Benutzer:Physikaficionado/VisVivaGleichung

Herleitung

Die Herleitung der Vis-Viva-Gleichung folgt dem Energie- und Drehimpulserhaltungssatz. Beim Zweikörperproblem der Gravitation zweier Körper mit den Massen $m$ und $M$ im Abstand $r$ ist die Gesamtenergie durch

E_{\text{ges}}={\frac {1}{2}}(m+M)v_{s}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu v^{2}-G{\frac {mM}{r}}

gegeben, wobei $v_{s}$ die Geschwindigkeit des Schwerpunkts beschreibt und $\mu$ die reduzierte Masse des Systems ist, definiert durch

\mu ={\frac {mM}{m+M}}

.

Ist einer der beiden Körper deutlich schwerer als der andere, gilt also $M\gg m$ , dann ist $\mu \approx m$ .

Das Geschwindigkeitsquadrat schreiben wir in Polarkoordinaten $(r,\varphi )$ :

v^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}

,

wobei ${\dot {r}}$ die Geschwindigkeit in radialer Richtung zum Schwerpunkt bezeichnet. Aufgrund der Drehimpulserhaltung beim Zweikörperproblem

L=\mu r^{2}{\dot {\varphi }}={\text{konstant}}\qquad \Rightarrow \qquad {\dot {\varphi }}={\frac {L}{\mu r^{2}}}\qquad {\text{und damit}}\qquad v^{2}={\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{\mu ^{2}r^{2}}},

kann die Gesamtenergie mit dem Betrag des Drehimpulses $L$ in

E_{\text{ges}}={\frac {1}{2}}(m+M)v_{s}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-G{\frac {mM}{r}}=:{\frac {1}{2}}(m+M)v_{s}^{2}+E

umgeformt werden. Im Schwerpunktssystem ist $v_{s}=0$ .

Aus dem Energieerhaltungssatz folgt für zwei beliebige Abstände $r_{1}$ und $r_{2}$ im Schwerpunktssystem:

{\frac {\mu }{2}}{\dot {r}}_{1}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r_{1}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{1}}}={\frac {\mu }{2}}{\dot {r}}_{2}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r_{2}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{2}}}

.

An den beiden Punkten, die auf einer Keplerbahn dem Zentralkörper am nächsten und entferntesten sind, der Periapsis $r_{P}$ und der Apoapsis $r_{A}$ , verschwindet die radiale Komponente der Geschwindigkeit und es gilt somit

{\frac {L^{2}}{2\mu r_{P}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{P}}}={\frac {L^{2}}{2\mu r_{A}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{A}}}\qquad {\text{oder}}\qquad {\frac {L^{2}}{2\mu }}\left({\frac {1}{r_{P}^{2}}}-{\frac {1}{r_{A}^{2}}}\right)=GmM\left({\frac {1}{r_{P}}}-{\frac {1}{r_{A}}}\right)

Daraus ergibt sich das Quadrat des Drehimpulses zu

L^{2}=2\mu GmM\left({\frac {r_{A}r_{P}}{r_{A}+r_{P}}}\right)

und die Energie zu

E={\frac {L^{2}}{2\mu r_{P}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{P}}}=GmM\left({\frac {r_{A}}{r_{P}(r_{A}+r_{P})}}-{\frac {1}{r_{P}}}\right)=-G{\frac {mM}{r_{A}+r_{P}}}

Aus der Geometrie der Kegelschnitte folgt mit $\textstyle a={\frac {r_{P}+r_{A}}{2}}$

E=-G{\frac {mM}{2a}}

.

Aus dieser Gleichung folgt mit der Definition der Energie $E$

E={\frac {1}{2}}\mu v^{2}-G{\frac {mM}{r}}=-G{\frac {mM}{2a}}\qquad \Rightarrow \qquad v^{2}=2G{\frac {mM}{\mu r}}-G{\frac {mM}{\mu a}}=G(m+M)\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)

mit $mM/\mu =m+M$ .

Alte Herleitung

Die Herleitung der Vis-Viva-Gleichung folgt dem Energie- und Drehimpulserhaltungssatz. Im Gravitationspotential zweier Körper ist die Gesamtenergie durch

E={\frac {1}{2}}(m+M)v_{s}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu v^{2}-G{\frac {mM}{r}}

gegeben, wobei $v_{s}$ die Geschwindigkeit des Schwerpunkts beschreibt und $\mu$ die reduzierte Masse des Systems ist, definiert durch

\mu ={\frac {mM}{m+M}}

.

Ist einer der beiden Körper deutlich schwerer als der andere, gilt also $M\gg m$ , dann ist $\mu \approx m$ .

Aufgrund der Drehimpulserhaltung kann die Gesamtenergie mit dem Betrag des Drehimpulses $L$ und dem Satz des Pythagoras zu

E={\frac {1}{2}}(m+M)v_{s}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-G{\frac {mM}{r}}

umgeformt werden, wobei ${\dot {r}}$ die Geschwindigkeit in radialer Richtung zum Schwerpunkt bezeichnet.

Aus dem Energieerhaltungssatz folgt für zwei beliebige Abstände $r_{1}$ und $r_{2}$

\mu {\dot {r}}_{1}^{2}+{\frac {\mu L^{2}}{2m^{2}r_{1}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{1}}}=\mu {\dot {r}}_{2}^{2}+{\frac {\mu L^{2}}{2m^{2}r_{2}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{2}}}

,

wobei der Beitrag der Energie durch die Bewegung des Schwerpunkts sich gegenseitig aufhebt. An den beiden Punkten, die auf einer Keplerbahn dem Zentralkörper am nächsten und entferntesten sind, der Periapsis $r_{P}$ und der Apoapsis $r_{A}$ , verschwindet die radiale Komponente der Geschwindigkeit und es gilt somit