfallenden Strahlung. Beide Beobachtungen standen im Widerspruch zur klassischen Beschreibung der elastischen Streuung von Licht an freien Elektronen (Thomson-Streuung) und an gebundenen Elektronen (Rayleigh-Streuung), die vom Wellencharakter des Lichts ausgeht.

Stattdessen gelang es Compton, nachzuweisen, dass sich die Energie und Richtung des gestreuten (hochenergetischen) Photons wie bei einem klassischen Teilchenstoß zwischen Photon und Elektron aus dem Energie- und Impulserhaltungssatz (siehe Kinematik) bestimmen lassen. Damit bewies Compton den Teilchencharakter von Licht oder den Wellencharakter der Elektronen. Behandelt man Elektronen als Materiewellen und Licht als elektromagnetische Welle, so ergibt sich wie in den obigen Feynmangraphen wiederum der Compton-Effekt.

Für die Entdeckung des nach ihm benannten Effekts erhielt Compton im Jahre 1927 den Nobelpreis für Physik.

Anwendungen

Da es sehr schwierig ist, Gammastrahlung mittels Linsen zu fokussieren, spielt der Compton-Effekt eine wichtige Rolle bei der Abbildung mittels Gammastrahlen im Energiebereich von einigen hundert keV bis zu einigen zehn MeV. In sogenannten Compton-Teleskopen (auch Compton-Kameras genannt) misst man Energie und Richtung des gestreuten Photons sowie Energie und (manchmal) auch Richtung des Elektrons. So können Energie, Ursprungsrichtung und unter Umständen die Polarisation des einfallenden Photons bestimmt werden. In der Realität wird dies durch Messunsicherheiten und nicht gemessene Größen wie die Richtung des Elektrons jedoch stark erschwert, so dass komplexe Ereignis- und Bildrekonstruktionsmethoden angewandt werden müssen.

Das wohl bekannteste Compton-Teleskop war COMPTEL, das an Bord des NASA-Satelliten CGRO von 1991 bis 2000 als erstes Teleskop den Sternenhimmel im Energiebereich zwischen 0,75 und 30 MeV erforschte. Zu den Erfolgen von COMPTEL zählen u. a. die Erstellung der ersten Himmelskarten in diesem Energiebereich, die Erforschung der Nukleosynthese z. B. von radioaktivem ²⁶Al (massereiche Sterne und Supernovae) und ⁴⁴Ti sowie Fortschritte bei der Erforschung von Pulsaren, Aktiven Galaxien (AGNs) etc.

Es laufen Entwicklungsarbeiten zum Einsatz von Compton-Kameras im Bereich der Medizin oder Nukleartechnik. In der Medizin könnten sie gegenüber den heute verwendeten Szintigraphie-Gammakameras Bilder mit besserer räumlicher Auflösung liefern, also Tumore und Metastasen exakter lokalisieren. In der Nukleartechnik könnten in Zukunft mittels Compton-Kameras z. B. Nuklearanlagen oder nukleare Abfälle überwacht werden.

Im Bereich der Flugsicherung wurden Scanner-Geräte entwickelt, welche die Compton-Rückstreuung (engl. Backscatter) normaler Röntgenstrahlen an Oberflächen nutzen. Diese werden zur Zeit in den USA getestet.

Compton-Kontinuum und Compton-Kante

Datei:Compton-spektrum.png

Energieverteilung der Compton-Elektronen bei einfallenden monochromatischen γ-Quanten mit der Energie hf

Werden in einem Material viele Photonen gleicher Energie gestreut, so ergibt sich eine Energieverteilung der gestreuten Elektronen, wie sie die nebenstehende Graphik zeigt. Die hierbei auf die Elektronen übertragene Energie hat wegen der Abhängigkeit vom Streuwinkel $\phi$ (in der Graphik $\theta$) eine kontinuierliche Verteilung. Dieses Compton-Kontinuum hat eine scharfe obere Schranke, die Compton-Kante, die zu Elektronen gehört, auf die bei Rückstreuung des Photons um $\phi =180^{\circ }$ die größtmögliche Energie übertragen wird. Dabei wird die Wellenlänge des Photons um den größtmöglichen Wert, um die doppelte Compton-Wellenlänge des Elektrons, vergrößert.

Zudem beobachtet man Elektronen mit der Energie $h\nu$ des Photons. Es überträgt seine gesamte Energie auf das Elektron, der restliche Impuls wird vom Atom übernommen. Dies ist keine Compton-Streuung, sondern der Photoeffekt.

Streuung an Atomen und Kernen

Energien von Elektron und Photon bei der Compton-Streuung eines γ-Quants mit hf = 100 keV

Photonen, die an gebundenen Elektronen streuen und das Atom nicht ionisieren, ändern kaum ihre Wellenlänge. Denn in die Formel für die Wellenlängenvergrößerung ist dabei die Masse des Atoms einzusetzen und die ist mehrere tausendmal größer als die Elektronmasse. Gleiches gilt für die Streuung an Atomkernen. Folglich besteht die gestreute Strahlung neben der durch den Compton-Effekt langwelligeren Strahlung auch aus Strahlung mit der Ausgangswellenlänge (Thomson-Streuung).

Ist die Energie der Photonen groß gegen die Bindungsenergie der Elektronen in der Atomhülle (beispielsweise Röntgenstrahlung), so können die Hüllenelektronen näherungsweise als frei angesehen werden.

Herleitung des Compton-Effekts

Wir betrachten ein freies Elektron, das anfänglich ruht. Ist das Elektron in einem Atom gebunden, vermindert sich die Energie des gestreuten Elektrons um die Bindungsenergie.

Die Energie $E$ und der Impuls $\mathbf {p}$ eines Teilchens der Masse $m$ hängen in der relativistischen Physik durch

$E^{2}=m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}$

zusammen. Wir rechnen einfachheitshalber mit $c=1$. Die Rechnung in Maßsystemen mit $c\neq 1$ bringt keine zusätzliche Einsicht.

Das Photon ist masselos, seine Energie $E$ ist so groß wie der Betrag des Impulses $\mathbf {p}$. Bezeichnen wir die Richtung des anfänglichen Photonimpulses mit $\mathbf {n} ,\ \mathbf {n} ^{2}=1$, dann sind zusammengefasst die Energie und Impuls des Photons vor der Streuung

${\begin{pmatrix}{\text{Energie}}\\{\text{Impuls}}\end{pmatrix}}_{\text{Photon, vorher}}={\begin{pmatrix}E\\E\,\mathbf {n} \end{pmatrix}}\,.$

Das Elektron hat vor dem Stoß die Energie $m$ und einen verschwindenden Impuls, zusammengefasst

${\begin{pmatrix}{\text{Energie}}\\{\text{Impuls}}\end{pmatrix}}_{\text{Elektron, vorher}}={\begin{pmatrix}m\\0\end{pmatrix}}\,.$

Nach der Streuung hat das Photon eine geänderte Energie $E^{\prime }$ und eine um den Streuwinkel $\phi$ geänderte Impulsrichtung $\mathbf {n} ^{\prime }\ ,\ \mathbf {n} ^{\prime \,2}=1\,,$

$\cos \phi =\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} ^{\prime }\,.$

Zusammengefasst sind Energie und Impuls des Photons nach der Streuung

${\begin{pmatrix}{\text{Energie}}\\{\text{Impuls}}\end{pmatrix}}_{\text{Photon, nachher}}={\begin{pmatrix}E^{\prime }\\E^{\prime }\,\mathbf {n} ^{\prime }\end{pmatrix}}\,.$

Da die Energie und der Impuls erhalten sind, sind die Summen der Energien und Impulse vor und nach dem Stoß gleich

${\begin{pmatrix}E\\E\,\mathbf {n} \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}m\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E^{\prime }\\E^{\prime }\,\mathbf {n} ^{\prime }\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}E+m-E^{\prime }\\E\,\mathbf {n} -E^{\prime }\,\mathbf {n} ^{\prime }\end{pmatrix}}\,.$

Dabei enthält die letzte Spalte die Energie und den Impuls des Elektrons nach dem Stoß.

Compton-Streuung

Da bei relativistischen Teilchen das Quadrat der Energie mit dem Quadrat der Masse plus dem Quadrat des Impulses übereinstimmt, muss gelten

$(E+m-E^{\prime })^{2}=m^{2}+(E\,\mathbf {n} -E^{\prime }\,\mathbf {n} ^{\prime })^{2}$

Ausmultipliziert heben sich alle Quadrate weg, von den gemischten Termen verbleibt

$2m(E-E^{\prime })=2EE^{\prime }(1-\cos \phi )\,.$

Durch $2\,E\,E^{\prime }$ geteilt, folgt, wenn wir noch die Faktoren $c$ angeben,

${\frac {m\,c^{2}}{E^{\prime }}}-{\frac {m\,c^{2}}{E}}=(1-\cos \phi )\,.$

Verwendet man hier, dass die Photonenergie mit der Frequenz $\nu$ und der Wellenlänge $\lambda$ durch $E=h\,\nu =h{\frac {c}{\lambda }}$ zusammenhängt, folgt der Compton-Effekt

$\lambda ^{\prime }-\lambda ={\frac {h}{m\,c}}\,(1-\cos \phi )\,.$

Die Wellenlängenverschiebung hängt nicht von der Wellenlänge ab.

Weblinks

• Compton-Effekt – dargestellt in einer Animation
• Verschiedene Versuche und Animationen