Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Bloch-Gruppe ein Ansatz zur expliziten Beschreibung der 3. algebraischen K-Theorie von Körpern. Sie ist auch von Bedeutung bei der Untersuchung von Dilogarithmen, bei der Formalisierung des 3. Hilbertschen Problems und in der Topologie 3-dimensionaler hyperbolischer Mannigfaltigkeiten.
Es sei
ein Körper und
![{\displaystyle \mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21eb3f26924cd3aa0c7b3cdd67020c8383cd0f1)
die von
formal erzeugte freie abelsche Gruppe. Wir bezeichnen mit
das
entsprechende Element von
.
Die Prä-Bloch-Gruppe
ist als Quotient von
modulo der von allen "5-Term-Relationen"
![{\displaystyle \left[x\right]-\left[y\right]+\left[{\frac {y}{x}}\right]-\left[{\frac {1-x^{-1}}{1-y^{-1}}}\right]+\left[{\frac {1-x}{1-y}}\right],\quad x,y\in K\setminus \left\{0,1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2e829f8714e1d934ef8637d4a5a5b98b5c6a5e)
erzeugten Untergruppe definiert.
Ein Homomorphismus
![{\displaystyle \phi \colon \mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]\to K^{*}\otimes _{\mathbb {Z} }K^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e81039fc167141a652191e9e25c27f223cb3ba3)
wird definiert durch
![{\displaystyle \phi \left(\sum _{i}\lambda _{i}z_{i}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}z_{i}\otimes (1-z_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f33bd672fc77239e50fff2b36eb3d639f34e59)
für
. Man rechnet nach, dass
einen wohldefinierten Homomorphismus
![{\displaystyle D\colon {\mathfrak {p}}(K)\to (K^{*}\otimes K^{*})/\langle x\otimes y-y\otimes x\colon x,y\in K^{*}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8f1416d8d88730f5fbcd2a5eb10eda11ca26e1)
induziert. Dieser Homomorphismus wird wegen des Zusammenhangs zu Hilberts 3. Problem als Dehn-Invariante bezeichnet.
Die Bloch-Gruppe
ist als Kern von
definiert.
Aus der Definition der Bloch-Gruppe und dem Satz von Matsumoto folgt, dass die Blochgruppe Teil einer exakten Sequenz
![{\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {B} (K)\longrightarrow {\mathfrak {p}}(K){\stackrel {D}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}\longrightarrow \operatorname {K} _{2}(K)\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7b7e39ec24f8245874241f3622567e5698052f)
ist. Diese Sequenz wird als Bloch-Suslin-Komplex bezeichnet und gelegentlich auch als Definition der Bloch-Gruppe verwendet.
Es sei
die projektive Gerade über dem Körper
und
![{\displaystyle (C_{*}(P^{1}K),d_{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b54a6eb6fd86d954b75c057944e97777a31c691)
der Kettenkomplex, dessen
-te Gruppe
die von den
-Tupeln
![{\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2de00c0cdd1f3edd72d0660f0d24f393ab3a87)
paarweise verschiedener Punkte
formal erzeugte freie abelsche Gruppe und dessen Differential
durch die Formel
![{\displaystyle d_{i}(x_{0},\ldots ,x_{i})=\sum _{k=0}^{i}(-1)^{k}(x_{0},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173087a83cddb6b130bef1022e424805cbd7228a)
gegeben ist. Dann ist[1]
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}(K)=H_{3}(C_{*}(P^{1}K)\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} ,d\otimes id)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e95157f8ab832882c0f53acad01a985525105a)
für die Wirkung von
auf
.
Insbesondere hat man einen kanonischen Homomorphismus
,
der von der durch
![{\displaystyle g\to g.\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3750edbde710ec8996e9639efd8c09a5c786a1)
gegebenen Abbildung
![{\displaystyle PGL(2,K)\to P^{1}(K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01420c762b6e0f20682cd0d092ea812d082a2d9)
induziert wird. (Die Wahl von
als Basispunkt ist willkürlich, Wahl eines anderen Basispunktes würde ebenfalls einen Homomorphismus induzieren.) Das Bild dieses Homomorphismus liegt sogar in
.
Unter dem Isomorphismus
entspricht ein 4-Tupel von Elementen aus
seinem Doppelverhältnis. Entsprechend bildet also der Homomorphismus
![{\displaystyle H_{3}(PGL(2,K)\to {\mathfrak {p}}(K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2d47041906eebe21560e52a68322cd78c3a436)
ein 4-Tupel
auf das Doppelverhältnis der 4 Punkte
ab.
Für algebraisch abgeschlossene Körper
gibt es eine exakte Sequenz
,
wobei
die Einheitswurzeln in
bezeichnet.[2]
Eine unmittelbare Konsequenz ist die exakte Sequenz
.
Für
erhält man die exakte Sequenz
.
Um den
-Summanden zu integrieren, definierte W. Neumann für
die erweiterte Bloch-Gruppe
. Diese ist isomorph zu
.
Der für
definierte Bloch-Wigner-Dilogarithmus
![{\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log |z|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c436a2fc33fa36ab398c54ce170e1551184716)
erfüllt die Funktionalgleichung
![{\displaystyle \operatorname {D} _{2}(x)+\operatorname {D} _{2}(y)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+\operatorname {D} _{2}(1-xy)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce211cb49c1ba6ba5e2f7abd40e2eec1ac407882)
und definiert deshalb eine wohldefinierte Abbildung
.
Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist die einzige messbare Abbildung
, die die Funktionalgleichung
![{\displaystyle F(x)-F(y)+F\left({\frac {y}{x}}\right)-F\left({\frac {1-x^{-1}}{1-y^{-1}}}\right)+F\left({\frac {1-x}{1-y}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c6955c82af1ebf5b334f02781857d20d718a8e)
für alle
erfüllt. Man kann die Definition der Bloch-Gruppe also auch interpretieren als die minimale Gruppe, auf der der Bloch-Wigner-Dilogarithmus wohldefiniert ist. Verallgemeinerungen dieses Ansatzes für höhere Polylogarithmen führen zu Definitionen höherer Bloch-Gruppen.
Wenn
unendlich ist, dann hängt das Element
![{\displaystyle [z]+[1-z]\in \operatorname {B} (K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71248491600b3565fdb8e2883e6bf55aece44632)
nicht von
ab. Es wird mit
bezeichnet und erfüllt die Relation
.[3]
Wenn
algebraisch abgeschlossen ist, dann ist
eine teilbare Gruppe. Weiterhin gelten dann für
die Relationen
![{\displaystyle \left[z\right]+\left[1-z\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b4077ce5e8a07d92c1cad5a95bbfc04d10a7f7)
![{\displaystyle \left[z\right]+\left[{\frac {1}{z}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b4e713891f32ce7145a2b73a41650292558cf1)
und man kann Symbole
einführen, mit denen alle 5-Term-Relationen Gültigkeit behalten.
Insbesondere gilt
für algebraisch abgeschlossene, unendliche Körper. Aus den obigen Relationen folgt
dann
für alle z.
Anwendung des durch die Wirkung von
auf der projektiven Geraden
definierten kanonischen Homomorphismus
(siehe die geometrische Interpretation oben) liefert einen Isomorphismus[4]
,
wobei
die die Gruppe der monomialen Matrizen bezeichnet.
Für größere
erhält man einen Isomorphismus[5]
![{\displaystyle H_{3}(GL(n,K))/H_{3}(GM(n,K))\cong B(K)/2c_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31fa30a8b9f870606d2d25070243cf858bac052)
für das oben definierte Element
der Ordnung maximal 6.
Eine explizite Realisierung von
liefert die von Neumann definierte erweiterte Bloch-Gruppe
.
Dieselbe Abbildung induziert einen Isomorphismus
![{\displaystyle \operatorname {coker} (\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K))\cong \operatorname {B} (K)/2c_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00cc9b7cb110b2b71da98f6bc37698360c6e096)
wobei
die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum
bezeichnet.
Bezeichne
die Milnorsche K-Theorie, dann hat man nach Suslin eine exakte Sequenz
![{\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Tor} (K^{*},K^{*})^{\sim }\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K)_{ind}\rightarrow \operatorname {B} (K)\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f1b627b6ab9e0230dae862551d75bdd4da9e7f)
mit K3(K)ind = coker(K3M(K) → K3(K)) und Tor(K*, K*)~ die eindeutige nichttriviale Erweiterung von Tor(K*, K*) mit Z/2, oder äquivalent
,
wobei
die Gruppe der Einheitswurzeln von K und
die nichttriviale Erweiterung von
mit
(bzw. in Charakteristik 2:
) bezeichnet.
Für
ist
die von den nicht-ausgearteten idealen hyperbolischen Simplizes frei erzeugte abelsche Gruppe. Das einem Simplex unter dem Isomorphismus
![{\displaystyle H_{3}(C_{*}(P^{1}\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} )\cong {\mathfrak {p}}(\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a530d3b4c202d634dba548c4bf6a7224eda06a8c)
entsprechende Element
ist das Doppelverhältnis der 4 Ecken, der Bloch-Wigner-Dilogarithmus
gibt das Volumen des idealen Simplexes.
Man kann dies verwenden zur Definition einer Invariante hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten. Sei
eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit einer idealen Triangulierung und seien
die Doppelverhältnisse der Simplizes, dann ist
![{\displaystyle \left[z_{1}\right]+\ldots +\left[z_{r}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0cc151094bac9c3318c61964054d1acf3b63bb)
ein Element von
(die Dehn-Invariante ist Null) und definiert eine Invariante der Mannigfaltigkeit, aus der man unter anderem durch Anwendung des Bloch-Wigner-Dilogarithmus das hyperbolische Volumen der Mannigfaltigkeit berechnen kann.
Mittels der Bloch-Gruppe und des Rogers-Dilogarithmus kann man explizite Formeln für die sekundären charakteristische Klassen
und
angeben, wobei man für den Realteil von
den erweiterten Rogers-Dilogarithmus und die erweiterte Bloch-Gruppe benötigt.
- Spencer Bloch: Higher regulators, algebraic K-theory, and zeta functions of elliptic curves. CRM Monograph Series, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. ISBN 0-8218-2114-8
- Johan Dupont, Chi Han Sah: Scissors congruences. II. J. Pure Appl. Algebra 25 (1982), no. 2, 159–195.
- Andrei Suslin: K3 of a field, and the Bloch group. (Russisch, ins Englische übersetzt in: Proc. Steklov Inst. Math. 1991, no. 4, 217–239.) Galois theory, rings, algebraic groups and their applications (russisch). Trudy Mat. Inst. Steklov. 183 (1990), 180–199, 229.
- Johan Dupont: Scissors congruences, group homology and characteristic classes. Nankai Tracts in Mathematics, 1. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2001. ISBN 981-02-4507-6; 981-02-4508-4
- ↑ Suslin, op.cit., Lemma 2.2
- ↑ Die Folge ist eine Umformulierung eines unveröffentlichten Resultats von Bloch und Wigner, ein Beweis findet sich in Dupont-Sah, op.cit., siehe auch Dupont, op.cit., Theorem 8.19
- ↑ Suslin, op.cit., Lemma 1.3
- ↑ Suslin, op.cit., Theorem 2.1
- ↑ Suslin, op.cit., Theorem 4.1