Blätterungskohomologie

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In der Mathematik ist die Blätterungskohomologie eine Kohomologietheorie zur Beschreibung von Blätterungen.

Sie ist eine Modifikation der De-Rham-Kohomologie, bei der die Differentialformen und Differentiale nur entlang von Blättern betrachtet werden. Sie hat eine im Vergleich zur De-Rham-Kohomologie sehr viel komplexere Struktur, zum Beispiel sind die Kohomologiegruppen auch bei kompakten Mannigfaltigkeiten oft unendlich-dimensional.

Sei eine glatte -Mannigfaltigkeit und eine -Blätterung der Kodimension mit und . Man bezeichnet mit das zu den Blättern von tangentiale Unterbündel des Tangentialbündels und mit das duale Bündel.

Der Raum der Blätterungsdifferentialformen (d. h. der entlang von Blättern definierten Differentialformen) ist

,

also der Raum der -Schnitte in der äußeren Algebra von . Äquivalent ist

mit

.

Nach dem Satz von Frobenius bildet die äußere Ableitung auf sich ab und definiert somit ein wohldefiniertes Differential

.

Lokal kann man in einer Blätterungskarte eine Blätterungsdifferentialform als

beschreiben, wobei die lokalen Koordinaten in Richtung der Blätter und die Koordinaten in transversaler Richtung sind. In solchen Koordinaten beschreibt man das Differential durch

.

Die Blätterungskohomologie ist dann definiert als

.

Die Kohomologiegruppen sind Frechet-Räume, die im Allgemeinen nicht hausdorffsch sein müssen. Man betrachtet deshalb auch die reduzierte Blätterungskohomologie

.
  • Für die Blätterung des durch Punkte ist und für .
  • Für die von einer Untergruppe induzierte Blätterung eines lokal homogenen Raums ist , wobei die Lie-Algebra von und iher Lie-Algebren-Kohomologie mit Koeffizienten in ist.
  • Die Blätterungskohomologie ist invariant unter tangentialen Homotopien.
  • Es gibt eine natürliche Mayer-Vietoris-Sequenz für die Blätterungskohomologie.
  • Für Riemannsche Blätterungen lässt sich die Blätterungskohomologie mittels transversaler Hodge-Theorie einer bündelartigen Metrik berechnen.
  • B. Mümken: A coincidence formula for foliated manifolds, Dissertation Universität Münster, 2002.
  • C. Peters: Blätterung von Nilmannigfaltigkeiten, Dissertation Universität Düsseldorf, 2003.
  • S. Maßberg: Die Blätterungskohomologie von Knotenblätterungen der Sphären, Dissertation Universität Düsseldorf, 2008.