Diskussion:Ersetzungsaxiom

Keine Funktion!

Die letzte Korrektur ist nicht in Ordnung, denn im Ersetzungsaxiom wird keine Funktion gefordert, sondern ein Term (Ausdruck) mit funktionsähnlichen Eigenschaften. Die vorige Formulierung hat das betont. Die Diskussion wurde auch schon auf der ZF-Seite geführt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 18:41, 30. Sep. 2013 (CEST)

Ersetzungsschema

Ich wäre dafür, den Artikel Ersetzungsschema zu nennen. ZFC ist eine basiert auf Logik erster Stufe und da liefert uns das Ersetzungsschema unendlich viele Axiome und nicht nur eins. --Jobu0101 (Diskussion) 22:31, 12. Dez. 2014 (CET)

Die Einleitung spricht klar von einem Axiomenschema. Es ist dennoch Usus, dieses Ersetzungsaxiom zu nennen, und unter diesem Lemma sollte es daher auch behandelt werden. Außerdem gibt es ja auch eine Verlinkung Ersetzungsschema --> Ersetzungsaxiom. Daher würde ich das Lemma nicht verschieben.--FerdiBf (Diskussion) 23:12, 12. Dez. 2014 (CET)

Die Verlinkung habe ich durchaus bemerkt. Ich wäre nur dafür, es umgekehrt zu gestalten. --Jobu0101 (Diskussion) 23:39, 12. Dez. 2014 (CET)

Ich bin dafür, es so zu belassen, wie es ist. Auch Kunen, Set Theory, spricht von einem Axiom, das er dann "replacement scheme" nent. Im Index steht "Axiom of Replacement". --Digamma (Diskussion) 11:08, 13. Dez. 2014 (CET)

Aber es ist doch gar kein Axiom. Schon der Anfang des Artikels ist falsch, dort wird nämlich behauptet, es sei ein Axiom. Die englische Wikipedia macht es übrigens mal wieder richtig: en:Axiom schema of replacement. --Jobu0101 (Diskussion) 12:03, 13. Dez. 2014 (CET)

Ersetzungsaxiom ist die üblichere Bezeichnung. Damit, dass das in den heute üblichen Ausführungen der Prädikatenlogik ein Schema ist, kann man leben und es ist auch in dem Artikel erläutert, es macht die tradierte Bezeichnung nicht „falsch“/untragbar. Fraenkel hat übrigens auch vom Ersetzungsaxiom gesprochen, war das in geistiger Umnachtung? Wenn man vom Ersetzungsaxiom spricht, sollte man viel mehr von der konkreten Ausgestaltung der Prädikatenlogik im Detail abstrahieren können, je nachdem ist es eben ein Axiom oder ein Axiomenschema. Wenn du zum Beispiel in Grundzüge der Theoretischen Logik von Hilbert und Ackermann schaust, wirst du finden, dass die Prädikatenlogik dort so eingeführt wird, dass du ein solches Schema durchaus als ein Axiom hinschreiben kannst. Der Kalkül bietet dann Regeln, um Prädikate zu substituieren. Dieser Ansatz ist zwar heute unüblich, da für die Modelltheorie nachteilig, aber der Artikel hier beschreibt das Ersetzungsaxiom im Allgemeinen, transhistorisch, und nicht nur ein Ersetzungsschema im engen Rahmen einer bestimmten Konvention. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 12:47, 13. Dez. 2014 (CET)

Okay, danke für die Ausführung. Viele Grüße, --Jobu0101 (Diskussion) 13:56, 13. Dez. 2014 (CET)

Bearbeitungen vom 23. und 24. Dezember 2014

Hallo Chricho,

insgesamt gefallen mir deine Ergänzungen gut. Ein paar Anmerkungen beim ersten Drüberschauen:

• Im Abschnitt "Beziehungen zu anderen Axiomen": Welche anderen Axiome aus dem Ersetzungsaxiom folgen, hängt natürlich von der exakten Formulierung des Ersetzungsaxioms ab. Man muss hier schon sehr mit der Sprache erster Stufe vertraut sein, um direkt zu sehen, dass das E in der Formulierung des Axioms zwar rechtseindeutig, aber nicht linkstotal sein muss, und dass das letztere gemeint ist mit der Formulierung "Erlaubt man, wie in der obigen Formulierung, dass E nicht alle Mengen auf eine weitere abbilden muss". Das könnte man vielleicht klarer sagen. Aber meines Wissens folgt das Aussonderungsaxiom auch dann, wenn man beim Ersetzungsaxiom Linkstotalität voraussetzt. Oder täusche ich mich da? Es ist vielleicht etwas komplizierter.

Auf der andern Seite steht zum Beispiel bei Kunen eine Fassung, bei der nicht die Existenz der Bildmenge, sondern nur einer Obermenge der Bildmenge ausgesagt wird. Hier folgt dann sicher nicht das Aussonderungsaxiom, vielmehr braucht man das Aussonderungsaxiom um die Existenz der Bildmenge zu zeigen.

• Zur "Bedeutung in der Mathematik": Im zweiten Satz steht:

"Ist bekannt, dass $\{(x,y)\mid E(x,y)\}$ oder $\{y\mid \exists xE(x,y)\}$ eine Menge ist (wie es etwa der Fall ist, wenn $E$ als Funktion von einer Menge in eine andere gegeben ist), so genügt das Aussonderungsaxiom, um das Bild von $E$ als Menge zu bilden."

Aber $\{y\mid \exists xE(x,y)\}$ ist doch schon das Bild, oder? In diesem Fall ist gar nichts mehr zu zeigen.

• Nochmal zur "Bedeutung in der Mathematik": Der Hinweis auf Bourbaki, soll ja vermutlich belegen, dass man das Ersetzungsaxiom für einen Großteil der Mathematik nicht braucht (bzw. dass zumindest Bourbaki dieser Meinung war). Dies wird nicht so ganz deutlich. Ich würde auch den Hinweis auf die Borel-Determiniertheit dann eher danach einfügen. Die Argumentation ist ja ungefähr so: "Für den Großteil der Mathematik braucht man das Ersetzungsaxiom nicht. Das zeigt sich schon darin, dass Bourbaki es (zumindest 1949) nicht verwendet. Wenn man genauer hinschaut, findet man aber doch mathematische Aussagen, wie z.B. die Borel-Determiniertheit, die es brauchen.

• Ordinalzahlen und Wohlordnungstypen ohne Ersetzungsaxiom lassen sich, glaube ich, nicht so schnell abhandeln. Wenn nicht mehr jede Wohlordnung isomorph zu einer Von-Neumann-Ordinalzahl ist, dann erhält man eine völlig andere Theorie. Trotzdem ist auf jeden Fall der Hinweis nützlich, dass man natürlich ohne Ersetzungsaxiom Wohlordnungen vom Wohlordnungstyp $\omega +\omega$ angeben kann (und zwar ganz leicht, z.B. 1 < 3 < 5 < 7 < … < 2 < 4 < 6 < … ) Man sollte dann vielleicht deutlicher sagen, dass dies nicht gleichbedeutend ist mit der Existenz der Von-Neumann-Ordinalzahl $\omega +\omega$. Meiner Meinung nach eher schon weiter oben im Abschnitt "Bedeutung zur Konstruktion „großer Mengen“".

Soviel auf die Schnelle. Mehr wahrscheinlich erst nach den Feiertagen. --Digamma (Diskussion) 10:19, 24. Dez. 2014 (CET)

Danke schonmal!

Eine Sache für nun, zur Folgerung des Aussonderungsaxiom: Mit Totalitätsforderung braucht man eben zusätzlich noch die Existenz der leeren Menge. Und das scheint mir allzu sophistisch, zu diskutieren, wo die herkommen kann. Zumindest ohne Unendlichkeitsaxiom fällt es leicht, ein Modell zu konstruieren, in dem Ersetzungsaxiom mit der Forderung nach Totalität gilt, siehe Diskussion:Leere Menge. Zermelo ist in der Veröffentlichung zu ZF etwas vage, was die leere Menge angeht, siehe die Formulierung des Extensionalitätsaxioms.[1] Man könnte vllt. den Satz ergänzen, dass die Version mit totalem E dasselbe zulässt, wenn man die leere Menge separat handhabt. --Chricho ¹ ² ³ 10:43, 24. Dez. 2014 (CET)

• Ich habe jetzt nochmal deutlicher formuliert, auf was für Werke sich Bourbakis Vorschläge beziehen. Ich werde demnächst einmal Bourakis Formulierung von 1954 nachschlagen.
• Wäre vllt. eine explizitere Auflistung der verschiedenen Varianten an einer Stelle sinnvoll? Da könnten neben der Frage nach der Linkstotalität auch die Varianten von Bourbaki und Kunen aufgezählt werden. In dem nun verlinkten Paper von Osius findet sich auch eine Formulierung, die für $E$ nichts fordert, aber dafür nur eine Teilmenge des Bilds garantiert, Jech nennt dies Collection Principle.
• „ist doch schon das Bild, oder?“ Naja, es ist das Bild der Definitionsmenge, ich wollte mich auf die Bildung des Bildes einer Teilmenge der Definitionsmenge beziehen. Was ich ausdrücken wollte, war, dass solang alle Funktionen als „$f\colon A\to B$“ gegeben sind für Mengen $A,B$, man für die üblichen Mengenbildungen ($f(X)$ für $X\subset A$) kein Ersetzungsaxiom benötigt. Vllt. die Notation $f\colon A\to B$ in den Artikel einbringen? --Chricho ¹ ² ³ 23:10, 27. Dez. 2014 (CET)
• Ist es mit der Ordinalzahlarithmetik ohne Ersetzungsaxiom nun esser dargestellt? --Chricho ¹ ² ³ 01:39, 28. Dez. 2014 (CET)