Sekundäre charakteristische Klasse

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Im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie sind sekundäre charakteristische Klassen (wie die Cheeger-Chern-Simons-Klassen) Invarianten flacher Bündel.

Bekanntlich können verschiedene charakteristische Klassen

von -Prinzipalbündeln mittels der Chern-Weil-Konstruktion durch invariante Polynome realisiert werden, d. h., es gibt ein invariantes Polynom , so dass

für jedes -Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform , wobei

die Krümmungsform des Zusammenhangs , die De-Rham-Kohomologieklasse von

,

und das Bild der charakteristischen Klasse unter dem kanonischen Homomorphismus

bezeichnet.

Für flache Bündel ist

und demzufolge verschwinden alle über die Chern-Weil-Konstruktion definierten charakteristischen Klassen, insbesondere Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen.

Die Cheeger-Chern-Simons-Konstruktion definiert nun zu jeder solchen charakteristischen Klasse, genauer zu jedem invarianten Polynom

und jeder Kohomologieklasse

mit einen Differentialcharakter

.

Die Kohomologiegruppe ist eine Untergruppe von und im Fall flacher Bündel liegt in dieser Untergruppe. Die so definierte Kohomologieklasse

heißt (die zur primären charakteristischen Klasse assoziierte) sekundäre charakteristische Klasse.

Anwendung des Bockstein-Homomorphismus bildet die sekundäre charakteristische Klasse auf die charakteristische Klasse ab, deren Bild in verschwindet.

Existenz und Eindeutigkeit

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Gegeben seien eine Lie-Gruppe , ein invariantes Polynom und eine Kohomologieklasse mit . Wir bezeichnen mit die Korand-Abbildung und mit den Bockstein-Homomorphismus.

Satz: Für jedes -Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform gibt es einen eindeutigen Differentialcharakter

mit

  • ,

so dass unter Bündelabbildungen natürlich transformiert.

Cheeger-Chern-Simons-Klassen

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Ein Spezialfall ist die Konstruktion von Cheeger-Chern-Simons-Klassen.

Die Chern-Polynome seien definiert durch die Relation

für alle . Der universelle Chern-Weil-Homomorphismus

bildet invariante Polynome auf Kohomologieklassen des klassifizierenden Raumes ab.

Im Fall der Chern-Polynome gibt es die universellen Chern-Klassen und für diese gilt

.

Für ein -Prinzipalbündel gibt es nun eine klassifizierende Abbildung und die Chern-Klasse von ist . Für eine Zusammenhangsform definiert man nun

.

Im Fall flacher Bündel erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Klassen

.

Falls eine -dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit ist, erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Invariante

des flachen Bündels durch Anwenden der Cheeger-Chern-Simons-Klasse auf die Fundamentalklasse .

  • Cheeger, Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology (College Park, Md., 1983/84), 50–80, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlin, 1985. pdf
  • Dupont, Hain, Zucker: Regulators and characteristic classes of flat bundles. The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 47–92, CRM Proc. Lecture Notes, 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.