Crofton-Formel

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Die Crofton-Formel[1] (auch Cauchy-Crofton-Formel) ist in der Integralgeometrie eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge einer Kurve und ist nach Morgan Crofton benannt.

Die durch definierte Gerade schneidet zweimal, d. h. .

Die Crofton-Formel drückt die Bogenlänge einer ebenen Kurve durch ein Integral über die Zahl der Schnittpunkte mit einer Geraden aus; deren Abstand vom Ursprung sei (Länge des Lots vom Ursprung auf die Gerade) und der Winkel des Lots mit der x-Achse sei (siehe Hessesche Normalform der Geradengleichung). Dann ist ein kinematisch invariantes Maß (invariant unter Drehungen und Translationen der euklidischen Ebene). sei die Anzahl der Schnittpunkte der durch parametrisierten Geraden mit der Kurve. Croftons Formel für die Bogenlänge lautet dann:

Anwendung der Crofton-Formel mit zufälligen Linien

Für eine Schätzung der der Bogenlänge kann eine Monte-Carlo-Simulation benutzt werden: Dabei seien die Zufallsvariablen gleichverteilt im Volumen . sei somit die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Gleichverteilung. Wegen gilt daher nach dem Gesetz der großen Zahlen

wobei die Zahl der gezogenen Stichproben aus dem Volumen sind.

Gerade entlang der x-Achse

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Für festes schneiden nur die Geraden im blauen Bereich die Strecke , d. h. es muss sein.

Die Formel kann plausibel gemacht werden,[2] wenn man als Beispiel für eine Linie der Länge auf der x-Achse betrachtet, mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Croftons Formel ergibt dann:

.

Das kann man mittels Approximation durch gerade Linien auf eine beliebige Kurve übertragen.

Einheitskreisline

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Ein weiteres einfaches Beispiel ist die Einheitskreislinie . Zu jedem schneidet die Gerade mit Abstand die Kreislinie genau für und zwar zweimal für . Daher ist

,

was, wie erwartet, der bekannte Kreisumfang ist.

Einzelnachweise

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  1. Crofton On the theory of local probability. Transactions of the Royal Society, Bd. 158, 1868, S. 181
  2. Adam Weyhaupt, Cauchy-Crofton`s formula, Indiana University