Bewertungsspektrum

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Das Bewertungsspektrum eines kommutativen Ringes ist ein topologischer Raum, dessen Punkte durch Äquivalenzklassen von Bewertungen gegeben sind. Es findet Anwendung in der Theorie adischer Räume.

Sei ein kommutativer Ring. Das Bewertungsspektrum von ist die Menge aller Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen von . Die Topologie auf wird von Mengen der Form

erzeugt, wobei beliebige Elemente sind.[1]

  • Der Körper der rationalen Zahlen hat die folgenden Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen: Für jede Primzahl die p-adische Bewertung und die sogenannte triviale Bewertung , die durch für alle gegeben ist. Eine nicht-leere Teilmenge von ist genau dann offen, wenn sie Komplement endlich vieler p-adischer Bewertungen ist. Wir haben einen Homöomorphismus .[2]
  • Der Ring der ganzen Zahlen besitzt alle Einschränkungen von Bewertungen von als Bewertung. Zusätzlich gibt es für jede Primzahl eine Bewertung , die von der trivialen Bewertung auf dem endlichen Körper induziert wird. Wir erhalten also als Menge . Jede offene Menge, die enthält, enthält auch . Die Bewertung ist also eine Spezialisierung von . Die abgeschlossenen Punkte von sind genau die Bewertungen .[3]

Das Bewertungsspektrum eines kommutativen Ringes ist ein spektraler Raum.[4]

Ist ein Ringhomomorphismus und eine Bewertung von , so ist eine Bewertung von . Für gilt

Die Abbildung ist also stetig[5] und sogar spektral[6].

Einzelnachweise

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  1. Wedhorn: Def. 4.1
  2. Wedhorn: Ex. 4.2 (1)
  3. Wedhorn: Ex. 4.2 (2)
  4. Wedhorn: Prop. 4.7 (1)
  5. Wedhorn: Rem. 4.3
  6. Wedhorn: Prop. 4.7 (2)