Deflation (Mathematik)

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Deflation bezeichnet eine Technik aus der numerischen Mathematik, mit der eine Matrix in Blockdreiecksform gebracht wird, so dass das Spektrum von gerade die Vereinigung der Spektren der Diagonalblöcke ist.

Deflationsprinzip

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Sei ein Endomorphismus und die zugehörige Abbildungsmatrix. Durch Basiswechsel kann diese Matrix in eine Matrix der Form

mit für und transformiert werden. Für die Spektren gilt

Anstelle des -Eigenwertproblems kann man also die zwei kleineren Eigenwertprobleme

lösen. Diese Methode kann man iterativ fortsetzen.

Deflation durch Ähnlichkeitstransformation

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Theoretische Grundlage

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Sei eine quadratische Matrix und ein Eigenpaar von bestehend aus dem Eigenwert und einem dazugehörigen Eigenvektor . Dieses Eigenpaar kann man beispielsweise durch die Potenzmethode erhalten. Die Matrix wird nun mittels der Ähnlichkeitstransformation

in eine Matrix überführt. Die Transformationsmatrix ist gegeben durch mit , wobei die Einheitsmatrix und ist. Diese spezielle Basistransformation ist eine Householdertransformation. Daher gilt und die Matrix hat die Gestalt

.

Diese Matrix hat dieselben Eigenwerte wie die Matrix . Nun kann man wieder die Potenzmethode auf die Matrix anwenden und erhält so iterativ alle Eigenwerte.

Sei

Durch die Potenzmethode erhält man als Eigenpaar von . Nun berechnet man die Transformationsmatrix . Es ist

,

wobei ist.

Man erhält

und somit

Die Eigenwerte der Matrix

sind und somit ist

  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. 1. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 2002, ISBN 978-3-519-00356-4.
  • Robert Schaback, Helmut Werner: Numerische Mathematik. Vierte vollständig überarbeitete Auflage, Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, Berlin Heidelberg 1992, ISBN 978-3-540-54738-9.
  • Willi Törnig: Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker. Band 1, Springer Verlag Berlin Heidelberg, Berlin Heidelberg 1979.