Differentialcharaktere sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie, der die Kohomologiegruppen verallgemeinert.
Sekundäre charakteristische Klassen, zum Beispiel die Cheeger-Chern-Simons-Klassen von Vektorbündeln, sind Differentialcharaktere. Im Fall flacher Bündel sind diese dann sogar Kohomologieklassen.
Sei
eine glatte Mannigfaltigkeit und
eine ganze Zahl. Die Gruppe der
-wertigen Differentialcharaktere vom Grad
ist
.
Hierbei bezeichnet
die Gruppe der
-Zykel und die Notation
meint, dass es eine Differentialform
gibt, so dass
![{\displaystyle h(\partial c)=\exp(2\pi i\int _{c}\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab31bcaa6b20f05f306173f9db50b5f37d756851)
für jede glatte Kette
gilt.
Sei
eine glatte Mannigfaltigkeit und
eine ganze Zahl. Die Gruppe der
-wertigen Differentialcharaktere vom Grad
ist
.
Hierbei bezeichnet
die Gruppe der
-Zykel und die Notation
meint, dass es eine Differentialform
gibt, so dass
![{\displaystyle h(\partial c)=\int _{c}\omega \ \mathrm {mod} \ \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f35decab33b4e1209a462b9e55bf19666ebe72)
für jede glatte Kette
gilt.
Man hat eine kurze exakte Sequenz
.
Hierbei bezeichnet
die Gruppe der geschlossenen Differentialformen mit ganzzahligen Perioden und die Abbildung
![{\displaystyle \delta \colon {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to A_{0}^{k+1}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e1985252d415c1bb03dcf11a810e02b28e1fea)
ordnet jedem
die eindeutige Differentialform
mit
zu.
Insbesondere kann man
als Untergruppe von
auffassen.
Sekundäre charakteristische Klassen von Vektorbündeln geben Invarianten in
, die im Fall verschwindender Krümmung sogar in
liegen.
Es gibt einen Homomorphismus
,
dessen Einschränkung auf
gerade der Bockstein-Homomorphismus ist. Er passt in eine exakte Sequenz
.
- Jeff Cheeger, James Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology. In: Lecture Notes in Math. 1167, Springer, Berlin 1985, S. 50–80.
- Christian Bär, Christian Becker: Differential characters. In: Lecture Notes in Mathematics. 2112. Springer, Cham 2014, ISBN 978-3-319-07033-9.