Choquet-Integral

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Der französische Mathematiker Gustave Choquet ist der Schöpfer des nach ihm benannten Choquet-Integrals.[1] Im Unterschied zum Lebesgue-Integral, das die Integration auf beliebigen Maßräumen definiert, werden für das Choquet-Integral keine Maße, sondern lediglich Kapazitäten benutzt. Choquet-Integrale benötigt man z. B. in der Entscheidungstheorie, der kooperativen Spieltheorie, der Nutzenstheorie, der Datenverarbeitung (zur Konstruktion von Aggregationsfunktionen).

Sei die Grundmenge, eine nichtnegative reellwertige Funktion und ein Maß. Das Lebesgue-Integral sei wohldefiniert. Dann hat das Lebesgue-Integral folgende Darstellung als Riemann-Integral:

.

Wenn man in dieser Darstellung das Maß durch eine Kapazität ersetzt, hat man bereits die Definition des Choquet-Integrals für nichtnegative Funktionen.

Sei nun eine reellwertige Funktion, eine Menge von Teilmengen von und eine Kapazität. Die Funktion sei messbar, d. h.

.

Dann ist das Choquet-Integral von bzgl. folgendermaßen durch Riemann-Integrale definiert: [2]

.

Für positive reduziert sich dies auf

.

Siehe z. B.[3] Für gilt (Monotonie). Für ist (positive Homogenität).

I.allg. ist das Choquet-Integral nicht additiv, d. h.

Wenn 2-monoton ist, dann ist das Choquet-Integral superadditiv, d. h.

.

Wenn 2-alternierend ist, dann ist das Choquet-Integral subadditiv, d. h. in der letzten Ungleichung gilt .

Diskretes Choquet-Integral

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Siehe z. B.[4] Sei und eine nichtnegative Funktion mit den Werten . Bezeichne die der Größe nach geordneten Funktionswerte, d. h.

.

Da im diskreten Fall das definierende Riemann-Integral zu einer Summe entartet, ergibt sich

;
.

Diskrete Choquet-Integrale sind ein flexibles Mittel zur Aggregation interagierender Kriterien, siehe [4]. In diesem Fall ist eine Menge von Kriterien mit den Ausprägungen . Diese Kriterien sollen durch geeignete Mittelbildung zusammengefasst (aggregiert) werden zu einem (globalen) Kriterium . Das diskrete Choquet-Integral bildet ein solches Mittel:

Durch superadditive (subadditive) können Synergieeffekte (Redundanzeffekte) zwischen den Kriterien berücksichtigt werden.

Einzelnachweise

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  1. Choquet, G. (1953). Theory of capacities. Ann.Inst.Fourier, Grenoble, 131-295 doi:10.5802/aif.53
  2. Denneberg, D. (1994): Non-additive Measure and Integral. Kluwer, Dordrecht
  3. Grabisch, M., Murofushi, T. and M. Sugeno (eds) (2000). Fuzzy Measures and Integrals - Theory and Applications. Physica Verlag
  4. a b Grabisch,M., Marichal,J.-L., Mesiar,R. and E. Pap (2009): Aggregation Functions. Cambridge University Press