Benutzer:Suhagja/Triangulierung

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Triangulierung einer Teilmenge der Ebene.

Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten

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Mannigfaltigkeiten der Dimension sind stets triangulierbar. Casson zeigte, dass 4-Mannigfaltigkeiten mit gerader Schnittform und Signatur 8 nicht trianguliert werden können. Aus Freedmans Arbeit weiß man, dass es eine solche 4-Mannigfaltigkeit gibt, sie wird genannt. Davis-Januszkiewicz bewiesen, dass man durch Hyperbolisierung von eine nicht-triangulierbare asphärische 4-Mannigfaltigkeit bekommt. Alle differenzierbaren und alle PL-Mannigfaltigkeiten sind triangulierbar. Kirby und Siebenmann zeigten, dass nicht alle topologischen Mannigfaltigkeiten eine PL-Struktur besitzen. Sie zeigten aber auch, dass es triangulierbare Mannigfaltigkeiten ohne PL-Struktur gibt. Ende der 70er Jahre konstruierten Galewski und Stern eine Mannigfaltigkeit, die genau dann trianguliert werden kann, wenn jede Mannigfaltigkeit der Dimension trianguliert werden kann. 2013 bewies Manolescu, dass die Galewski-Stern-Mannigfaltigkeit nicht trianguliert werden kann. (Grund ist, dass der Rochlin-Homomorphismus nicht spaltet.) Mittels Hyperbolisierung zeigten Davis-Fowler-Lafont dann, dass es in Dimension nicht-triangulierbare asphärische Mannigfaltigkeiten gibt.