Cheeger-Buser-Ungleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik stellt die Cheeger-Buser-Ungleichung eine Beziehung zwischen der isoperimetrischen Ungleichung und dem Spektrum des Laplace-Operators her. Es gibt eine differentialgeometrische Version (für riemannsche Mannigfaltigkeiten) und eine diskrete Version (für Graphen). Sie ist nach Jeff Cheeger und Peter Buser benannt.

Differentialgeometrische Version

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Wir bezeichnen mit die Cheeger-Konstante, d. h. die isoperimetrische Konstante. Der kleinste Eigenwert des Laplace-Beltrami-Operators ist . Die Cheeger-Ungleichung schätzt die Cheeger-Konstante gegen den zweitkleinsten Eigenwert ab:

Über die variationelle Charakterisierung von erhält man und damit ist die Cheeger-Ungleichung unmittelbar äquivalent zu einer oberen Schranke für die Konstante in der -Poincaré-Ungleichung

für alle glatten Funktionen mit .

Die Buser-Ungleichung (auch Ungleichung von Buser-Ledoux) besagt

,

wobei eine untere Schranke für die Ricci-Krümmung sein soll. Mit einer unteren Schranke für die Ricci-Krümmung und einer oberen Schranke für , oder äquivalent einer unteren Schranke für , erhält man also eine untere Schranke für .

Diskrete Version

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte die Adjazenzmatrix eines zusammenhängenden -regulären Graphen . Die Laplace-Matrix ist definiert als . Ihr kleinster Eigenwert ist . Der zweitkleinste Eigenwert wird als Maß für die Expansivität des Graphen interpretiert. Es gilt nämlich die auf Dodziuk, Alon und andere zurückgehende diskrete Cheeger-Buser-Ungleichung:

wobei die Cheeger-Konstante, d. h. die isoperimetrische Konstante, des Graphen bezeichnet.

Differentialgeometrische Version:

Diskrete Version:

  • Alexander Lubotzky: Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. With an appendix by Jonathan D. Rogawski. Progress in Mathematics, 125. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-5075-X.