Birnbaum-Orlicz-Raum

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Ein Birnbaum-Orlicz-Raum (auch Orlicz-Raum) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis und ein Funktionenraum, der die Lp-Räume verallgemeinert. Er ist benannt nach den polnischen Mathematikern Zygmunt Wilhelm Birnbaum und Władysław Orlicz.[1]

Orlicz-Funktion

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Sei ein σ-endliches Maß auf einer Menge . Eine konvexe Funktion nennt man Orlicz-Funktion (auch Young-Funktion), wenn Folgendes gilt:

und
.

Sei nun die rechtsinverse Funktion zu , das heißt, es gilt . Wir definieren die Komplementärfunktion zu als das Integral über die rechtsinverse Funktion ihrer Ableitung:

.

Die Orlicz-Norm ist dann gegeben durch:

.

Birnbaum-Orlicz-Raum

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Der Birnbaum-Orlicz-Raum ist definiert als

(oder kurz als ), also als der Raum aller messbaren Funktionen, die eine endliche Orlicz-Norm besitzen.

Eine äquivalente Norm namens Luxemburg-Norm erhält man durch

.

Für eine Zufallsvariable ergibt sich daraus folgende Norm:

.
  • Für und mit gilt die Inklusionskette .
  • Nimmt man , so erhält man die Lp-Räume.
  • Ein Birnbaum-Orlicz-Raum ist ein Banach-Raum.

Einzelnachweise

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  1. Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander konjugierten Potenzen Studia Mathematica 3, S. 1–67, 1931.