Benutzer Diskussion:Bleckneuhaus/Sandkasten/Kohärenz

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Bleckneuhaus auf.

Kohärenz in der Quantenmechanik

(Als neuer Absatz in Kohärenz (Physik)

Kohärenz und Inkohärenz in der Quantenmechanik

Die Möglichkeit, jeden Zustand eines Quantensystems als Ergebnis der kohärenten Überlagerung von anderen Zuständen desselben Systems zu bilden, ist ein wesentlicher Unterschied zur klassischen Physik. Als ein Beispiel kann man den Zustand eines Elektrons nennen, das nach dem Durchgang durch einen Doppelspalt am Schirm eintrifft, wo es dann in Form eines kurz aufleuchtenden Punkts nachgewiesen wird. Die streifenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung der aufleuchtenden Punkte lässt sich nicht anders deuten, als dass es abwechselnd zur destruktiven und konstruktiven Interferenz von zwei kohärenten Materiewellen kommt, die aus dem einen oder aus dem anderen der beiden Spalte hervorgegegangen sind und sich am Schirm überlagern.

Kohärente Überlagerung

Stellt man die quantenmechanischen Zustände durch Zustandsvektoren dar, dann bedeutet kohärente Überlagerung die Linearkombination solcher Vektoren mit komplexen Koeffizienten. Wenn (wie üblich) die überlagerten Vektoren zu einer orthonormierten Basis gehören, dann gibt das Betragsquadrat eines Koeffizienten die Stärke an, mit der der entsprechende Basiszustand in dem Überlagerungszustand vertreten ist. An der Stärke ändert sich nichts, wenn dieser Koeffizient mit einem komplexen Faktor vom Betrag 1 (Phasenfaktor) multipliziert wird. Der Überlagerungszustand ist dann aber ein anderer, außer wenn alle Koeffizienten mit demselben Phasenfaktor multipliziert werden.

Dies sieht man schon am Beispiel des 2-Zustandssystems, wie es z. B. von dem Spin des Elektrons in einem Magnetfeld realisiert wird. Der Spin ist in den beiden Zuständen $|\!\!+\!z\rangle$ und $|\!\!-\!z\rangle$ mit den Werten ±½ parallel bzw. antiparallel zum Feld (in $z$-Richtung) ausgerichtet, im Zustand $|\!\!+\!x\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}|\!\!+\!z\rangle +{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}|\!\!-\!z\rangle$ aber parallel zur $x$-Richtung , und im Zustand $|\!\!+\!y\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}|\!\!+\!z\rangle +{\tfrac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}|\!\!-\!z\rangle$ parallel zur $y$-Richtung. Im Zustand $|\!\!+\!x\rangle$ würde eine Messung der $z$-Ausrichtung des Spins zu je 50% (Betragsquadrat der Koeffizienten) die Ergebnisse +½ und -½ ergeben. Dennoch wäre dieser Zustand noch nicht eindeutig beschrieben, wenn man ihn einfach als eine statistische Mischung von 50% $|\!\!+\!z\rangle$-Zustand und 50% $|\!\!-\!z\rangle$-Zustand definiert. Denn die gleiche Definition würde dann auch für den Zustand $|\!\!+\!y\rangle$ gelten. Zudem kann diese Definition als Mischung nicht reproduzieren, dass eine Messung der x-Komponente des Spins im Zustand $|\!\!+x\!\rangle$ ausschließlich das Ergebnis +½ liefert, im Zustand $|\!\!+\!y\!\rangle$ aber wieder je zur Hälfte ±½. Die Zustände $|\!\!+\!x\rangle$ und $|\!\!+\!y\rangle$ sind verschieden, sind sogar orthogonale Zustände, die sich nur durch die relative komplexe Phase in der Überlagerung der $|\!\!\pm \!z\rangle$-Zustände unterscheiden. Eine solche Überlagerung wird als kohärent bezeichnet.

Inkohärente Überlagerung

Demgegenüber wird die einfache Mischung mehrerer Elektronen im Zustand $|\!\!+\!z\rangle$ mit Elektronen im Zustand $|\!\!-\!z\rangle$ als inkohärente Überlagerung oder als Zustandsgemisch bezeichnet. Ein wichtiger physikalischer Unterschied zwischen inkohärenter und kohärenter Überlagerung besteht darin, dass man ein inkohärentes Gemisch nicht in reversibler und kontrollierter Weise einen reinen Fall, wo alle Teilchen im selben Zustand sind – z. B. von 100% der Elektronen im $|\!\!+\!z\rangle$-Zustand, umwandeln kann. Mit Elektronen im kohärent überlagerten Zustand $|\!\!+x\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}|\!\!+\!z\rangle +{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}|\!\!-\!z\rangle$ geht das aber problemlos, indem man ein zusätzliches Magnetfeld in $y$-Richtung so anlegt, dass sie eine viertel Umdrehung der Larmorpräzession ausführen. Mathematisch wird dabei dem Ausgangszustand $|\!\!+x\rangle$ eines jeden Elektrons in kohärenter Weise (und unter Erhaltung der Normierung) der Zustand $|\!\!-x\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}|\!\!+\!z\rangle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}|\!\!-\!z\rangle$ überlagert, der die störende Komponente ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}|\!\!-\!z\rangle$ durch destruktive Interferenz auslöscht.

Auch bei kohärenter Überlagerung kann ein inkohärentes Zustandsgemisch entstehen, wenn die komplexen Phasen der Koeffizienten gleichverteilt sind. Wenn N gleiche Quantensysteme in Zuständen sind, wo dieselben zwei orthogonalen Basiszustände $|a\rangle$ und $|b\rangle$ überlagert werden zu $|c\rangle =\alpha |a\rangle +\beta |b\rangle$, wobei die komplexen Koeffizienten konstante Beträge haben, aber ihre komplexe Phase beliebig ist, dann entsteht ein inkohärentes Zustandsgemisch. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein System bei einer entsprechenden Messung den Zustand $|a\rangle$ bzw. $|b\rangle$ zeigt, sind bei allen N Quantensystemen $p_{a}=|\alpha |^{2}$ und $p_{b}=|\beta |^{2}$. Interferenz braucht man dann nicht mehr zu betrachten, denn insoweit verhält sich das inkohärente Zustandsgemisch genau so, wie sich in der klassischen Physik ein Gemisch von N Teilchen verhält, von denen jedes in einem der verschiedenen Basiszustände ist. Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Zustände interpretiert man als deren relative Häufigkeiten, wenn das Gemisch aus vielen Teilchen (bzw. Quantensystemen) besteht. Ist es nur ein einziges Teilchen, dann geben die Wahrscheinlichkeiten das Maß der Unkenntnis an, in welchem der Zustände sich das Teilchen befindet. Dem entspricht als Beispiel der klassischen Physik ein Würfel, dessen Zustand unter dem Würfelbecher sicher eine bestimmte Augenzahl $i$ zeigt, wobei zu jedem der 6 möglichen Ergebnisse eine bestimmte Wahrscheinlichkeit gehört, bei einem ungezinkten Würfel $p_{i}={\tfrac {1}{6}}$.

Darstellung mit Dichteoperator

Der Dichteoperator ${\hat {\rho }}$ ist ein selbstadjungierter Operator im Hilbertraum mit Spur 1 und ausschließlich nicht-negativen Eigenwerten $0\leq p\leq 1$.^{(Kap. 3.10)} Er ist als Darstellung des quantenmechanischen Zustands allgemeiner als der Zustandsvektor $|\psi \rangle$. Für einen reinen Zustand, der immer auch als kohärente Überlagerung anderer Zustände angesehen werden kann, ist der Dichteoperator der Projektionsoperator ${\hat {P}}_{\psi }$ auf den betreffenden 1-dimensionalen Unterraum, als dyadisches Produkt geschrieben:

${\hat {\rho }}={\hat {P}}_{\psi }=|\psi \rangle |\langle \psi |$

Alle anderen Dichteoperatoren stellen inkohärent überlagerte Gemische verschiedener Zustände dar. Mathematisch unterscheiden sich die beiden Arten Dichteoperator anhand der Bedingung

${\hat {\rho }}^{2}={\hat {\rho }}$ : reiner Zustand (Projektionsoperator, idempotent)

${\hat {\rho }}<1$ : inkohärentes Gemisch (z. B. Gemisch der Eigenzustände von ${\hat {\rho }}$ mit den Eigenwerten $p<1$ von ${\hat {\rho }}$ als Gewichten.

Die physikalische Bedeutung entspricht dem Zustandsbegriff, dass der Zustand diejenige Funktion definiert, die jeder möglichen Messgröße $A$ ihren Erwartungswert $\langle A\rangle$ zuweist. Allgemein gilt für den Dichteoperator

$\langle A\rangle =\mathbb {Sp} ({\hat {\rho }}{\hat {A}})$,

wobei ${\hat {A}}$ der zur Größe $A$ gehörende Operator ist.

Wenn $N$ Zustände $\psi _{n}$ mit Gewichten $p_{n}$ inkohärent gemischt sind, dann bedeutet inkohärente Mischung die Abwesenheit von Kohärenzeffekten, so dass der Erwartungswert von $A$ einfach durch das gewichtete Mittel aller einzelnen Erwartungswerte $\langle \psi _{n}|{\hat {A}}|\psi _{n}\rangle$ der Bestandteile gegeben ist:

$\langle A\rangle =\sum _{n=1}^{N}p_{n}\langle \psi _{n}|{\hat {A}}|\psi _{n}\rangle$

Genau dieses Ergebnis ergibt sich auch aus $\langle A\rangle =\mathbb {Sp} ({\hat {\rho }}{\hat {A}})$ mit dem Dichteoperator

${\hat {\rho }}=\sum _{n=1}^{N}p_{n}{\hat {P}}_{\psi _{n}}$

Dabei ist ${\hat {\rho }}$ für jede Wahl der inkohärent gemischten Zustände $\psi _{n}$ ein Dichteoperator, z. B. brauchen sie weder orthogonal zueinander noch Eigenzustände eines bestimmten Operators zu sein.

Zum Beweis setzt man ${\hat {\rho }}=\sum _{n=1}^{N}p_{n}{\hat {P}}_{\psi _{n}}$ ein und rechnet die Spur in einer beliebigen Orthonormalbasis $|\alpha _{m}\rangle$ aus:

$\mathbb {Sp} ({\hat {\rho }}{\hat {A}})=\sum _{n=1}^{N}\sum _{m}p_{n}\langle \alpha _{m}|\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|{\hat {A}}|\alpha _{m}\rangle =\sum _{n=1}^{N}p_{n}\langle \psi _{n}|{\hat {A}}|\left(\sum _{m}|\alpha _{m}\rangle \langle \alpha _{m}|\right)|\psi _{n}\rangle$

(Der Ausdruck in der großen runden Klammer ist der Einheitsoperator.) Es folgt, wie oben behauptet:

$\langle A\rangle =\sum _{n=1}^{N}p_{n}\langle \psi _{n}|{\hat {A}}|\psi _{n}\rangle$

Verschränkte Teilsysteme zeigen sich bei Teilmessungen als inkohärente Gemische

Messungen an einem zusammengesetzten System in einem reinen Zustand betreffen oft nur eines der Teilsysteme, während die anderen Teilsysteme völlig unbeachtet bleiben. Um für diesen Fall die Messergebnisse vorherzusagen, kann man das beobachtete Teilsystem für sich nicht mittels eines seiner Zustandsvektoren darstellen, sondern nur durch einen Dichteoperator. Dieser wird als Reduzierter Dichteoperator bezeichnet, weil man ihn aus dem Dichteoperator für das Gesamtsystem durch partielle Spurbildung erhalten kann.

Mithilfe der Zustandsvektoren der Einzelsysteme lässt sich der Herleitung so darstellen: Seien $X=x_{1},\,x_{2},\,\ldots$ und $Y=y_{1},\,y_{2},\,\ldots$ die Variablen von zwei Systemen und $\psi (X)$ bzw. $\phi (Y)$ ihre Wellenfunktionen in jeweils einem reinen Zustand. Seien $\psi _{n}(X)$ für $n=1,\,2,\,\ldots$ die Eigenfunktionen des Systems $X$ für eine nur am System $X$ beobachtete Größe $A$ mit Eigenwerten $a_{n}$. Jeder reine Zustand des aus $X$ und $Y$ zusammengesetzten Gesamtsystems $Z$ lässt sich durch eine Wellenfunktion (auf dem Tensorprodukt der Hilberträume von $X$ und $Y$)

$\Psi (X,Y)=\sum _{n}\psi _{n}(X)\phi _{n}(Y)$

darstellen, wobei die $\psi _{n}(X)$ die genannten Eigenfunktionen sind und die $\phi _{n}(Y)$ geeignete Funktionen der übrigen Variablen. Der Operator ${\hat {A}}$ zur Messgröße wirkt nicht auf die $Y$-Variablen, ihr Erwartungswert lässt sich daher so berechnen:

$\langle A\rangle =\langle \Psi (X,Y)|{\hat {A}}|\Psi (X,Y)\rangle =\sum _{n}\langle \psi _{n}(X)|{\hat {A}}|\psi _{n}(X)\rangle \ \langle \phi _{n}(Y)|\phi _{n}(Y)\rangle$

Für die Erwartungswerte kann man $\langle \psi _{n}(X)|{\hat {A}}|\psi _{n}(X)\rangle =a_{n}$ schreiben, für die Normquadrate $\langle \phi _{n}(Y)|\phi _{n}(Y)\rangle =p_{n}$. Die $p_{n}$ sind die Gewichte, mit denen die $a_{n}$ in das Endergebnis für $\langle A\rangle =\sum _{n}p_{n}a_{n}$ eingehen. Ein Teilsystem eines zusammengesetzten Systems (in einem verschränkten Zustand) verhält sich demnach immer wie eine inkohärente Mischung.

Weitere Stichworte

$|\psi \rangle$ und $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }|\psi \rangle$ unabhängig von $\alpha$ derselbe Zustand

$|\phi \rangle +\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }|\psi \rangle$ Möglichkeit (+Normierung) aber nicht

Beispiel Spin 1/2

2.

Klassisches Verhalten bei Mittelung aller Phasen

3.

Allg. Zustand: Dichtematrix

in Eigenbasis: immer ein inkohärentes Gemisch

Dichtematrix für Spin 1/2

4. Messung Dekohärenz bevorzugte Basis

Gemisch polarisieren?

@Qcomp: Wenn man Gemische polarisiert, dann filtert man die Teilchen im richtigen Zustand heraus und schmeißt die anderen weg (solange man nicht Maxwellschen Dämon spielt). Da wollte ich aber nicht so ins Einzelne gehen, sondern hoffte, es reicht, mit der vollen Teilchenzahl N zu formulieren. -- Ach, und ich merke grade, dass ich hier auf einer Unterseite meiner Diskussionsseite arbeite. Na ja, kann wohl so bleiben. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:17, 5. Mär. 2024 (CET)

Ja, oder man unterzieht sie einer nicht-unitären Dynamik (wie beim Optischen Pumpen). Ich stimme Dir zu, dass man auf so etwas hier nicht eingehen sollte, aber deswegen meine Anmerkung oben, ob die Möglichkeit der "Umwandlung" vielleicht nicht die beste Unterscheidung ist. Aber wenn Du dabei bleiben willst, dann könnte man von "reversibel umwandeln" sprechen und diese nichtunitären Dynamiken (Filtern und Pumpen) fallen raus. (Sie sind zwar u.U. mathematisch invertierbar, aber die Umkehrung ist keine physikalische Zeitentwicklung, also ist es mE in einem Artikel zur Physik korrekt zu sagen, dass sie irreversibel sind). --Qcomp (Diskussion) 18:03, 5. Mär. 2024 (CET)

O ja, optisches Pumpen hatte ich übersehen! --Bleckneuhaus (Diskussion) 18:14, 5. Mär. 2024 (CET)

Danke für den Hinweis auf diesen Schnitzer! Sogar das simple Magnetisieren ist ja schon ein (irreversibler) Schritt in diese Richtung. --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:24, 6. Mär. 2024 (CET)