Darstellungsring

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Der Darstellungsring einer Gruppe ist in der Mathematik vor allem in der Darstellungstheorie, aber auch in Algebra, Topologie und K-Theorie von Bedeutung.

Der Darstellungsring einer Gruppe wird definiert als die abelsche Gruppe der formalen Differenzen von Darstellungen, mit direkter Summe und Tensorprodukt als Addition und Multiplikation.

Für endliche oder kompakte Gruppen kann man den Darstellungsring äquivalent definieren als die abelsche Gruppe

die mit komponentenweiser Addition sowie der durch die Zerlegung des Tensorprodukts als direkte Summe irreduzibler Darstellungen als Multiplikation zum Ring wird. Die Elemente von heißen virtuelle Darstellungen.

Seien und zwei Darstellungen einer Gruppe . Die direkte Summe von Darstellungen definiert eine Addition

auf .

Seien und zwei Gruppen mit jeweiligen Darstellungen und dann ist eine Darstellung des direkten Produkts , das Tensorprodukt der beiden Darstellungen. Das definiert einen Homomorphismus

wobei das Tensorprodukt der Darstellungsringe als -Moduln ist. Für erhält man durch Verknüpfung mit dem durch die Diagonaleinbettung definierten Homomorphismus insbesondere eine Multiplikation

.

Äußeres Produkt

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Für jede Darstellung einer Gruppe und jede natürliche Zahl kann man das -te äußere Produkt definieren, welches wiederum eine Darstellung von ist. Dies definiert eine Folge von Operationen

,

die zu einem λ-Ring machen.

Adams-Operationen

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Die Adams-Operationen auf dem Darstellungsring einer kompakten Gruppe werden durch ihre Wirkung auf Charakteren definiert:

.

Sie definieren Ringhomomorphismen und ihre Wirkung auf -dimensionalen Darstellungen lässt sich beschreiben durch

wobei die äußeren Potenzen von sind und die -te Potenzsumme als Summe der elementarsymmetrischen Funktionen in Variablen ausdrückt.

  • Für die zyklische Gruppe ist
,
wobei einer 1-dimensionalen Darstellung entspricht, die den Erzeuger von auf eine -te primitive Einheitswurzel abbildet.
,
wobei der 1-dimensionalen alternierenden Darstellung und der 2-dimensionalen irreduziblen Darstellung von entspricht.
  • Für die Kreisgruppe ist
.
,
wobei der Darstellung entspricht, die eine Diagonalmatrix auf ihren -ten Diagonaleintrag abbildet.

Darstellungsringe kompakter Gruppen

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Im Folgenden sei eine kompakte (z. B. endliche) Gruppe.

Charaktere und Darstellungsringe

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Der Charakter definiert einen Ringhomomorphismus in die Menge aller Klassenfunktionen auf mit komplexen Werten

wobei die zu gehörigen irreduziblen Charaktere sind.

Für kompakte Gruppen wird eine Darstellung durch ihren Charakter festgelegt, demzufolge ist injektiv. Die Bilder von heißen virtuelle Charaktere.
Da die irreduziblen Charaktere eine Orthonormalbasis von bilden, induziert einen Isomorphismus

indem man die Abbildung auf einer Basis aus reinen Tensoren definiert durch bzw. und dann bilinear fortsetzt.

Wir schreiben für die Menge aller Charaktere auf und für die von erzeugte Gruppe, d. h., für die Menge aller Differenzen von zwei Charakteren. Es gilt

Damit gilt also also entsprechen sich virtuelle Charaktere und virtuelle Darstellungen in optimaler Weise.

Da ist die Menge aller virtuellen Charaktere. Da das Produkt zweier Charaktere einen Charakter liefert, ist ein Unterring des Rings aller Klassenfunktionen auf Da die eine Basis von bilden, erhalten wir, wie schon für die Isomorphie

Einschränkung und Induktion

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Sei eine Untergruppe von so definiert die Einschränkung einen Ringhomomorphismus

den wir mit oder bezeichnen. Ebenso definiert die Induktion auf Klassenfunktionen einen Homomorphismus abelscher Gruppen der mit bzw. bezeichnet wird.
Nach der Frobeniusreziprozität sind die beiden Homomorphismen adjungiert zueinander bezüglich der bilinearen Formen und Weiterhin zeigt die Formel

dass das Bild von ein Ideal des Ringes ist.
Analog kann man über die Einschränkung von Darstellungen die Abbildung und über die Induktion die Abbildung für definieren. Mit der Frobeniusreziprozität erhält man dann, dass die Abbildungen adjungiert zueinander sind und dass das Bild ein Ideal in ist.

Falls ein kommutativer Ring ist, lassen sich die Homomorphismen und zu -linearen Abbildungen fortsetzen:

wobei die irreduziblen Darstellungen von bis auf Isomorphie sind.

Mit erhalten wir insbesondere, dass und Homomorphismen zwischen und liefern.

Für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe hat man einen durch Einschränkung definierten Isomorphismus

,

wobei ein maximaler Torus und die auf wirkende Weyl-Gruppe ist.

Darstellungsring des Produkts kompakter Gruppen

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Alle irreduziblen Darstellungen von sind genau die Darstellungen , für die irreduzible Darstellungen von bzw. sind. Dies überträgt sich auf den Darstellungsring als Identität

Sei eine Familie von Untergruppen einer endlichen Gruppe Sei der Homomorphismus, definiert durch die Familie der Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

  • Der Kokern von ist endlich.
  • ist die Vereinigung der Konjugate der zu gehörenden Untergruppen, also

Beziehung zur K-Theorie

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Der Darstellungsring ist isomorph zur algebraischen K-Theorie der Gruppenalgebra:

.

Der Darstellungsring einer kompakten Lie-Gruppe ist isomorph zur äquivarianten K-Theorie des Punktes:

.
  • Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977.
  • Graeme Segal: The representation ring of a compact Lie group, Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques January 1968, Volume 34, Issue 1, pp 113–128