Differentialcharakter

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Differentialcharaktere sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie, der die Kohomologiegruppen verallgemeinert.

Sekundäre charakteristische Klassen, zum Beispiel die Cheeger-Chern-Simons-Klassen von Vektorbündeln, sind Differentialcharaktere. Im Fall flacher Bündel sind diese dann sogar Kohomologieklassen.

ℤ-wertige Differentialcharaktere

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Sei eine glatte Mannigfaltigkeit und eine ganze Zahl. Die Gruppe der -wertigen Differentialcharaktere vom Grad ist

.

Hierbei bezeichnet die Gruppe der -Zykel und die Notation meint, dass es eine Differentialform gibt, so dass

für jede glatte Kette gilt.

ℝ/ℤ-wertige Differentialcharaktere

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Sei eine glatte Mannigfaltigkeit und eine ganze Zahl. Die Gruppe der -wertigen Differentialcharaktere vom Grad ist

.

Hierbei bezeichnet die Gruppe der -Zykel und die Notation meint, dass es eine Differentialform gibt, so dass

für jede glatte Kette gilt.

Kurze exakte Sequenzen

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Korand-Abbildung

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Man hat eine kurze exakte Sequenz

.

Hierbei bezeichnet die Gruppe der geschlossenen Differentialformen mit ganzzahligen Perioden und die Abbildung

ordnet jedem die eindeutige Differentialform mit zu.

Insbesondere kann man als Untergruppe von auffassen.

Sekundäre charakteristische Klassen von Vektorbündeln geben Invarianten in , die im Fall verschwindender Krümmung sogar in liegen.

Bockstein-Homomorphismus

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Es gibt einen Homomorphismus

,

dessen Einschränkung auf gerade der Bockstein-Homomorphismus ist. Er passt in eine exakte Sequenz

.
  • Jeff Cheeger, James Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology. In: Lecture Notes in Math. 1167, Springer, Berlin 1985, S. 50–80.
  • Christian Bär, Christian Becker: Differential characters. In: Lecture Notes in Mathematics. 2112. Springer, Cham 2014, ISBN 978-3-319-07033-9.