Benutzer:Schojoha/Spielwiese/Stochastik

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Ungleichung von Lévy

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichung von Lévy (englisch Lévy’s inequality) ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche auf den Mathematiker Paul Lévy (1886–1971) zurückgeht. Sie bezieht sich auf endliche Familien von unabhängigen reellwertigen Zufallsvariablen und liefert dafür eine obere Abschätzung unter Einbeziehung von Medianen. Nach A. N. Širjaevs Lehrbuch Wahrscheinlichkeit lässt sich nicht zuletzt mit Hilfe (einer speziellen Version) dieser Ungleichung ein Hilfssatz zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für Summen von Zufallsvariablen gewinnen.[1][2]

Die Ungleichung lässt sich wie folgt angeben:[2][3]

Gegeben seien eine natürliche Zahl sowie ein Wahrscheinlichkeitsraum und dazu unabhängige reellwertige Zufallsvariablen und dabei sei für (wie üblich)
[A 1]
gesetzt.
Weiter sei für reellwertige Zufallsvariable mit stets ein -Median gemeint.
Dann ist für reelle Zahlen stets die Ungleichung
erfüllt.

Die obige Ungleichung vereinfacht sich für den Fall, dass symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen.[A 2] Es gilt nämlich gemäß Širjaev folgendes:[4]

Sind die allgemeinen Voraussetzungen wie oben angegeben und sind überdies die Zufallsvariablen alle symmetrisch um Null verteilt, so ist die Ungleichung
gültig.

Nach Darstellung von Michel Loève in dessen Lehrbuch Probability Theory I und ebenso nach der von Laha/Rohatgi in deren Lehrbuch Probability Theory (s. u.) spricht man sogar von zwei Ungleichungen von Lévy (englisch Lévy inequalities).[A 3] Sie lassen sich folgendermaßen angeben:[5][6]

Unter den zuvor angegebenen Grundvoraussetzungen sind für reelle Zahlen stets die beiden Ungleichungen
(i)
und
(ii) [A 4]
erfüllt.

Verallgemeinerungen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existieren Verallgemeinerungen der Ungleichung von Lévy und darunter sogar eine mit dieser direkt verwandte Ungleichung, welche die obige Variante (ii) (bei fast gleichem Wortlaut) auf den Fall verallgemeinert, dass (vergleichbar dem obigen Spezialfall) endlich viele symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen, die dann aber sogar Werte in einem beliebigen separablen Banachraum annehmen dürfen, wobei dessen Norm dann an die Stelle der obigen Betragsfunktion tritt.[7][8]

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

rreferences />

rreferences group="A" />

KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Ungleichung (Stochastik)|Lévy, Ungleichung von]]

Wiederkehrsatz von Kac

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Ergodentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Wiederkehrsatz von Kac die Frage, nach welcher mittleren Wiederkehrzeit bei diskreten ergodischen Systemen eines Wahrscheinlichkeitsraums die Elemente gewisser messbarer Mengen zum ersten Mal wieder zu diesen Mengen zurückkehren. Dieser Lehrsatz geht auf eine wissenschaftliche Arbeit des Mathematikers Marek Kac (1914–1984) aus dem Jahre 1947 zurück und schließt an den Wiederkehrsatz von Poincaré an.[9][10]

Formulierung des Satzes

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz lässt sich zusammengefasst folgendermaßen formulieren:[11][12]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und dazu eine auf ergodische Transformation .
Weiter sei eine messbare Menge gegeben und es gelte .
Dann gilt hinsichtlich der mittleren Wiederkehrzeit die Gleichung
.

Erläuterungen und Anmerkungen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  • Für und betrachtet man den Wert als die Wiederkehrzeit, mit der zum ersten Mal nach zurückkehrt. Die so gegebene numerische Funktion ist eine fast überall endliche und integrierbare Funktion.
  • Für ist das auf eingeschränkte Maß.
  • In der englischsprachigen Fachliteratur wird der obige Wiederkehrsatz als Kac's recurrence theorem oder mitunter auch einfach als Kac's theorem bezeichnet.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

rrreferences />


KKKategorie:Ergodentheorie|Kac, Wiederkehrsatz von]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kac, Wiederkehrsatz von]]


Satz von Mourier

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Mourier ist ein Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf die französische Mathematikerin Édith Mourier zurück und formuliert eine hinreichende Bedingung zum Bestehen des starken Gesetzes der großen Zahlen für gewisse Folgen von Zufallselementen in einem separablen Banachraum. Der Satz lässt sich als Verallgemeinerung des zweiten kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen auffassen.

Formulierung des Satzes

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[13][14][15]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum , ein separabler Banachraum und eine Folge
von Zufallselementen in .
Die Folge sei stochastisch unabhängig und ihre Glieder seien identisch verteilt.
Dabei gelte
  .
Dann gilt -fast sicher die Konvergenz
  .
  • Eine Borel-messbare Zufallsvariable mit Werten in einem topologischen Raum wird allgemein als Zufallselement bezeichnet.
  • Bei einem Zufallselement mit Werten in einem separablen normierten Vektorraum wird mit stets dessen Erwartungswert bezeichnet, sofern dieser definiert ist. Er ist zumindest immer dann definiert, wenn für das Pettis-Integral existiert. Ist dies der Fall, so ist der Erwartungswert gleich dem Pettis-Integral. Der Erwartungswert zeichnet sich dadurch aus, dass für stetige Linearformen stets gilt.[16]
  • Für ein Zufallselement mit Werten in einem separablen Banachraum ist stets eine reelle Zufallsvariable.[17] Ist dabei sogar , so existiert auch der Erwartungswert .[18]

Verwandtes Resultat im Zusammenhang mit Kolmogorows Erstem Gesetz der großen Zahlen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgehend von dem Satz von Mourier ergibt sich die Frage, ob und inwieweit Kolmogorows Erstes Gesetz der großen Zahlen auf Folgen von Zufallselementen in normierten Vektorräumen auszudehnen ist. Wie sich zeigen lässt, ist diese Ausdehnung zumindest immer im Falle der separablen Hilberträume möglich. Es gilt nämlich der folgende Satz:[19]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum , ein separabler Hilbertraum [20] und eine Folge
von Pettis-integrierbaren Zufallselementen in .
Die Folge sei stochastisch unabhängig und es gelte
  .
Dann genügt die Folge der Bedingung
und damit dem Starken Gesetz der großen Zahlen.

Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />


KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Mourier]]

(Un?)gleichung von Steiner

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichung von Steiner ist eine elementare stochastische Ungleichung, welche dem Mathematiker Jakob Steiner zugerechnet wird. Sie ist verwandt mit der Tschebyscheff-Ungleichung und dem steinerschen Verschiebungssatz und liefert eine Abschätzung der Varianz einer reellen Zufallsvariablen unter Bezug auf Erwartungswerte zugehöriger Zufallsvariablen.[21]

Formulierung der Ungleichung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die steinersche Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine reelle Zufallsvariable   .
besitze ein endliches zweites Moment:
  .[22]


Dann gilt für jede reelle Zahl     die Ungleichung
  .[23]


Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />

KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Ungleichung|Steiner]]



Ungleichung von Cantelli

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichung von Cantelli ist eine elementare stochastische Ungleichung, die auf den italienischen Mathematiker Francesco Paolo Cantelli zurückgeht. Sie ist verwandt mit der tschebyschow-markowschen Ungleichung und liefert eine einseitige Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine reelle Zufallsvariable ihren Erwartungswert um eine positive Zahl übersteigt.[24]

Formulierung der Ungleichung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die cantellische Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine reelle Zufallsvariable   .
besitze ein endliches zweites Moment:
  .[25]
Weiter sei eine reelle Zahl     gegeben.
Dann besteht die Ungleichung
  .[26]

Beweis der Ungleichung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Darstellung von Klaus D. Schmidt folgend lässt sie sich folgendermaßen herleiten:

Man setzt

.  

Dann ist zunächst

und weiter

.  

Hat man nun eine (zunächst beliebige) reelle Zahl     , so ergibt sich - insbesondere wegen der tschebyschow-markowschen Ungleichung für zweite Momente - die folgende Ungleichungskette:

  .

Insbesondere für die reelle Zahl

gilt nach Schritt 2:

  .


Damit ist alles bewiesen.

Die in obigem Schritt 2 auftretende reellwertige Funktion

nimmt an der genannten Stelle

ihr absolutes Minimum an. Die in der cantellischen Ungleichung genannte obere Schranke ist also in diesem Sinne optimal.

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />

KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Ungleichung|Cantelli]]



Ungleichung von Ljapunow

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichung von Ljapunow ist eine elementare stochastische Ungleichung, welche auf den russischen Mathematiker Alexander Michailowitsch Ljapunow zurückgeht. Sie stellt eine Isotonieeigenschaft der absoluten Momente reeller Zufallsvariablen dar und lässt sich unter Anwendung der jensenschen Ungleichung für Erwartungswerte ableiten.

Formulierung der Ungleichung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Anschluss an die Darstellung von A. N. Širjaev bzw. Marek Fisz lässt sich die ljapunowsche Ungleichung zusammengefasst angeben wie folgt:[27][28]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine reelle Zufallsvariable   .
Dann gilt für je zwei reelle Zahlen     und     mit     stets die Ungleichung
  .
Insbesondere hat man stets die Ungleichungskette
  .

Andere Darstellung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die ljapunowsche Ungleichung gibt es auch die folgende allgemeinere Darstellung :[29]

Für eine reelle Zufallsvariable eines Wahrscheinlichkeitsraums   .
und für nichtnegative reelle Zahlen     mit     gilt stets die Ungleichung
  .


Zu dieser Darstellung existieren auch noch andere äquivalente Versionen.[30][31]

Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />

KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Ungleichung|Ljapunow]]



Satz von Cantelli

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Cantelli ist ein Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den italienischen Mathematiker Francesco Paolo Cantelli zurück und formuliert eine hinreichende Bedingung zum Bestehen des Starken Gesetzes der großen Zahlen für gewisse Folgen reeller Zufallsvariablen. Der cantellische Satz gilt als eines der ersten Resultate dieser Art.

Formulierung des Satzes

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der cantellische Satz lässt sich angeben wie folgt:[27]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine Folge von Zufallsvariablen
auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.
Die Folge sei stochastisch unabhängig und mit endlichen vierten Momenten:
  .[32]
Darüber hinaus seien die zentralen vierten Momente gleichmäßig nach oben beschränkt:
  .


Dann genügt die Folge -fast sicher der Konvergenz
und damit dem Starken Gesetz der großen Zahlen.

Beweis des Satzes nach Širjaev

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man setzt für

und weiter für

sowie


Dann ist für

(0)  

und folglich ist zu zeigen, dass

(1)  

gilt.

Zieht man nun die im letzten Abschnitt des Artikels zum Borel-Cantelli-Lemma genannten Folgerung sowie die tschebyscheff-markoffsche Ungleichung in Betracht, so sieht man, dass ausreicht, die Konvergenz der Reihe

(2)

nachzuweisen.


Dazu wertet man die Glieder der Reihe (2) unter Anwendung des Polynomialsatzes aus!


Es ist nämlich:

(3)   .

Nun fallen bei der Bildung der Erwartungswerte zu (3) allein diejenigen Summanden ins Gewicht, für welche bei den zugehörigen     ausschließlich die Hochzahlen     oder     auftreten.

Denn in allen anderen Fällen kommt zumindest ein     mit Hochzahl     vor und es leisten wegen der Linearität des Erwartungswerts, der Unabhängigkeitsvoraussetzung und wegen   (0)   in dem Erwartungswert zu (3) allein die Summanden mit geraden Hochzahlen einen Beitrag     .

Somit hat man

(4)   .

Mit (4) und unter Anwendung der Voraussetzung sowie der Ungleichung von Ljapunow ergibt sich dann die folgende Ungleichungskette:

(5)   .

Die Ungleichungskette (5) zieht unter Berücksichtigung der Konvergenz der Zeta-Reihe ihrerseits die Ungleichungskette

(6)

nach sich und damit auch (2) .

Damit ist alles bewiesen.

Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />


KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Cantelli]]


Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche auf die beiden Mathematiker Giuseppe Ottaviani und Anatoli Skorokhod zurückgeht. Sie bezieht sich auf endliche Familien von stochastisch unabhängigen reellen Zufallsvariablen und stellt ein nützliches Hilfsmittel für Beweise im Umfeld des Starken Gesetzes der großen Zahlen dar.[33]

Formulierung der Ungleichung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Darstellung von Heinz Bauer folgend lässt sich die Ungleichung angeben wie folgt:[33]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und darauf endlich viele unabhängige Zufallsvariablen
Sei hierbei für
gesetzt.
Dann ist für jeden Index und für zwei reelle Zahlen und
die Ungleichung
  .[34]
erfüllt.

Folgerungen: Ein Satz von Lévy und weitere Korollare

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod lassen sich der folgende Satz des französischen Mathematikers Paul Lévy herleiten und einige Korollare herleiten.

Der lévysche Satz besagt:[33]

Für jede unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen folgt aus der stochastischen Konvergenz der Reihe   die fast sichere Konvergenz dieser Reihe.

Daraus erhält man folgendes Korollar:

Ist eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen mit
(1)
(2)
so ist die Reihe fast sicher konvergent.

Aus diesem Korollar gewinnt man dann unter Anwendung des kroneckerschen Lemmas unmittelbar das kolmogoroffsche Kriterium zum Starken Gesetz der großen Zahlen:

Ist eine unabhängige Folge von integrierbaren reellen Zufallsvariablen mit
(*)
so genügt die Folge dem Starken Gesetz der großen Zahlen.
  1. Die Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod (und auch Abwandlungen derselben) verbinden einige Autoren nur mit dem Namen von Giuseppe Ottaviani verbunden und bezeichnen diese als Ungleichung von Ottaviani bzw. als ottavianische Ungleichung (englisch Ottaviani's inequality) . Vielfach wird dabei auch allein der Fall behandelt.[35][36][27]
  2. Die oben dargestellte Ungleichung, die unabhängige reelle Zufallsvariablen zugrundelegt, lässt sich in entsprechender Weise auch für unabhängige borelmessbare Zufallsvariablen mit Werten in einem separablen Banachraum formulieren. Dabei tritt an die Stelle der obigen Betragsfunktion die Norm des Banachraums.[37]

Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Originalarbeiten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />

KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Ungleichung|Ottaviani-Skorokhod]]



Satz von Gliwenko-Cantelli (Überarbeitung)

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Gliwenko-Cantelli oder Satz von Gliwenko, auch Hauptsatz der mathematischen Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt, englisch Central statistical theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf zwei Arbeiten die beiden Mathematiker Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli aus dem Jahre 1933 zurückgeht. Aus dem Satz geht hervor, dass bei unabhängig durchgeführten Zufallsversuchen die aus den Zufallsstichproben gewonnenen empirischen Verteilungsfunktionen einer Zufallsgröße gleichmäßig mit Wahrscheinlichkeit Eins gegen deren tatsächliche Verteilungsfunktion konvergieren und dass dadurch die Möglichkeit der Schätzung dieser Verteilungsfunktion gegeben ist.

Formulierung des Satzes im Einzelnen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[38][28][39][40][41][42]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum

und darauf eine Folge

von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion .

Die zum Stichprobenumfang gehörige empirische Verteilungsfunktion ist

mit
  .[43]

Hierzu hat man auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum die Zufallsvariable

mit
  ,[44]

welche die obere Grenze aller Abstände dieser empirischen Verteilung von der gemeinsamen Verteilung unter Berücksichtigung alle nur möglichen Ausprägungen angibt.

Dann gilt:

Die konvergieren mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, gegen Null.
Es gilt also
  .
  1. Der Satz ergibt sich als Anwendung des kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen.
  2. Er ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert und abgewandelt worden. Einen Eindruck davon gibt die Arbeit des dänischen Mathematikers Flemming Topsøe aus dem Jahre 1970.[45]

Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Originalarbeiten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />


KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Zufallsvariable]] KKKategorie:Schätztheorie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)]]


Ungleichungen von Benferroni (Unfertig)

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ungleichungen von Benferroni sind mathematische Resulate auf dem Gebiet der Maßtheorie, welche auf den Mathematiker Benferroni zurückgehen. ...

Formulierung des Satzes

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichungen von Benferroni lassen sich angeben wie folgt:[46]


Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1.

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />


KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Marcinkiewicz]]


Satz von Marcinkiewicz (Unfertig)

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Marcinkiewicz ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf den italienischen Mathematiker Marcinkiewicz zurückgeht. ...

Formulierung des Satzes

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Marcinkiewicz-Satz lässt sich angeben wie folgt:[27]


Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences />


KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Marcinkiewicz]]


Der Dreireihensatz, manchmal auch als kolmogoroffscher Dreireihensatz bezeichnet, englisch Kolmogorov's three-series theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf eine Arbeit der beiden russischen Mathematiker Alexander Jakowlewitsch Khintchine und Andrei Nikolajewitsch Kolmogoroff aus dem Jahre 1925 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen eine aus stochastisch unabhängigen reellen Zufallsvariablen gebildete Reihe fast sicher konvergiert und führt diese Frage auf das Konvergenzverhalten dreier zugehöriger Reihen reeller Größen zurück. Er steht in engem Zusammenhang mit dem Starken Gesetz der großen Zahlen.[39][47][48][28][49]

Formulierung des Satzes

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz lässt sich in moderner Fomulierung angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und darauf eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen.
Dann gilt:
Dann und nur dann ist die Reihe   fast sicher konvergent,
wenn eine   reelle Zahl   existiert derart, dass die drei dazu gebildeten Reihen
(1)
(2)
(3)
in konvergieren, wobei die Folge der Zufallsvariablen gebildet wird, indem für  
gesetzt wird.[50]

Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences /> KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Dreireihensatz]]



Lemma von Frank

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Lemma von Frank ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf den Mathematiker Ove Frank zurückgeht. Es formuliert eine elementare stochastische Ungleichung für gewisse endliche Familien von integrierbaren reellen Zufallsvariablen und erweist sich damit als nützliches Hilfsmittel für den Beweis einiger Resultate im Umfeld des Gesetzes der großen Zahlen. Mit Hilfe des Lemmas von Frank lassen sich nicht zuletzt die kolmogoroffsche Ungleichung und die tschebyscheffsche Ungleichung herleiten.[33]

Formulierung des Lemmas

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Darstellung von Heinz Bauer folgend lässt sich das Lemma angeben wie folgt:[33]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und darauf endlich viele -integrierbare Zufallsvariable
mit und   .
Sei weiterhin eine reelle Zahl gegeben und hierbei für
gesetzt.
Dann gilt:
  .

Folgerung: Die Ungleichung von Hájek und Rényi

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit dem Lemma von Frank lässt sich eine von Jaroslav Hájek und Alfréd Rényi vorgelegte Ungleichung herleiten, welche ihrerseits weitere Ungleichungen und insbesondere sowohl die die kolmogoroffsche als auch die tschebyscheffsche Ungleichung in sich einschließt.

Die Ungleichung lautet gemäß der Darstellung von Heinz Bauer wie folgt:[33]

Seien auf dem Wahrscheinlichkeitsraum endlich viele unabhängige integrierbare reelle Zufallsvariablen gegeben
und dazu absteigend angeordnete positive Zahlen   .
Sei hierbei für
[51]
gesetzt.
Dann ist für jeden Index und für jedes reelle
die Ungleichung
  .[52][53]
erfüllt.

Quellen und Hintergrundliteratur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreferences /> KKKategorie:Stochastik]] KKKategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Frank, Lemma von]] KKKategorie:Ungleichung]]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

<references>

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 388–391
  2. a b Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band. Inp bis Mon. 2001, S. 276
  3. Širjaev, op. cit., S. 391
  4. Širjaev, op. cit., S. 388
  5. M. Loève: Probability Theory I. 1977, S. 259–260
  6. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 98–99
  7. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 465
  8. A. I. Sakhanenko: On Lévy–Kolmogorov Inequalities for Banach-Space-Valued Random Variables. In: Theory of Probability & Its Applications. 29, S. 830–836
  9. Selecta Mathematica. IV (Hrsg. Konrad Jacobs) 1972, S. 46–56
  10. Mark Pollicot, Michiko Yuri: Dynamical Systems and Ergodic Theory. 1998, S. 91–97
  11. Selecta Mathematica. IV, S. 49
  12. Pollicot/Yuri, op. cit., S. 92
  13. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 337-338
  14. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 452-454
  15. Pál Révész: Die Gesetze der grossen Zahlen. 1968, S. 146-147
  16. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 335
  17. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 447
  18. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 336
  19. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 455
  20. Hier ist die auf dem Hilbertraum durch das Skalarprodukt erzeugte Norm.
  21. Christian Hesse: Wahrscheinlichkeitstheorie 2009, S. 184
  22. Für eine reelle Zufallsvariable wird mit deren Erwartungswert bezeichnet.
  23. Für eine reelle Zufallsvariable wird mit deren Varianz bezeichnet.
  24. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 288-289
  25. Für eine reelle Zufallsvariable wird mit deren Erwartungswert bezeichnet.
  26. Für eine reelle Zufallsvariable wird mit deren Varianz bezeichnet.
  27. a b c d A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 204 Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „ANS“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  28. a b c Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 100-101 Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „MF“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  29. J. V. Uspensky: Introduction to Mathematical Probability. 1937, S. 265
  30. M. Loève: Probability Theory I. 1977, S. 174
  31. Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics. 1966, S. 255
  32. Für eine reelle Zufallsvariable wird mit deren Erwartungswert bezeichnet.
  33. a b c d e f Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 107-113 Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „HB“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  34. Mit wird die reelle Betragsfunktion bezeichnet.
  35. J. Hoffmann-Jørgensen: Probability with a View toward Statistics. 1994, S. 472-473
  36. Oleg Klesov: Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables. 2014, S. 30-31
  37. Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. 1991, S. 151-152
  38. B. W. Gnedenko: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1980, S. 185 ff
  39. a b Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 117 ff Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „AK“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  40. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 262 ff
  41. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 353 ff
  42. Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1970, S. 318 ff
  43. Mit wird die charakteristische Funktion bezeichnet.
  44. Dabei steht für das Supremum.
  45. Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. in: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 14 , S. 239 ff
  46. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 34-35
  47. Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory. 2006, S. 249 ff
  48. Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. 2001, S. 125 ff
  49. A. Kolmogoroff: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1973, S. 59-60
  50. Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable wird mit der Erwartungswert von und mit die Varianz von bezeichnet.
  51. Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable ist der Erwartungswert von .
  52. Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable ist die Varianz von .
  53. Eine Summe der Form wird als Summe über die leere Menge und damit gleich Null betrachtet.
  1. Hier ist dann selbstverständlich gesetzt.
  2. Dies ist die spezielle Version, die zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für Summen von Zufallsvariablen benötigt wird.
  3. Diese beiden sind mit der zuvor formulierten Lévy-Ungleichung offenbar eng verwandt.
  4. Mit ist die reelle Betragsfunktion gemeint.