Diskussion:Faulhabersche Formel

Quellen

Der Link zu MacTutor entspricht den Vorgaben von WP:WEB und ist zum Erstellen des Artikels verwandt worden, genau deshalb steht er dort auch angegeben. Das der Link auch an anderer Stelle wie z.B. der Biographie von Faulhaber ist fpr diesen Artikel völlig unerheblich. Es hier noch einmal audrücklich darauf hungewiesen, dass der MacTutor-Link nicht nur rein biographische Angaben zu Faulhaber enthält, sondern sich eben auch mit dessen athematischen Leistungen und dabei insbesondere auch mit der Faulhaber-Formel beschäftigt.--Kmhkmh 23:01, 17. Aug. 2008 (CEST)

Na ja, die wenigen Zeilen in dieser Biografie gehen ja nun wohl kaum über den Artikelinhalt hinaus, nach WP:WEB sollten sie das aber. Aber ich sehe das als Butterpflaster: Es hilft nicht, es schadet aber auch nicht. -- Jesi 23:19, 17. Aug. 2008 (CEST)

Jein, allerdings ist dabei zu bedenken das Weblinks 2 Funktionen haben, sowohl weiterführendene Inhalte im Sinne WP:WEB als auch Belege/Quellen für die Angaben im Artikel selbst.--Kmhkmh 23:57, 17. Aug. 2008 (CEST)

Na ja, man kann ja alles immer so oder so sehen. Wenn ich mir Hilfe:Einzelnachweise ansehe, dann müssen ja Quellen/Einzelnachweise, die schon durch die Literaturangaben abgedeckt sind, nicht noch einmal explizit (sei es als Einzelnachweis oder als Weblink-Quelle) angegeben werden. Ich würde also in diesem Fall hier denken, dass die Angabe der doch recht spärlichen Quelle nicht erforderlich ist bzw. wäre. Aber wie gesagt: Butterpflaster. -- Jesi 05:53, 18. Aug. 2008 (CEST)

Frage

Sollte in diesem Artikel nicht auch erwähnt werden, wie man aus einer Potenzsumme die nächsthöhere berechnen kann? (nicht signierter Beitrag von 82.135.68.62 (Diskussion | Beiträge) 22:54, 25. Feb. 2010 (CET))

Fehler?

Via E-Mail erreichte uns folgende Anmerkung:

… bei den Beispielen zu den Faulhaber-Polynomen ist in den Beispielen bei der Formel zu den Summen ungerader Potenzen,

1 Potenz 11 + 2 Potenz 11 + 3 Potenz 11 + .... + n Potenz 11 =
               (32*N Potenz 6 - 64*N Potenz 5 + 68*N Potenz 4 - 40*N
Potenz 3 + 5*N Potenz 2) / 6

ein Fehler enthalten.

Meines Erachtens müßte die Formel wie folgt lauten:

1 Potenz 11 + 2 Potenz 11 + 3 Potenz 11 + .... + n Potenz 11 =
               (32*N Potenz 6 - 64*N Potenz 5 + 68*N Potenz 4 - 40*N
Potenz 3 + 10*N Potenz 2) / 6

Für das Ergebnis 1 muß die Summe der Operatoren 6 ergeben

(32+68+10)=110; (-64-40)= -104.

Ich bitte um Überprüfung und ggf. Korrektur.

Trifft das zu? Grüße, —Pill (Kontakt) 13:31, 6. Jul. 2012 (CEST)

Ja, die Formel war offenbar an der Stelle falsch. Vielen Dank an den aufmerksamen Leser, --Quartl (Diskussion) 18:53, 6. Jul. 2012 (CEST)

Aktuellen Überarbeitung

Bei der aktuellen Bearbeitung haben sich einige kleinere (meist formatbezogene) Probleme ergeben, die noch behoben werden sollten:

• Die Einleitung ist in dieser Form omaunfreundlich und unnötig formal, die Idee die explizite Formel in Etxra-Abschnitt zu verschieben und nur von einem Polynom zu reden ist allerdings in Ordnung.
• Der Latexabschnitt mit den expliziten Formeln ist mMn. zu breit, eventuell lässt sich das beheben indem man die Produktdarstellungen entweder ganz rauskürzt oderzumindest auf die ersten 3-4 kurzen Fällen beschränkt.
• Die Verwendung der Indexvariablen innerhalb des Artikel ist inkonsistent (i,h).
• Die erste explizite Formel mit Bernoulli Zahl ist mNn. zu lang (Bildschirmbreite), hier sollte man die Formel in zwei Zeilen aufsplitten.
• Die unterschiedlichen "Arten" der Bernoullizahlen sollten am besten in einer Fußnote kurz erläutert werden, dadurch verhindert man Abhängigkeit zu den (sich möglicherweise ändernden) Bezeichnugen im Lemma der Bernoullizahlen

--Kmhkmh (Diskussion) 23:39, 11. Okt. 2012 (CEST)

• Ja, sicher da gibts noch einiges zu tun (und werde ich wohl machen, da ich das ja hier verzapft habe).
• "omaunfreundlich und unnötig formal" ? Das stand doch auch vorher genau so da? (Habe Indizes umbenannt/Artikelweit vereinheitlicht). Ich habe sogar das formale Polynom $P_k(n)$ (was ich zwischenzeitlich dort hatte) wieder entfernt. Na, ich schaue noch mal nach was Du meinen könntest, ....
• Ja, war mir auch klar, ich dachte dass man die Formeln für Exponenten 11 oder 12 ganz rausschmeisst, oder einen Umbruch in der Tabelle macht -- ich lösche ungerne anderer Leute Beiträge wenn sie nicht völlig falsch oder total deplaziert sind. Mal sehen, was ich da mache ...
• Ups, das war ein Anliegen, die Indexvaraiblen konsitent zu haben. Habe ich wohl was übersehen. :)

Hmm .... da waren vorher 3 verschiedene Indizes (k,i,j), und ich nahm an der ursprüngliche Autor wollte die Summationsindizes alle verschieden haben, wenn sie nicht etwas identisches aufsummieren. Daher habe ich dann h, i und j genommen.

Danke für deine präzisen Rückmeldungen, sowas ist ja hier nicht sebstverständlich, aber diese werde ich wohl erst morgen bearbeiten.

Achim1999 (Diskussion) 00:32, 12. Okt. 2012 (CEST)

Was die fehlende Omafreundlichkeit betrifft, die war vorher auch nicht optimal, was allerdings zum Teil auch daran lag dass die explizite Formel, die einiges an mathematischer Notation erzwingt, damals ja noch in der Einleitung stand. Zudem es gab es damals immerhin keinen Allquantor mit Doppelpunkt, so etwas ist für Leute ohne mathematischen Hintergrund oft kaum entzifferbar. Es gibt sogar genug universitäre Mathebücher, die auf derart formale Darstellungen weitgehend verzichten und stattdessen allgemein verständliche Worte oder redewendungen benutzen ("für alle", etc.).--Kmhkmh (Diskussion) 00:51, 12. Okt. 2012 (CEST)

Die Zeiten wo man "Summe über alle Zahlen von" geschrieben hat, haben wir ja schon etwas länger abgehakt (im Sinne von müssen diese Notationsverwendung diskutieren), eventuell bin ich meiner Zeit zu weit voraus, aber einen französischen math. Artikel kann ich wesentlich besser lesen, je weniger Worte und je mehr mathematische Zeichen er hat. Auch bin ich mir sicher daß man dann keine Worte (selbst wenn man französich gut kann) interpretieren muß. Und der Artikel "Faulhabersche_Formel" hat eigentlich einen anderen Adressatenkreis, wie "Wollene Sitzkissen". :-) Achim1999 (Diskussion) 00:06, 13. Okt. 2012 (CEST)

Ich sitze nun an meinem privaten Monitor mit 1400 pixel Breite und alle Formeln passen ohne Scrollen. Daher die Frage: Was sind denn die Richtlinien (in Pixel) für die maximale Artikelbreite?

PS: Nach eine Bemerkung zu deinem Fußnotenwunsch. Das werde ich so nicht machen, sondern schon ordentlich im Text sagen (wie es in mathm. Artikeln üblich ist) machen: In "The Book of Numbers", dort wo die Faulhaber_Polynome behandelt werden, benutzen Conway&Guy gar keine Bernoulli-Notation. Die wird erst direkt anschliessend auf den folgendnen Seiten über Benoulli-Zahlen (zweiter Art) definiert. Die möchte ich aber nicht so übernehmen. Im Artikel Bernoulli-Zahlen habe ich sie aber indirekt (mit Erklärung benutzt) da weiß man auch wie sie motiviert ist. Hier ist es IMHO nur verwirrend und wird als Potenz verstanden -- sprich müßte explizit erklärt werden -- ohne Not selbstverschuldete Verkomplizierung. Falls Du anderer Meinung bist, gucke vorher in diese einzige hier angebene und hierfür nutzbare Literaturreferenz . Achim1999 (Diskussion) 00:27, 13. Okt. 2012 (CEST)

Soweit ich weiß, sollte man im Zweifelsfall von einer optimalen Darstellung auf einem 1024x768-Bildschirm ausgehen. Darüber hinaus ist aufgrund der Vielzahl von Bildschirmauflösungen auf unterschiedlichen Geräten generell es empfehlenswert feste Breiten möglichst gering zu handelten.

Was nun Fußnote bzw. Erklärung im Text betrifft, da besteht kein Gegensatz zur Fußnote, die Fußnote ist für darüber hinausgehende Hinweise, die man im Text als störend empfindet. Hier kann die Fußnote z.B. den Unterschied zwischen erster und zweiter Art explizit nennen, damit muss ein Leser der Bernoullizahlen kennt, aber nicht diese Bezeichnungen, nicht erst im Lemma zu Bernoullizahlen suchen bzw. dieses Lemma hängt bei diesen Bezeichnungsfragen nicht vom Lemma zu Bernoullizahlen ab. D.h. sollten sich dort die Bezeichnungen ändern hätte das keine negativen Auswirkungen auf diesen Artikel.--Kmhkmh (Diskussion) 10:57, 13. Okt. 2012 (CEST)

P.S.: Was die Notation bei Conway/Guy, d.h. die Exponenteschreibweise betrifft, die würde ich hier auch nicht verwenden, aus dem von dir genanntem Grund. Zudem gibt es ja auch andere Schreibweisen in der Literatur, d.h. es liegt kein Grund vor unbedingt diese verwenden zu müssen.--Kmhkmh (Diskussion) 12:02, 13. Okt. 2012 (CEST)

Zur Notation: Irgendwie verstehe ich was Wesentliches nicht: In der aktuellen Diskussion im Mathe-Portal (wo Du ja auch deine Ansicht erläuterst hast) wurde mir doch gerade gesagt, ich darf keine "Lieblings"-Notation verwenden, sondern normalerweise nur die die der Originalautor vorgibt. Er hat eine sehr kurze Literaturliste hier angegeben, nur der erste Eintrag davon ist hier anwendbar, und da fühlte ich mich verpflichtet ein überzeugendes Argument zu finden, mich NICHT an der Originalnotation der Referenz zu halten -- was natürlich noch keine Begründung für eine (von mir subjektiv ausgewählte) andere ist). Leider mit weniger Verständnis (was Notationswahlregel und Abänderungsrecht angeht) als noch vor 12 h verbleibend, wenn Du nun einfach schreibst "Zudem gibt es ja auch andere Schreibweisen in der Literatur". Unter denen darf ich nun doch meine "Lieblingsnotation" auswählen?! Achim1999 (Diskussion) 14:24, 13. Okt. 2012 (CEST)

Habe mir gerade in Ruhe angeguckt, was Du alles im Artikel angestellt hast. Fast alles hätte ich wohl auch so gemacht. :) Die falsche Jahreszahl und Seitenangabe in der Literaturliste wäre mir sicher erstmal nicht aufgefallen. Nur wo ich Bedenken gehabt hätte (und immer noch habe) ist das einfache rauslöschen der Faktorisierung der kleineren Polynome, "nur" weil man so einfach EINE Lösung hat den Artikel auf ca. 800 Pixel Breite zu begrenzen. Da löscht man doch korrekte (wesentliche?) Information nach Gutdünken. Wie ist das zu rechtfertigen? Achim1999 (Diskussion) 14:33, 13. Okt. 2012 (CEST)

Nicht alles was korrekt ist, muss unbedingt in einen Artikel. Die Faktorisierung war mMn. eine nicht unbedingt notwendige Zusatzinformation, auf die man hier gut verzichten kann, denn sie tritt in der eigentlichen Faulhaberformel nicht auf. Der Sinn dieses Abschnittes ist ja einige Polynome und die darin auftretenden Bernoullizahlen explizit anzugeben, nicht aber die Faktorisierung dieser Polynome. Zudem war ein Teil der Faktorisierungen im ursprünglichen Artikel nicht vorhanden, sondern wurde später "willkürlich" eingefügt.--Kmhkmh (Diskussion) 15:00, 13. Okt. 2012 (CEST)

So ich habe nun das Faulhaber-Polynom in explizit in m nachgetragen und nachdem ich selbst ein Blick in die Originalliteratur geworfen habe, wusste ich auch was genau da wirklich von Jacobi bewiesen worden ist. Sprich konnte endlich diesen Absatz der "Historischen Sammlung" aufloesen und inhaltlich zuordnen. Damit bin ich jetzt erstmal fertig abgesehen von Kleinigkeiten die mir noch auf- oder einfallen.

PS: Ach ja, eins noch: in der Sektion "explizte Darstellungen" waren die Gausssche Summenformel und diese quadratische Pyramidalzahlen mit Wiki-Links versehen. Ich weiss aber nicht wie ich das innerhalb einer Math-Ungebung hinbekomme. Achim1999 (Diskussion) 16:51, 15. Okt. 2012 (CEST)

Na dann "uebergebe" ich Dir besser den Artikel, wenn Du so heiss bist bevor das zu Bearbeitungskonflixten fuehrt weil Du es nicht abwarten kannst selbst Hand anzulegen. :) Achim1999 (Diskussion) 17:12, 15. Okt. 2012 (CEST)

Sorry, ich hatte die Zeitstempel nicht beachtet und daher nicht bemerkt dass du noch am editieren warst. Du kannst so etwas übrigens selbst unterbinden, indem du die {{inuse}}-Vorlage setzt, dann sehen andere Autoren auch ohne die Versionsgeschichte zu konsultieren, dass im Augenblick noch jemand am Artikel arbeitet.--Kmhkmh (Diskussion) 18:44, 15. Okt. 2012 (CEST)

Kein Problem. Und Danke für den Tip mit {{inuse}}. Achim1999 (Diskussion) 20:19, 15. Okt. 2012 (CEST)

Allquantor

Ich verstehe nicht weshalb auf einmal ein Allquantor benutz wird in der Einleitung. MMn ist er da auch missbraucht. Man liest jetzt dass fuer alle k ... gilt,... Nijdam (Diskussion) 11:13, 12. Okt. 2012 (CEST)

Hmmm ... er/es sollte sich so auch lesen. Wenn dies aber falsch oder sinnlos ist, dann habe ich dort Mist gebaut. :)

Ich erinnerte mich an meine vorherigen Ueberarbeitung (Artikel Bernoulli-Zahlen) wo hinter den snytaktischen Aussagen (in der selben Zeile) dann (mit n \in \N) geTeXt stand, ich dies bei meiner Totalueberarbeitung des Artikels erstmal so lies, und ein Anderer dies alles mit dem Allquantor vor die Aussage gestellt hat; was ich persoenlich, da syntaktisch besser/genauer (semantik 'mit' entfaellt) bevorzuge und deshalb dann so stehen gelassen habe und DESHALB auch hier dies gleich mit entsprechend umgearbeitet habe. Ich hoffe die Erklaerung ist hinreichend :) Achim1999 (Diskussion) 13:17, 12. Okt. 2012 (CEST)

Ehrlich gesagt weiss ich nicht, was da missbraucht ist -- bitte um Aufklaerung falls Du das noch meinst. Was fehlt in der ersten umgangsprachligen Zeile vor der Formel ist zu sagen was genau denn n und k dort ist. Dies wird durch den Allquantor in der abgesetzen Formel fuer k nachgeholt, und wenn man unterstellt, dass man weiss dass Indizes fuer Summenzeichen aus \Z sind, oder noch einfacher man sieht (rein optisch), das bei dieser "Definition der \Sigma-Schreibweise" n offenbar eine natuerliche Zahl sein soll(te), habe ich mir dies auch noch fuer n zu machen erspart -- es gibt leider Leute die haben eine persoenliche, subjektive Abneigung gegen Quantoren entwickelt. :-) Achim1999 (Diskussion) 13:27, 12. Okt. 2012 (CEST)

Ich hatte da uebrigens vorher stehen:

Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber von D. E. Knuth, beschreibt, wie sich die Summe der ersten $n$ $k$-ten Potenzen

$\forall \,k\in \mathbb {N} _{0}\colon \quad \sum _{i=1}^{n}i^{k}=1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}=P_{k+1}(n)$

mit einem Polynom $P$ in $n$ vom Grad $k+1$ berechnen lässt.

Habe diesen P-Teil dann aber wieder rausgeloescht, da ich den formalen Bezug sonst nicht im Artikel brauche (urspruenlcih war da auch keine formale Polynomsyntax). Achim1999 (Diskussion) 13:34, 12. Okt. 2012 (CEST)

Also ich sehe nicht warum der Allquantor sachlich falsch sein sollte, aber er ist eben überflüssig, d.h. man kan das auch einfach normalsprachlich beschreiben (etwa "für alle natürlichen Zahlen gilt ..."). Das können dann auch Omas lesen die keine Quantoren kennen und zudem kann man auch gleich einfach den Bergiffen der natürlichen Zahlen verlinken.--Kmhkmh (Diskussion) 13:37, 12. Okt. 2012 (CEST)

Ich sehe den Quantor schon als formal falsch, denn dadurch wird das k als lokale Variable in der Formel gebunden, das k vorher und nachher im Text muss als verschieden dazu angesehen werden. Allgemein ist es hier schlechter Stil, im Leittext Formeln, insbesondere aber lange Formeln, zu verwenden, da die Leittexte auch automatisch anderswo in engerer Formatierung eingebunden werden. Könnte hier aber schwierig werden.--LutzL (Diskussion) 13:56, 12. Okt. 2012 (CEST)

Ok, das mit der lokalen Bindung ist natürlich ein Argument, aber die Formel selbst ist ja richtig nur die saubere Einbindung in den Rest des Satzes geht verloren. Das Problem existierte natürlich vor der Einführung des Allquators nicht.--Kmhkmh (Diskussion) 14:08, 12. Okt. 2012 (CEST)

Endlich mal ein Kommentar, der auf das genau eingeht was da steht oder stand. :) Danke, LutzL. Meine Intention der Verwendung des Quantors war (und ist) dem Leser zu sagen: das diese Formel "für alle" k gelten soll (ist bei der Summe trivial, aber wir tun so als sei das links einfach ein funktionaler Ausdruck der von k abhängt). Und da der Quantor genau das leistet, habe ich diese deutschen Worten durch ihn ersetzt. Wenn gar keiner steht (ungebundene Variable) weiß man nicht recht wie man das interpretieren soll. Beispielsweise könnte man sagen: es gibt eventuell einige k , so dass das was Links vom = steht, gleich dem was rechts vom Gleichheitszeichen ist (im logischen Sinne), aber dass muß ja nicht zwingend für alle zulässigen k so sein. Diese Interpretation (die ich nicht will) ist doch nun möglich oder? Und genau so verwende ich den All-Quantor auch bei Formeln die in sprachlichen Sätzen stehen und innerhalb von Fachartikeln auftreten. Da hat niemand mir je vorgeworfen, das k würde nur in der Formel gelten und ein k in diesem Satz wäre dann ein anderes. :-/ (Und dieser Gebrauch ist sehr praktisch, wenn man da mehrere Quantoren hat, also mit Existenzquantoren mischen kann -- sprich das was mit Worten im Satz noch unpräzise formuliert steht, dann klipp und klar formal auf den Punkt bringen und die Variablen die schon sprachlich verwendet wurden genauestens zu definieren. Daher wundert mich nun doch stark, dass Du hier dies behauptest, LutzL. Bin auf deine Erklärung/Lösung des semantischen/syntaktischen Problems gespannt -- und wieso andere dies nie angemosert haben. :) Achim1999 (Diskussion) 20:30, 12. Okt. 2012 (CEST)

Wir lösen hier aber nicht alle Probleme der Welt, und ob Deine Schreibweisen verständlich sind, kläre bitte mit Deinen Mitstreitern bzw. den Reviewern bei der Veröffentlichung. In dieser Form an dieser Stelle ist der Allquantor unnötig und häßlich. Wie gesagt, es wäre besser, in der Einleitung noch etwas weniger formal zu sein und danach als erstes einen formal korrekten definierenden Abschnitt zu haben. Wie das aber bei diesem Thema sinnvoll zu handhaben wäre, ist mir bisher nicht schlüssig, deshalb gebe ich mich mit dem derzeitigen Zustand zufrieden. Indem der Bereich der Parameter ohne weitere Einschränkung angegeben ist, ist deutlich ersichtlich, dass die Formel für all diese k,n gelten soll. Ich würde auch das P_{k+1} wieder rein nehmen, mit identischer Bezeichnung im Fließtext.--LutzL (Diskussion) 22:54, 12. Okt. 2012 (CEST)

"und häßlich" damit hast Du bei mir gerade einen dicken Minuspunkt eingeheimst, was deine Objektivität/subjektivität bei Beurteilungen angeht. Ein Glück, das wir nicht über Notation für andere, sehr praktische Zeichen urteilen müssen. :-/

und was deine pauschale Unnötigkeit angeht, die Du behauptest, die hatte ich denke ich gut als Überdenkenswert dargelegt. Und noch für Dich als Beispiel:

blab, bla ..., somit haben wir für die Charakteristik x bei y Freiheitsgraden in z Dimensionen folgenden Zusammenhang:

$f(x,y,z)=g(x,y,z)\quad x,y,z\in \mathbb {N}$

Daraus sollte man dann sicher nicht schliessen ==> für alle x,y,z gilt die Formel. Ich hätte die notwendigen Quantoren davor gesetzt und damit gezeigt was genau verlangt ist (viele sinnvolle Möglichkeiten das zu interpretieren!) was Du als unnötig abgetan hast.

Das $P_{k+1}$ nehme ich sicher wieder rein, wenn ich es im Rest benutze/brauche. :) Es gibt ja noch mindestens einen inhaltlichen Widerspruch im Artikel den ich klären wollte. Mein Schwerpunkt ist Korrektheit und nicht Belege. ;-) Musste heute hier so viel auf wikipedia erklären, diskutieren daß ich leider nicht zur eigentlichen Artikelarbeit gekommen bin. Sorry. Achim1999 (Diskussion) 23:55, 12. Okt. 2012 (CEST)