Diskussion:Äquidistante Hyperfläche

Zu wenig

Dieses Lemma gibt mehr her.

Wo ist die mathematische Behandlung?

Wenn y = f(x)

dann ist die Funktionsgleichung der Äquidistante

 yA = Fa(x,d)

wobei d der Abstand sein soll.

Für d gilt: d² = delta²x + delta²y

Ferner gilt: deltay / deltax = y'

Wer wagt sich an eine korrekte Darstellung? Und kann es am Beispiel einer Parabel nachvollziehen.

Ich suche seit Jahrzehnten nach einer korrekten Beschreibung. --Kölscher Pitter 11:50, 4. Dez. 2006 (CET)

Schönes Beispiel für eine Enveloppe. Die Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{r}$ sei stetig diff'bar und habe einen reguläre Nullstellenmenge (diese ist eine $n-r$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $R^{n}$). Für hinreichend kleines $d>0$ ist dann die Äquidistante $A$ mit Abstand $d$ von $f^{-1}(0)$ die Enveloppe der Sphärenschar ${\big (}S_{d}({\bar {x}}){\big )}_{{\bar {x}}\in f^{-1}(0)}$.

Die Sphärenschar wird durch die Gleichungen

${\begin{matrix}\|x-{\bar {x}}\|^{2}&=&d\\f({\bar {x}})&=&0\end{matrix}}$

beschrieben.

Die Enveloppe hat in jedem Punkt $x\in A$ mit einer der Sphären (parametrisiert durch ${\bar {x}}$) den Tangentialraum im Punkt $x$ gemeinsam. Die Tangentialvektoren $dx\in \mathbb {R} ^{n}$ an die Sphäre $S_{d}({\bar {x}})$ im Punkt $x$ genügen den Gleichungen

${\begin{matrix}(1)&&f({\bar {x}})&=&0,\\(2)&&\|x-{\bar {x}}\|^{2}&=&d,\\(3)&\quad &(x-{\bar {x}})^{T}dx&=&0.\end{matrix}}$

Bei der Enveloppe ändert sich im Allgemeinen auch der Scharparameter ${\bar {x}}$. Damit ergeben sich für die Tangentialvektoren der Enveloppe außer den Gleichungen (1) und (2) mit $d{\bar {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ noch die Gleichungen

${\begin{matrix}(4)&\quad &(x-{\bar {x}})^{T}(dx-d{\bar {x}})&=&0,\\(5)&&f'({\bar {x}})\;d{\bar {x}}&=&0.\end{matrix}}$

Aus (3) und (4) folgt

$(6)\quad (x-{\bar {x}})^{T}d{\bar {x}}=0$

für alle $d{\bar {x}}$ die zu Tangentialvektoren $dx$ im Tangentialraum der Enveloppe korrespondieren, wegen (5) also für alle

$d{\bar {x}}\in \ker f'({\bar {x}})=\left(\operatorname {image} \left(f'({\bar {x}})\right)^{T}\right)^{\perp }.$

Nach (6) ergibt sich daraus

$(x-{\bar {x}})\in \left(\left(\operatorname {image} (f'({\bar {x}})^{T}\right)^{\perp }\right)^{\perp }=\operatorname {image} (f'({\bar {x}})^{T}),$

woraus folgt, dass es $\lambda \in \mathbb {R} ^{r}$ mit

$(7)\quad (x-{\bar {x}})=f'({\bar {x}})^{T}\lambda$

gibt.

Mit (1),(2) und (7) hat man $n+r+1$ skalare Gleichungen für die $2n+r$ Unbekannten $x,{\bar {x}},\lambda$. Unter den gemachten Voraussetzungen definieren diese Gleichungen also eine $n-1$-dimensionale Manngifaltigkeit, die dann gerade die Enveloppe der Sphärenschar -- sprich die Äquidistante ist.

Alternative geometrische Interpretation: Die Vektoren $\left(f'_{k}({\bar {x}})\right)^{T}$ $(k=1,\ldots ,r)$ bilden eine maximale Menge linear unabhängiger Normalenvektoren auf der Mannigfaltigkeit $f^{-1}(0)$ im Punkt ${\bar {x}}$. Damit besagt Gleichung (7), dass der Vektor $(x-{\bar {x}})$ vom Punkt ${\bar {x}}$ zum zugehörigen Punkt $x$ auf der Äquidistanten genau senkrecht auf der Mannigfaltigkeit $f^{-1}(0)$ steht und Gleichung (2), dass der Punkt $x$ den Abstand $d$ von $f^{-1}(0)$ haben soll. --TN 00:47, 29. Sep. 2007 (CEST)

Beispiel Parabel im $\mathbb {R} ^{2}$

Hier ist $n=2$ und $r=1$. Die Gleichungen (1) und (2) lauten:

${\begin{matrix}(1')&\quad &{\bar {x}}_{1}^{2}-{\bar {x}}_{2}&=&0,\\(2')&&(x_{1}-{\bar {x}}_{2})^{2}+(x_{2}-{\bar {x}}_{2})^{2}&=&d\;\end{matrix}}$

und die Gleichung (7) ergibt sich in diesem Beispiel zu

$(7')\quad \quad \left({\begin{matrix}x_{1}-{\bar {x}}_{1}\\x_{2}-{\bar {x}}_{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2x_{1}\\-1\end{matrix}}\right)\lambda .$

Jetzt muss man aus diesen vier skalaren Gleichungen $\lambda ,{\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}$ eliminieren und erhält dann eine Gleichung in $x_{1},x_{2}$ für die Äquidistante. --TN 00:52, 29. Sep. 2007 (CEST)

Beispiel Kreis im $\mathbb {R} ^{3}$

${\begin{matrix}(1a')&\quad &{\bar {x}}_{1}^{2}+{\bar {x}}_{2}^{2}-4&=&0\\(1b')&&{\bar {x}}_{3}&=&0\\(2')&&(x_{1}-{\bar {x}}_{1})^{2}+(x_{2}-{\bar {x}}_{2})^{2}+(x_{3}-{\bar {x}}_{3})^{2}&=&1\\(7_{1}')&&x_{1}-{\bar {x}}_{1}&=&2{\bar {x}}_{1}\lambda _{1}\\(7_{2}')&&x_{2}-{\bar {x}}_{2}&=&2{\bar {x}}_{2}\lambda _{1}\\(7_{3}')&&x_{3}-{\bar {x}}_{3}&=&\lambda _{2}\end{matrix}}$

Aus $(7_{1}'),(7_{2}')$ ergibt sich

$(7'')\qquad (x_{1},x_{2})\parallel ({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2})$

und aus (1b'),(2) erhält man

$(2'')\qquad (x_{1}-{\bar {x}}_{1})^{2}+(x_{2}-{\bar {x}}_{2})^{2}+x_{3}^{2}=1$

Die Bedingungen $(1a'),(7''),(2'')$ definieren einen Torus mit Dicke 1 um den Kreis in der $x_{1},x_{2}$-Ebene mit Radius 2 und Mittelpunkt (0,0,0).

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nur ein thema pro artikel

Jeder Artikel sollte nur eine bedeutung eines worts beschreiben. igel+- 22:08, 18. Jul. 2007 (CEST)

Das kapier ich nicht.--Kölscher Pitter 00:37, 19. Jul. 2007 (CEST)

Abschnitt Äquidistante#Hüllkurve

Ich verstehe den Abschnitt Äquidistante#Hüllkurve im Artikel nicht. Von was soll die Ausgangskurve eine Hüllkurve sein? Welches Verfahren ist gemeint? Etwa das Konstruieren einer Enveloppe? Wenn ja, von welcher Kurvenschar?

Im Abschnitt Diskussion:Äquidistante#Zu wenig ist zum Beispiel gezeigt, wie für hinreichend kleines $d$ die Äquidistante mit Abstand $d$ von der Originalkurve konstruierbar ist, falls die Originalkurve eine Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{2}$ darstellt (hier mit $n=2$ als Beispiel). Da steckt in den Voraussetzungen erst einmal nicht drin, dass diese Untermannigfaltigkeit eine Eveloppe irgend einer Kurvenschar ist. Soll natürlich nicht heißen, dass man bei Bedarf nicht eine passende Kurvenschar findet.

Hm, vielleicht habe ich im Moment auch bloß Tomaten auf den Augen. In diesem Fall wäre es schön, wenn jemand die Tomaten runter nimmt;-) --TN 17:04, 29. Sep. 2007 (CEST)

Über die Tomaten kann man sich ja streiten. Wer sie auf den Augen hat. Ich denke so (und meine mathematische Sprache ist wohl veraltet): Kann man eine Hüllkurve (y = f(x)) mit Geraden erzeugen, dann kann man auch jede beliebige Äquistante zu y = f)x) dadurch erzeugen, indem man zu jeder der dieser Geraden eine Parallele im Abstand d zeichnet. Dann umhüllt die Schar der Parallelen eine Äquidistante zu y = f(x). Ich hoffe, das ist soweit richtig. Mit deinem Programm müsste das ein Klacks sein. Man muss "nur" die bisherige Gerade in die zugehörige Parallele umsetzen. Mit dem Begriff Mannigfaltigkeit bin ich nicht vertraut.--Kölscher Pitter 18:54, 29. Sep. 2007 (CEST)

1) Hm, am Besten nur an eine einfache Klasse von Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ denken: Ist $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{r}$ eine differenzierbare Funktion, so ist die Lösungsmenge $M$ der Gleichung

$f(x)=0\in \mathbb {R} ^{r}$

eine Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$, falls die Jacobi-Matrix $f'(x)$ in allen Lösungspunkten Maximalrang hat (man sagt dann auch, die Lösungsmenge sei regulär). Ein einfaches Beispiel ist $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{1}$ mit $f(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1$. Die Lösungsmenge ist der Kreis mit Radius 1. Die Jacobi-Matrix

$f'(x)=(2x_{1},2x_{2})$

hat Rang eins, da $(x_{1},x_{2})$ Betrag eins hat und damit nicht null werden kann. Also ist die Lösungsmenge $f^{-1}(0)$ eine Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{2}$. Einfach nur an gutartige Lösungsmengen von Gleichungen denken.

Das schöne an Untermannigfaltigkeiten ist, dass sie lokal wie ein verbogenes Geradenstück oder ein verbeulter Ebenenausschnitt (je nach $r$ und $n$) aussehen und dass man (wenn man sich ein bisschen mehr damit beschäftigt) auf ihnen lokal genau wie auf Geradenstückchen oder Ebenenausschnitten rechnen kann. Das Zauberwort heißt hier Kartenabbildung.

Und da es so wichtig ist: Die Menge der Tangentialvektoren $dx$ an $f^{-1}(0)$ in einem Punkt $x$ ergibt sich aus der Gleichung

$0=f'(x)\cdot dx.$

Vorsicht: $dx$ ist nur ein üblicher Bezeichner für einen stinknormalen Vektor, der eben Tangentialvektor heißt. Das hat nichts mit ,,infinitesimal klein´´ oder ähnlichem Schnulli zu tun!

Zum Beispiel ist $dx=(0,1)$ ein Tangentialvektor im Punkt $x=(1,0)$ unseres Kreises, denn es gilt $f'(x)\cdot dx=\left({\begin{matrix}2x_{1}&2x_{2}\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}dx_{1}\\dx_{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2&0\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right)=0$

Mit einem Tangentialvektor $dx$ in einem Punkt $x$ der Mannigfaltigkeit, kann man zum Beispiel die Tangentengleichung in Parameterform

$x_{\text{Tangente}}(t)=x+dx\cdot t.$

aufstellen, die die Untermannigfaltigkeit im Punkt $x$ berührt (kannst du ja mal anhand des Kreisbeispieles nachvollziehen).

2) Jede glatte Kurve wird von ihren Tangenten berührt. Diese Tangentenschar hat somit die Kurve als Enveloppe. Du forderst also nur die Glattheit der Kurve. Parallelverschieben heißt, die Tangente in Richtung der Normale an die Kurve zu verschieben. Aus geometrischer Sicht ist es eigentlich viel zu viel Arbeit, wenn du dann die parallel verschobene Geradenschar und dann die Enveloppe davon bestimmst. Das Ding ist, dass die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen einer Kurve und einem außerhalb der Kurve liegenden Punkt senkrecht auf der Kurve steht. Der Abstand des Punktes von der Kurve ist gerade die Länge dieser Verbindungsstrecke. Wenn du die zur Tangente einer Kurve zugehörige Normale einzeichnest, so steht die gerade senkrecht auf der Kurve. Du brauchst dann einfach nur den Punkt im Abstand $d$ zu markieren um einen Punkt auf der Äquidistanten zu erhalten. Mit der Parallelverschiebung der Tangenten und der Konstruktion der Enveloppe der parallel verschobenen Geraden machst du dir, glaube ich, zu viel Arbeit. --TN 20:21, 29. Sep. 2007 (CEST)

Dein 1) ist vermutlich alles richtig, übersteigt aber meinen mathematischen Horizont. Ich liebe zwar Mathematik, habe aber nur das gelernt, was man in der Technik braucht. 2) Kann ich voll nachvollziehen. Die "Arbeit" ist mir garnicht in den Sinn gekommen. Wahrscheinlich warst du höflich und wolltest nicht "umständlich" sagen. Mir ist natürlich wurscht, wie man zu den Punkten der Äquidistanten kommt. Und da erscheint mir deine Methode als logisch.

Wir sind im Augenblick ja bei Methoden zur grafischen Erstellung. Es gibt im Werkzeugbau Tische mit zweiachsigem Antrieb (X/Y). Die NC-Steuerung erlaubt das Nachfahren aller Kurven, die als Polynom dargestellt werden können. Beim Drahterodieren muss man auf einer "versetzten" Kurve fahren (eben auf einer Äquidistante). Halber Drahtdurchmesser plus Abbrandspalt ist der Abstand. Gäbe es nun ein Polynom für die Äquidistante, dann könnte man dieses eingeben und abfahren und die gewünschte Kurve entsteht automatisch. Es gibt noch mehr Beispiele für die praktische Bedeutung.--Kölscher Pitter 21:16, 29. Sep. 2007 (CEST)

Bild

Schwarz: Funktionsgraph von $y=x^{2}$; Rot: Die Äquidistante mit Abstand 0.25 vom Funktionengraphen; Violett: Kreise mit Mittelpunkt auf dem Funktionsgraphen und Radius 0.25, die Äquidistante ist die Enveloppe der Schar aller solcher Kreise; Hellblau: Strecke in Richtung des Normalenfeldes des Funktionsgraphen, die Endpunkte haben den Abstand 0.25 vom Funktionsgraphen, die Menge aller dieser Endpunkte bildet die Äquidistante; Braun: Tangentenschar an die untere Äquidistante

Hallo, hoffe das rechtsstehende Bild ist okay so. Falls du das möchtest, können wir auch doch ein nichtanimiertes Bild nehmen, in dem einige der Kreise eingezeichnet sind. Bei Bedarf stelle ich das noch rein. Beste Grüße, TN 01:57, 30. Sep. 2007 (CEST)

Hallo, ich bins noch mal. Wollen wir (1),(2),(7) und die alternative geometrische Interpretation mit auf die Seite nehmen? -TN 09:06, 30. Sep. 2007 (CEST)

Klasse Bild. Schlage vor, du fügst deine Mathematische Abhandlung unter der Überschrift "Hüllkurve" ein. Natürlich geht das auch am Schluss unter neuer Überschrift.--Kölscher Pitter 11:44, 30. Sep. 2007 (CEST)

Quarantäne für ein Textstück

Hallo, ich habe den Satz

,,Kann man die Ausgangskurve als Hüllkurve bzw. Enveloppe darstellen, dann kann man mit diesem Verfahren auch dazu passende Äquidistanten erstellen.´´

mal hier auf der Diskussionsseite unter Quarantäne gestellt. Die Begründung dafür habe ich oben im vorhergehenden Abschnitt in Punkt 2) gegeben. Ich hoffe, die Ersatzformulierung im Abschnitt Äquidistante#Hüllkurve ist okay so.

Guter Artikel

Der Artikel ist m.E. auf einem guten Weg. Dennoch meckere ich an: 1) Die 4. Überschrift ist zu lang. Das ist ein stilistischer Einwand. 2) Nicht jeder Leser versteht "Untermannigfaltigkeit des R²". Bitte nicht überfordern. Erstaunlich ist in WP:en gibt es keinen passenden Schwesterartikel. Equidistant wird dort weitergeleitet auf distance. --Kölscher Pitter 10:43, 1. Okt. 2007 (CEST) Vorschlag für Überschrift: schlicht "Allgemeine Betrachtung".--Kölscher Pitter 12:11, 1. Okt. 2007 (CEST)

Guter Artikel ?!? Das ist Schrott...

Ich weiß zwar nicht was das soll, aber im Moment ist das ein fürchterlicher Assoziationscontainer zu allem was entfernt mit dem Lemma zu tun hat. Selbst der Einführungssatz ist Schrott. Eine Hüllkurve berührt Aspekte der Äquidistante. Trägt allerdings nichts zu deren Erklärung bei. Das Gleiche gilt für Enveloppe. Neuschreiben.

Aufräumen

Ich habe erst einmal versucht, ein wenig aufzuräumen und die Anwendungsbeispiele in einem Abschnitt zusammenzufassen. Aus meiner Sicht müsste der Einleitungssatz bei Gelegenheit noch einmal umformuliert werden. --TN 01:42, 2. Sep. 2008 (CEST)

Andere Definition?

Ich bin noch neu in Wikipedia, daher bitte ich von vornherein um Nachsicht, wenn ich Fehler mache.

Die Definition "Eine Äquidistante ist in der Geometrie eine Linie, die in einem konstanten Abstand um eine Bezugslinie herumläuft" finde ich schon zu speziell: 1) Äquidistanten lassen sich nicht nur für Bezugslinien, sondern für beliebige Punktmengen definieren. 2) Diese Definition ist nur im R2 brauchbar; Äquidistanten lassen sich aber in beliebigen Dimensionen definieren. 3) Diese Definition schließt nicht aus, daß eine Äquidistante sich selbst schneidet.

Ich schlage daher eine andere, allgemeinere Definition von Äquidistanten vor. Sie geht von Punktmengen aus und definiert Äquidistanten als geometrische Örter. Ich will versuchen, diese Definition möglichst anschaulich und ohne Formeln zu formulieren:

"Sei G eine beliebige Punktmenge und A der geometrische Ort aller Punkte, die von jedem Punkt aus G einen Mindestabstand d haben; dann ist der Rand dieses geometrischen Ortes A die Äquidistante zu G mit Abstand d."

Dieser Rand läßt sich folgendermaßen definieren: "Ein Punkt R gehört zum Rand von A, falls es in einer beliebig kleinen Umgebung vor R stets sowohl Punkte gibt, die zu A gehören, als auch Punkte, die nicht zu A gehören."

Diese allgemeinere Definition ist für beliebige Dimensionen verwendbar, und die Punktmenge G ist hier in keiner Weise eingeschränkt: sie kann diskret oder kontinuierlich sein, sie kann eine beliebige Mannigfaltigkeit haben - alles ist erlaubt. Der Abstand d muß nur > 0 sein; nach oben ist er nicht beschränkt. Und in dem Raum, in dem das alles stattfindet, muß ein euklidisches Abstandsmaß definiert sein - aber andere Räume interessieren wohl eher nur "abgewandte" Mathematiker <g>... Die "Verallgemeinerung auf Kurven und Flächen im Rn" ist damit überflüssig, die Einschränkung "für glatte Kurven und Flächen" ebenfalls. Man braucht auch keine "stetig diff'bare (ist es wirklich zu aufwendig, dieses Wort auszuschreiben?) Funktion mit einer regulären Nullstellenmenge" mehr. Und wann ist d "hinreichend klein"? Ich nehme mal an, daß hier mit "Sphären" Hyperkugeln gemeint sind. Was ist, wenn die Enveloppe in einem Punkt x der Äquidistanten nicht nur mit einer, sondern mit mehreren dieser Hyperkugeln den Tangentialraum im Punkt x gemeinsam hat?

Diese allgemeinere Definition läßt sich außerdem unmittelbar auf die NC-Technik anwenden: Falls G die Mittelpunktsbahn eines Werkzeugs mit kreisförmigem Querschnitt (z. B. Fräser, Erodierdraht) bedeutet, entsteht durch die Bearbeitung eine Werkstückkontur, die ganz oder teilweise der Äquidistanten zu G folgt. Leider herrscht in der NC-Technik meist die umgekehrte Problemstellung: gegeben ist die Kontur des fertigen Werkstücks, und gesucht sind die entsprechenden Werkzeugmittelpunktsbahnen. Dieses Problem hat in den meisten Fällen keine eindeutige Lösung, obwohl viele NC-Steuerungen dem Benutzer vorgaukeln, man brauche nur die Fräserradiuskorrektur einzuschalten, und schon könne man unvollständige Werkstückkonturen anstelle von Werkzeugmittelpunktsbahnen programmieren. Daß das nicht geht, läßt sich an einfachen Beispielen zeigen.

Durch entsprechende Wahl der Punktmenge G lassen sich auch "unerwünschte" Teile von Äquidistanten ausschließen: - Will man beispielsweise nur die äußere Äquidistante einer geschlossenen Kurve betrachten, so definiert man G so, daß der gesamte Innenraum der Kurve dazugehört: - Will man dagegen nur die innere Äquidistante betrachten, so definiert man G so, daß der gesamte Außenraum der Kurve dazugehört: - Will man beide betrachten, so definiert man G so, daß nur die Punkte auf der geschlossenen Kurve dazugehören:

Einige interessante Eigenschaften von Äquidistanten:

Da die "Elementar-Äquidistante" (= die eines einzelnen Punktes) im R2 ein Kreis, im R3 eine Kugel, in höheren Dimensionen eine n-dimensionale Hyperkugel und damit stetig ist, muß auch die Äquidistante einer beliebigen Punktmenge eine stetige Mannigfaltigkeit sein, da sie durch (mengentheoretische) Durchschnittsbildung von solchen geometrischen Örtern entsteht. (Ihre Topologie kann allerdings von der Topologie von G abweichen, da sie auch von d abhängt.)

Wenn man im R2 die Orientierung der "Elementar-Äquidistanten" als gegen den Uhrzeigersinn verlaufend festlegt, gilt für die Krümmung an jedem Punkt der Äquidistanten K<1/d. Das bedeutet anschaulich, daß eine Äquidistante keine zu scharfen Linkskurven haben kann; für Rechtskurven gibt es dagegen keine Einschränkung. (Würde man die Orientierung der "Elementar-Äquidistanten" als im Uhrzeigersinn verlaufend festlegen, so ergäbe sich K>-1/d, d. h. daß eine Äquidistante keine zu scharfen Rechtskurven haben könnte; für Linkskurven gäbe es dagegen keine Einschränkung.)

Es ist zwar auch eine bemerkenswrte Eigenschaft von Äquidistanten, daß sie mit ihren Bezugslinien (falls es solche gibt) gemeinsame Evolventen haben, aber als Einstiegsbeispiel eher abwegig, finde ich. Vielleicht würde hier ein Verweis auf "Evolvente" ausreichen.

In einfachen Fällen lassen sich aus analytisch definierten Punktmengen G (z. B. Bezugslinien) auch die Gleichungen der zugehörigen Äquidistanten in geschlossener Form berechnen, wie es im vorliegenden Artikel beschrieben wird. Das sind allerdings eher Glücksfälle, denn im allgemeinen sind die erwähnten n+r+1 Gleichungen zwar skalar, aber alles andere als linear, sondern z. B. algebraisch und vom Grad > 4, oder transzendent - oder zwar scheinbar linear, aber vektoriell, was auch nicht viel weiterhilft.

Zum Abschnitt "Hüllkurve": Nicht jeder weiß, daß "Enveloppe" dasselbe wie "Hüllkurve" bedeutet. In einem Wikipedia-Artikel sollte dies klargestellt bzw. durch Verweise unterstützt werden. Die Voraussetzung, daß die Bezugslinie "eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des R2" sein muß, ist überflüssig (s. o.). Und wann ist d "hinreichend klein"?

Gut finde ich die Idee, Äquidistanten als animierte Graphen darzustellen. (Ich vermute allgemein, daß das Potential solcher Animationen für didaktische Zwecke bei weitem noch nicht ausgeschöpft ist.) Außerdem wird hier der Bezug zur NC-Technik (s. o.) deutlich.

Der Befehl "Versetzen" in AutoCAD erzeugt zumindest für geschlossene 2-dimensionale Polygone brauchbare Äquidistanten, wenn man die Systemvariable OFFSETGAPTYPE auf 1 stellt. Für andere Punktmengen ist er dagegen nach meinen Erfahrungen nicht zum Erzeugen von Äquidistanten verwendbar.

Falls gewünscht, bin ich gerne bereit, Beispiele (Bilder) beizutragen. DrBaumeister 02:01, 11. Feb. 2009 (CEST)

Hallo Dr. Baumeister,

1. Das mit der Linie, die im konstanten Abstand um eine Bezugslinie herumläuft, ist wahrscheinlich der Satz, der den Oma-Test bestehen soll.
2. Die Sache mit den stetigen Mannigfaltigkeiten sehe ich kritisch. Nach deiner Definition der Äquidistanten ist bei einem Kreis mit Radius $R>0$ im $\mathbb {R} ^{2}$ die Äquidistante mit Abstand $R$ meines Wissens nach keine stetige Mannigfaltigkeit (Vereinigung des Kreises mit Radius $2R$ und des Nullpunktes).
3. Der Abschnitt "Verallgemeinerung auf Kurven im $\mathbb {R} ^{n}$ sollte einen Gleichungssatz als Berechnungsgrundlage bieten. Diese Gleichungen kann man auch für die numerische Berechnung nutzen. Ich habe mir schon lange vorgenommen, diesen Abschnitt zu kürzen, bin jedoch noch nicht dazu gekommen. (Herleitung durch anschauliche Beschreibung ersetzen.)
4. Dass "für glatte Kurven und Flächen" nicht den allgemeinsten Fall abdeckt, ist klar. Diese Bedingungen sind nur für die dargestellte Berechnungsgrundlage wesentlich.
5. d "hinreichend klein": das ist die Standardformulierung dafür, dass es ein $d>0$ gibt, so dass die Aussage des Satzes stimmt
6. Wenn die Enveloppe in einem Punkt mit mehreren Kugeln gemeinsame Tangentialräume hat, war $d$ nicht hinreichend klein.
7. Du hast insofern recht, als dass bei der Aussage noch eine Voraussetzung fehlt. Ich denke, man muss noch voraussetzen, dass die Untermannigfaltigkeit kompakt ist, um Untermannigfaltigkeiten wie die Nullstellenmenge der Funktion $(x,y)\mapsto x\cdot (1-xy)$ auszuschließen.

Mit freundlichen Grüßen,--TN 17:23, 13. Feb. 2009 (CET)

Am Anfang sollte man zweidimensional bleiben. Das heisst: OMA-gerecht. Danach vielleicht eine Überschrift z.B. "allgemeine mathematische Definition". Dort dann mehrdimensional und verallgemeinert. Hoffentlich nur so mathematisch, dass einige weiterlesen. Als Praktiker beschäftige ich mich schon lange mit dem Thema. Ich freue ich mich auf deine Beiträge.-- Kölscher Pitter 19:57, 13. Feb. 2009 (CET)

Wir basteln uns eine Äquidistante...

Es scheint mir angebracht, in dieser Diskussion inhaltliche und methodisch/didaktische Dinge voneinander zu trennen.

Mit inhaltlichen Dingen meine ich Fragen wie "was ist überhaupt eine Äquidistante?", "unter welchen Bedingungen kann man eine Äquidistante definieren?", "wozu braucht man eine Äquidistante?", "wie kann man eine Äquidistante berechnen?" etc.

Mit methodisch/didaktischen Dingen meine ich Fragen wie "wie erkläre ich einem mathematisch nicht vorgebildeten Leser diese inhaltlichen Dinge am besten?", "welche Reihenfolge ist dabei günstig?", "welche Beispiele sollte man verwenden?" etc.

Zu den inhaltlichen Dingen: Ich denke, wir sind uns zumindest soweit einig, daß eine Äquidistante eine Abbildung einer Punktmenge G auf eine andere Punktmenge R ist, oder? Und daß man einen euklidischen Abstand braucht, um sie zu definieren, oder? Und daß sie in Räumen beliebiger Dimension definierbar ist, oder? (Die Begriffe "Abbildung", "euklidischer Abstand" und "Dimension" sollten mit den entsprechenden Wikipedia-Artikeln verlinkt werden.) Wie sieht es mit den Bedingungen aus, die die Definitionsmenge G erfüllen muß? Ich bin nach wie vor der Meinung, daß es überhaupt keine solchen Bedingungen gibt bzw. geben sollte, während die bisherige Definition "Eine Äquidistante ist in der Geometrie eine Linie, die in einem konstanten Abstand um eine Bezugslinie herumläuft" bereits implizit etliche solche Bedingungen an G enthält (s. u.): 1) man braucht eine Bezugslinie als Definitionsmenge G, d. h. eine 1-dimensionale, stetige Mannigfaltigkeit (kann sie übrigens auch endlich sein, z. B. eine Strecke?) 2) man braucht genau EINE Bezugslinie Das erste Beispiel suggeriert möglicherweise zusätzlich, daß diese Bezugslinie analytisch definiert sein muß. Kann eine Äquidistante sich selbst schneiden? Ich bin der Meinung, daß sie sich selbst zwar berühren, aber nicht schneiden kann. Wenn man mein Anwendungsbeispiel aus der NC-Technik oder das im Wikipedia-Artikel erwähnte aus dem Formenbau betrachtet, wird sofort klar, daß es keine sich selbst schneidenden Werkstückkonturen geben kann. Solche "Selbstschnitte" sind nach der bisherigen Definition und nach dem Berechnungsverfahren über Normalenscharen durchaus möglich, besonders wenn d nicht mehr "hinreichend klein" ist. Definitionen und Rechenverfahren, die nur für "hinreichend kleine" d gelten, helfen aber z. B. in der NC-Technik oder im Formenbau nur wenig. Ein besonders krasses Beispiel: Wenn man als Bezugslinie etwa eine 8 (bestehend aus zwei oskulierenden Kreisen, von denen einer im Uhrzeigersinn, der andere gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird) annimmt, erhält man nach der bisherigen Definition auch für "hinreichend kleine" d "Äquidistanten", die nicht nur sich selbst schneiden, sondern auch sich gegenseitig und die Bezugslinie. Der Begriff "konstanter Abstand" muß also zumindest dahingehend präzisiert werden, daß JEDER Punkt der Äquidistanten von JEDEM Punkt der Bezugslinie den Abstand d einhalten muß. Diese und andere Probleme lassen sich - wenn überhaupt - nur unter großen Schwierigkeiten vermeiden, wenn man den bisherigen differentialgeometrischen Ansatz beibehält. Da er außerdem nicht allgemein genug ist, finde ich, daß er durch einen mengentheoretischen ersetzt werden sollte.

Zu den methodisch/didaktischen Dingen bin ich dem Link auf Wikipedias "Oma-Test" gefolgt. Was da steht, hört sich sehr vernünftig an. Ich habe mir vorgenommen, diesen Test auch tatsächlich an "Oma"-Leuten durchzuführen. Hier steht aber auch: "Eine Verbesserung der Verständlichkeit sollte den Inhalt allerdings weder im Umfang noch in der Tiefe oder Genauigkeit beschneiden." Eine solche Beschneidung sehe ich allerdings in dem bisherigen Definitionssatz "Eine Äquidistante ist in der Geometrie eine Linie, die in einem konstanten Abstand um eine Bezugslinie herumläuft", denn damit werden dem Leser bereits 2 Dinge suggeriert, die nicht unbedingt so sein müssen (s. o.): 1) Es entsteht der Eindruck, daß eine Äquidistante aus nur EINER Linie besteht. 2) Es entsteht der Eindruck, daß man eine Bezugslinie braucht, um eine Äquidistante zu definieren. Ein Leser, der einen Wikipedia-Artikel liest, wird in der Regel außer purer Neugier eine konkretere Motivation (etwa ein konkretes Problem, das er lösen möchte) mitbringen. Wenn er beim Lesen dieses Artikels aufgrund dieser Definition schon den Eindruck gewinnt, daß sein konkretes Problem (z. B. eine Äquidistante für diskrete Punkte oder für eine Fläche) gar nicht unter diese Definition fällt, wird er möglicherweise schon vorzeitig mit Lesen aufhören, ebenso wenn er merkt, daß seine d eben nicht immer "hinreichend klein" sind, oder wenn es zu mathematisch wird, wie "Kölscher Pitter" zu Recht befürchtet.

Mein Anwendungsbeispiel aus der NC-Technik ist vielleicht nicht allgemeinverständlich genug. Wie wäre es mit dem folgenden 2-dimensionalen "do it yourself"-Beispiel für "Oma"-Leute: Man nehme ein Blatt Papier und einen dünnen Stift. Mit diesem markiere man beliebige Punkte, Linien oder Flächen. Dann nehme man einen andersfarbigen dicken, runden Stift (keinen Textmarker!) und ziehe damit alle vorher mit dem dünnen Stift markierten Punkte, Linien und Flächen nach. Dabei entstehen andersfarbige Flächen. Die Ränder dieser Flächen sind dann die Äquidistanten der mit dem dünnen Stift markierten Objekte. Der Abstand der Äquidistanten ist dabei der Radius (= halber Durchmesser) der Spur des dicken Stiftes. Das wäre doch fast schon für die Sendung mit der Maus geeignet, oder? Wer lieber mit dem Rechner arbeitet als mit Papier und Stiften, kann ein Malprogramm benutzen, das dicke runde Malwerkzeuge unterstützt (z. B. die Sprühdose im guten alten Paintbrush).

So simpel dieses "do it yourself"-Beispiel ist, so kann man doch schon einiges mehr daraus lernen als aus der bisherigen Wikipedia-Definition: 1) Äquidistanten müssen durchaus nicht aus nur einer Linie bestehen. 2) Sie sind ihrem Ursprung nach Ränder von Flächen und können sich daher nicht selbst schneiden. 3) Man kann sie für Punkte, Linien und Flächen erzeugen. 4) Ihre Topologie und die Dimension ihrer Mannigfaltigkeit können sich u. U. drastisch von der der Ausgangs-Punktmenge unterscheiden.

Nun zu den Antworten auf meinen Diskussionsbeitrag:

Zum Beitrag von TN vom 13. 2. 2009:

Zu Punkt 2: Deine Kritik ist berechtigt. Man könnte diese singulären Punkte ausschließen, indem man die Definition des Randes verschärft: "Ein Punkt R gehört zum Rand von A, falls es in einer beliebig kleinen Umgebung vor R stets sowohl UNENDLICH VIELE Punkte gibt, die zu A gehören, als auch UNENDLICH VIELE Punkte, die nicht zu A gehören." Der Satz "Die Äquidistante einer beliebigen Punktmenge ist eine stetige Mannigfaltigkeit" ist aber nicht von zentraler Wichtigkeit. Ich könnte auch gut ohne ihn leben.

Zu Punkt 5: Mir ist schon klar, daß das die Standardformulierung dafür ist, daß es ein d>0 gibt, so daß die Aussage des Satzes stimmt. Diese Standardformulierung kommt schließlich in der mathematischen Literatur zuhauf vor. Dem "Oma"-Leser, in den ich mich hier hineinversetzen wollte, ist das aber nicht unbedingt klar. Er wird mit Recht fragen a) wann denn dieses d hinreichend klein ist b) was passiert, wenn dieses d nicht mehr hinreichend klein ist Zur Frage a) hast Du in Punkt 6 eine Antwort (für einen weiteren Fall) geliefert. Es wäre schön, wenn auch der "Oma"-Leser in jedem Fall eine Antwort auf beide Fragen bekäme. Die naheliegende Standard-Antwort auf Frage b) "dann gilt dieser Satz eben nicht" sollte uns stutzig machen und uns zum Nachdenken anregen, ob dieser Satz vielleicht zu speziell ist, ob die Voraussetzung nötig ist, und ob man vielleicht einen allgemeineren Satz findet, der auch für zu große d noch gilt.

Zu Punkt 7: Hier ist mir nicht klar, auf welche Aussage des Artikels und welchen Teil meines ersten Diskussionsbeitrages sich dieser Punkt bezieht.

Zum Beitrag von Kölscher Pitter vom 13. 2. 2009:

Schön, daß sich jemand auf meine Beiträge freut. Meine Definition ist übrigens an keine bestimmte Dimension gebunden; jeder kann sie sich sozusagen in einem Raum der Dimension seiner Wahl vorstellen, ohne falsch zu liegen (ein Drahterodierer im R2, ein Formenbauer im R3, ein Physiker im R4, ein Mathematiker im Rn... soll natürlich keine Wertung sein <g>). Aus Deinen früheren Diskussionsbeiträgen habe ich entnommen, daß Du mit einer Drahterodiermaschine arbeitest, deren Steuerung beliebige Polynome versteht. Eine solche Steuerung ist mir bisher noch nie begegnet. Oder habe ich da was falsch verstanden? Das Thema würde mich jedenfalls interessieren, gehört aber wohl nicht in diese Diskussion. Deswegen würde ich mich freuen, wenn Du außerhalb von Wikipedia per e-mail Kontakt mit mir aufnehmen würdest: drbaumeister@gmx.de.

Hallo Dr. Baumeister,

das Hauptproblem des Artikels ist, dass [Quellenangaben fehlen]. Diesbezüglich ist dumm, dass in der mathematischen Literatur die Äquidistante meist nur für den jeweiligen Anwendungsfall eingeführt wird. Ein ähnliches Problem gibt es auch beim Thema Enveloppe. Dort habe ich dann den folgenden Artikel gefunden: "Pottmann, H. and Peternell M.: Envelopes -- Computational Theory and Applications, in: Proceedings of Spring Conference on Computer Graphics, Budmerice, 2000, 3-23".

Den unangenehmen Einführungssatz des Artikels Äquidistante findet man leider sinngemäß noch am ehesten in den Anleitungen von CAD-Programmen (z.B. hier: [[1]]).

Wenn du also ein Buch von einem anerkannten Autor mit einer allgemeinen Definition der Äquidistanten finden könntest, so wäre das prima. Nach einem Buch mit einer allgemeinen Definition von Enveloppen habe ich auch schon eine ganze Weile gesucht. Ich werde in Zukunft ebenfalls die Augen bzgl. eines Buches über Äquidistanten offen halten (die Themen sind ja eng verwandt).

Mit freundlichen Grüßen, --TN 11:43, 18. Feb. 2009 (CET)

Mein Drahterodierbeispiel: Der Designer wollte einen elliptischen Hohlzylinder haben, der unter 45° geschnitten ist. So entsteht dort ein Kreis, wo man einen zweiten Hohlzylinder dann drehbar andocken kann. Der Zylinder hat natürlich eine Wandstärke. Die Innenkontur ist dann eine Äquidistante zur Außenkontur. Wie vermittelt man das dem Formenbauer? Der kann aus einer etwa 100 mm dicken Stahlplatte die Kontur mittels Angabe der Halbmesser a und b per Drahterodieren herausarbeiten. Sogar mit einer Auszugschräge. Das ganze war also leicht kegelig. Leider war ich nicht dabei. Die Innenkuntur hatte ich im Abstand von etwa 5 mm genau berechnet, damit Kontrollmaße vorhanden waren. Nun ist "Innen" nicht so entscheidend. Was haben die Formenbauer gemacht? Sie haben auch für die Innenkontur eine Ellipse genommen, weil sie festgestellt hatten, dass sich die Werte kaum von meinen Kontrollmaßen unterscheiden. In der Näherung war die Innenkontur also eine kleinere Ellipse. Wie das letzten Endes beim Drahterodieren mit Drahtdurchmesser und Abbrand funktioniert, habe ich leider nie erfahren.-- Kölscher Pitter 12:18, 18. Feb. 2009 (CET)

PS: Dein Malbeispiel ist gut.-- Kölscher Pitter 12:19, 18. Feb. 2009 (CET)

Falsche Information

Ich schreibe zur Zeit eine Seminararbeit zum thema bin mir aber noch nicht ganz sicher ob meine Vermutung stimmt. Deshalb die Frage: Müsste im Abschnitt "Parabel mit Evolvente als Beispiel" im ersten Abstaz bei "Schwarz ist die gemeinsame Evolvente" nicht Evolvente durch Evolute ersätzt werden? Falls dem so sein sollt fände ich es gut wenn jemand der sich sicher ist dies ändert. (nicht signierter Beitrag von The-guzzi (Diskussion | Beiträge) 21:35, 6. Jul 2009 (CEST))

Richtig. Habe es korrigiert.-- Kölscher Pitter 08:47, 7. Jul. 2009 (CEST)

verschobene Frage

tut mir Leid, aber da wo es unter QS stand, wars falsch, nun stehts hier, Grüße --WissensDürster 14:10, 3. Aug. 2009 (CEST)

Ich schreibe zur Zeit eine Seminararbeit zum thema bin mir aber noch nicht ganz sicher ob meine Vermutung stimmt. Deshalb die Frage: Müsste im Abschnitt "Parabel mit Evolvente als Beispiel" im ersten Abstaz bei "Schwarz ist die gemeinsame Evolvente" nicht Evolvente durch Evolute ersätzt werden? Falls dem so sein sollt fände ich es gut wenn jemand der sich sicher ist dies ändert. (nicht signierter Beitrag von The-guzzi (Diskussion | Beiträge) 21:40, 6. Jul. 2009 (CEST))