Diagonaler Schnitt

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Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre ist der diagonale Schnitt eine dem Durchschnitt verwandte Konstruktion, einer Familie von Mengen eine neue, nämlich ihren diagonalen Schnitt, zuzuordnen. Die Elemente des diagonalen Schnitts der Familie sind gewisse Indizes , die ihrerseits wieder gewissen der Mengen angehören. Die hier zu besprechende Begriffsbildung ist daher nur dann sinnvoll, wenn die Indizes selbst als Elemente der Mengen auftreten, daher betrachtet man mit Ordinalzahlen indizierte Mengen von Ordinalzahlen.

Es sei eine Kardinalzahl und eine Familie von Mengen . Dann heißt

der diagonale Schnitt der Familie .

Der diagonale Schnitt enthält genau die Elemente der Diagonalen, die auch in der Relation liegen.

Es mögen die Daten obiger Definition vorliegen. Natürlich ist der Durchschnitt im diagonalen Schnitt enthalten, das heißt, es gilt , denn ist in jeder der Mengen enthalten, so erst recht in , und das ist genau die definierende Bedingung für die Zugehörigkeit von zu .

Setzt man , so ist eine fallende Funktion , wobei für die Potenzmenge steht, das heißt, aus folgt . Nach Definition ist äquivalent zu . Auf dem kartesischen Produkt definiere die Relation und die Diagonale . Dann ist der diagonale Schnitt genau die Menge derjenigen Ordinalzahlen , für die das Diagonalelement in liegt:

.

Die Mitgliedschaft von zum diagonalen Durchschnitt hängt nur von der Mitgliedschaft in den ersten ab. Das wird in der folgenden Formel besonders deutlich:

Um zu demonstrieren, wie der hier vorgestellte Begriff funktioniert, soll folgende einfache Aussage bewiesen werden:

  • Es sei eine Kardinalzahl und für eine Ordinalzahl sei . Dann gilt

Beweis: „“: Ist , so ist , also für alle . Für alle gilt also , daher ist eine Limes-Ordinalzahl.

“: Ist umgekehrt eine Limes-Ordinalzahl, so ist für alle und daher , was genau die definierende Bedingung für ist.

Der diagonale Schnitt findet besonders in der Untersuchung überabzählbarer regulärer Kardinalzahlen Anwendung. Ein Filter auf einer Kardinalzahl heißt normal, wenn er gegenüber der Bildung diagonaler Schnitte abgeschlossen ist, das heißt, ist wieder Element des Filters, wenn alle es sind. So ist etwa der club-Filter auf einer überabzählbaren regulären Kardinalzahl normal. Diese Tatsache wird zum Beispiel im Satz von Fodor verwendet.

Diagonale Vereinigung

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Der zum diagonalen Schnitt duale Begriff ist die diagonale Vereinigung. Ist eine Kardinalzahl und eine Familie von Mengen , so heißt

die diagonale Vereinigung der Mengenfamilie .

Die Definition ist gerade so angelegt, dass gilt.