Diskussion:Euklidischer Ring

0 natürliche Zahl

Hallo, in dem Text kommt nicht so ganz heraus, ob bei $\mathbb {N}$ die 0 dabei ist oder nicht. Aus dem Zusammenhang kommt man darauf, dass sie dabei sein muss. Ich würde daher gerne gleich in der Definition $\mathbb {N} _{0}$ schreiben. Was meint ihr dazu? Gruß von -- Wasseralm 21:15, 7. Okt 2005 (CEST)

Deinen Vorschlag finde ich absolut ok.--JFKCom 21:49, 7. Okt 2005 (CEST)

ist schon lange erledigt Wasseralm 21:44, 17. Nov. 2007 (CET)

Doch, da spräche eigentlich schon etwas dagegen, nämlich daß durch die Schreibweise $\mathbb {N} _{0}$ das Vorurteil weitertradiert wird, daß das mit der 0 bei den natürlichen Zahlen irgendwie strittig oder unklar sei. 0 ist eine natürliche Zahl, fertig, aus, ganz besonders wenn algebraische Themen im Zentrum stehen.--2001:A61:20E9:2501:35C9:7BE0:8E06:36B4 22:40, 27. Jul. 2017 (CEST)

Sorry, Widerspruch! So einfach ist es nicht!

$\mathbb {N}$ als Positivbereich von $\mathbb {Z}$ ist viel wichtiger. Z.B. auch bei der Charakterisierung der Nenner bei der Erzeugung der rationalen Zahlen. Abgesehen davon heißen sie »natürliche«, weil sie von Gott gegeben sind und weil die Kinder beim Zählen mit ihnen anfangen. Die Null ist fraglos von allergrößter Bedeutung, wurde aber erst sehr spät erfunden und hat somit als »künstlich« zu gelten.

Den Nicht-Negativbereich $\mathbb {N} _{0}$ braucht man leider auch recht oft. Und ich möchte die zugehörige, schon ziemlich verbreitete Sitte unterstützen, dass $\mathbb {N}$ ohne Suffix (normalerweise) mit $\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{+}=\mathbb {N} _{>0}=\mathbb {N} _{0}\setminus \{0\}=\mathbb {Z} \setminus (-\mathbb {N} )$ gleichzusetzen ist und eben nicht mit $\mathbb {N} _{0}$. Ferner ist $\mathbb {Z} =(-\mathbb {N} )\cup \{0\}\cup \mathbb {N}$. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:26, 28. Jul. 2017 (CEST)

Letzter Teil der Definition nötig?

Hi! Ich sehe den Zusatz $g_{(xy)}\geq g_{(x)}$ in der Definition hier das erste mal. Er taucht auch in keinem meiner Algebra Bücher auf. Gehört das wirklich dahin?

Also $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ ist ganz sicher euklidisch! siehe zum beispiel die entsprechende englischsprachige seite

Hallo Benji104, der Ganzheitsring von $\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})$ sind die Eisenstein-Zahlen! ELW 16:56, 22. Mai 2008 (CEST)

Was soll's?

Solange mir in all diesen mathematischen Konstrukten keiner erklärt, worin deren Zweck (z.B. ein konkreter Anwendungsfall) liegt... finde ich das eher schwach, beziehungsweise in jedem Fall, mehr als nur bedauerlich. -- 88.73.183.4 01:47, 21. Mär. 2009 (CET)

Voraussetzung fuer Division mit Rest

Muss man nicht bei der Definition der Division mit Rest auch g(x) >= g(y) fordern? Sprich: $\forall x,y\in R\;mit\;g(x)\geq g(y)\;\exists q,r:\;qy+r=x...$ (nicht signierter Beitrag von 188.192.239.76 (Diskussion) 03:13, 25. Okt. 2010 (CEST))

Äquivalenz

In meinem Augen ist die Definition von Variante 1 zu der von Variante 2 äquivalent und nicht nur fast äquivalent. Habe ich da einen Denkfehler oder sollten wir das korrigieren? --Jobu0101 (Diskussion) 10:38, 24. Nov. 2012 (CET)

Tatsächlich sind sie äquivalent, nicht nur das: Selbst die dritte Variante ist äquivalent. Gibt es nämlich eine Bewertungsfunktion ohne die $g(xy)\geq g(x)$-Bedingung, kann man die unten erwähnte minimale euklidische Norm konstruieren, die diese Bedingung dann erfüllt. Die Bezeichnung schwächer war also irreführend. Im Übrigen ist Variante 2 auch ohne die Forderung $g(0)=0$ oder mit einer beliebigen anderen Forderung für $g(0)$ äquivalent. Ich habe die Definitionen ein wenig sortiert.

Die vierte Definition hingegen, in der die Bewertungsfunktion Werte in $\mathbb {R}$ haben kann, ist wahrscheinlich nicht mehr äquivalent. Gerade deshalb finde ich eigentlich, dass sie nicht in die Auflistung gehört, weil sie eben nicht Euklidische Ringe beschreibt und ich mir nicht vorstellen kann, dass es ein Lehrbuch gibt, dass so Euklidische Ringe definiert. Für mich wirkt das eher wie ein Spezialfall der Samuel-Euklidischen Ringe, die Samuel in der Arbeit, die ich Einzelnachweisliste aufgenommen habe, beschrieben werden. Das ist aber so speziell, dass ich mir nicht sicher bin, ob es hier hin gehört. --Walfisch5 (Diskussion) 17:04, 28. Mai 2013 (CEST)

Variante 3 und 4 sind eindeutig äquivalent. Die einzige Eigenschaft des Wertebereichs die

benutzt wird, ist die Ordnungsstruktur; die algebraische Struktur von $\mathbb {N}$ spielt in der Definition des euklidischen Rings überhaupt keine Rolle. Deshalb kann man statt $\mathbb {N}$ genausogut irgendeine andere wohlgeordnete abzählbare Menge benutzen und Variante 4 ist gerade so formuliert, dass der Wertebereich eine wohlgeordnete abzählbare Teilmenge des $\mathbb {R}$ bildet, also so, daß der Wertebereich als geordnete Menge zu $\mathbb {N}$ isomorph ist. Deshalb ist auch Variante 4 zu den anderen äquivalent. (nicht signierter Beitrag von Joerg Winkelmann (Diskussion | Beiträge) 21:37, 5. Mai 2023 (CEST))

Brauchen wir wirklich vier Definitionen?

Ich glaube, wir sollten eher eine Definition haben, die weitgehend Standard ist, dann Beispiele anfügen und später noch weitere Möglichkeiten zu definieren aufzeigen. Das erleichtert dem Leser doch die Arbeit, sich durch alle Definitionen durchzulesen um dann bei Variante drei zu erfahren, dass die ersten drei äquivalent sind, um sich dann anschließend zu fragen, nach welcher Variante (ev. 4?) die Beispiele euklidisch bzw. nicht sind. (Und den nicht-kommutativen Ring, der in keine Definiton passte, hab ich ja schon geschoben.) Meiner Meinung nach ist hier ein bisschen Aufräumen angesagt.--Frogfol (Diskussion) 23:55, 10. Okt. 2013 (CEST)

Ja, ich denke auch, dass eine Definition als Hauptdefinition angegeben werden sollte. Aber wenn, dann wahrscheinlich eher 3, bei 4 steht ja schon im Artikel, dass die seltener verwendet wird. -- HilberTraum (Diskussion) 22:23, 11. Okt. 2013 (CEST)

Drei ist auch mein Favorit.--Frogfol (Diskussion) 23:00, 11. Okt. 2013 (CEST)

Ja, eine Hauptdefinition muss her – auch wenn diese diese Diskussion anscheinend eingeschlafen ist. Leider ist mein Favorit gar nicht dabei: 3, aber nur für Integritätsringe. Eine andere Sache: Selbst wenn wir sie von Definitionen zu Varianten herabstufen: sollten die verschiedenen Definition nicht alle belegt werden? GroupCohomologist (Diskussion) 08:09, 14. Apr. 2015 (CEST)