Diskussion:Funktion (Mathematik)/Archiv/1

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Affine Abbildung

Da man auch von Abbildung (Mathematik) hierher gelangt, werde ich oben einen Hinweis auf Affine Abbildung setzen, wenn es keinen stört. ;-) -- KL47 (Diskussion) 20:52, 10. Apr 2005 (CEST)

Hat jemanden gestört. Das gehört nach unten, wo auch "lineare Funktion" steht. Besonders übersichtlich ist das da unten nicht, und dass Abbildung (Mathematik) ein redirect ist, ist auch verbesserungsfähig. Aber da oben hat das nichts verloren.-- Gunther 21:34, 10. Apr 2005 (CEST)

Eindeutigkeit

Eine Funktion ist rechtseindeutig (nacheindeutig), und nicht notwendiger Weise linkseindeutig (injektiv). Ich beweise mal den ersten Teil dieser Behauptung und überlasse den zweiten Teil dem Leser zur Übung :-)

Sei $f:A\to B$ eine Funktion und $a\in A$ sowie $b,c\in B$ mit $(a,b)\in f,(a,c)\in f$. Nach der Definition des Begriffs Funktion gibt es für dieses $a$ genau ein $b'\in B$ mit $(a,b')\in f$. Wähle so ein $b'$. Da nun auch $(a,b),(a,c)\in f$ sind muss folglich $b=b'=c$ gelten. Was zu zeigen war. --Sledge 22:37, 28. Okt 2004 (CEST)

Eigenschaften 2 / Zuviel?

Funktionen sind so allgegenwärtig in der Mathematik, dass man von Funktionen her Bezüge zu einem Grossteil der Mathematik herstellen könnte. Dann würde der Artikel hier ausufern. Das hat mich gerade an der Auflistung der Eigenschaften gestört. Ich glaube wir sollten hier nicht alles reinpacken, was man mit Funktionen machen kann. Da kann man auch den "Links auf diese Seite" Link nehmen. --Marc van Woerkom 10:40, 9. Feb 2005 (CET)

@Marc van Woerkom Wie stellst Du Dir die Seite vor, Mache einen Vorschlag zur Gestalltung. --Matthy 11:10, 9. Feb 2005 (CET)

Gute Frage. Entweder kurz und knackig, dann würde ich 4.1 und 6 rausnehmen, oder ausführlich, aber dann müsste man ja noch mehr hier schreiben. Z.B. berechenbare/rekursive Funktionen, usw. usw. --Marc van Woerkom 02:10, 10. Feb 2005 (CET)

Graphische Beispiele Übersicht

ich wär dringend für bebilderte Bespiele, und zwar für eine Übersicht auf dieser Seite die Kombinationen von Eigenschaften von funktionen herausstellen, also Kurven: diffenrenzierbar (ja,nein), konvergent (ja, nein), stetig (ja,nein), beschränkt(ja, nein), monoton (ja, nein)

und dann alle Kombinationen. Wäre für Hilfe dankbar --qwqch 11:15, 9. Feb 2005 (CET)--qwqch 11:32, 9. Feb 2005 (CET)

Dann kriegen einen sehr umfangreichen Artikel. Ist es nicht besser, hier nur wenige Bilder zu machen, z.B.

• Graph Definitionsmenge, Bildmenge, Zuordnungspfeile zwischen beiden Mengen
• Graph einer Funktion (kartesisch)
• Gegenbeispiel: Graph einer Relation, die keine Funktion ist.

Und alle anderen Bilder woanders hin. Nämlich in die Artikel

• Differenzierbarkeit,
• Konvergenz,
• Stetigkeit
• Beschränktheit
• Monotonie
• Mehrdimensionale Analysis oder Funktionen mehrerer Veränderlicher

und nicht alles nochmal hier.

--Marc van Woerkom 02:16, 10. Feb 2005 (CET)

Der Artikel Funktion (Mathematik) sollte als Uebersichtsartikel dienen. D.h. Es wird in einem ersten Abschnitt kurz und knackig erklaert was einen Funktion ist im heutigen mathmatischen Sinne. Dann kann ein kurzer Abschnitt ueber die geschichtliche Entwicklung des mathmatischen Funktionen Begriffes folgen. (Dazu steht hier bis jetzt noch gar nichts). Und der letzte viellciht auch Umfangreichste dient dazu einen gordneten Ueberblick zu geben was es zum Thema Funktionen noch in der Wikipedia gibt. Inbesondere sollten die Artikel die sich mit einer individuellen Funktion (z.B. Gamma-Funktion etc) hier erwaehnt sein. Zur Zeit ist dies als halbwegs geordnete Linkssammlung vorhanden. --Matthy 13:20, 10. Feb 2005 (CET)

Ich muss mal schauen, was unter den anderen Arbeitstieren (z.B. Menge oder Zahl) steht. --Marc van Woerkom 14:59, 11. Feb 2005 (CET)

Differenzierung: Funktion, Abbildung

Abbildung verweist hierher, aber es genügt nicht, Abbildung als Synonym von Funktion zu definieren: niemand würde von der Sinusabbildung oder von Funktionen zwischen Vektorräumen sprechen. Der Sprachgebrauch ist in aller Regel: ist die Zielmenge eine "Zahlenmenge", spricht man von Funktion, sonst von Abbildung.--Gunther 19:07, 27. Feb 2005 (CET)

Ob deine Dfinition so stimmt weiss ich zwar nicht, aber Funktionen bilden immer auf GENAU einen Wert ab (wie im Artikel beschrieben), Abbildungen muessen dieses Kriterium jedoch nicht erfuellen. Ich kann nicht verstehen wieso hier Abbildung und Funktion gemischt in einem Artikel definiert werden.

Tripel-Definition

Also ich finde die Tripel-Definition noch etwas gewöhnungsbedürftig. Wenn ich die Definition richtig verstanden habe, so ist eine Funktion danach ja nicht nur von den Wertebereichen abhängig (diese Motivation hätte ich noch verstanden) sondern auch noch von der Wahl der Relation R. Das heißt, dass zwei Funktionen, zwar den gleichen Graphen sowie Definitions und Wertebereich haben können, aber trotzdem verschieden sind, nur weil sie sich in dem dritten Teil des Tripels unterscheiden. Lediglich die Tatsache, das diese Relation den Graphen enthalten muss und Teilmenge von A x B sein muss, legt diese i.a. nicht eindeutig fest. --Sledge 01:14, 14. Mär 2005 (CET)

Nein, der dritte Teil ist nichts anderes als der Funktionsgraph. Zwei Funktionen mit übereinstimmenden Definitions- und Wertebereichen sowie Funktionsgraphen sind identisch.

Nach der ersten Definition ("Funktion ist Relation") ist die Zielmenge nicht Teil der Funktion, so dass man nicht sagen kann "f ist surjektiv", sondern nur: "f ist surjektiv für den Zielbereich X". Mit der Tripeldefinition gibt es dieses Problem nicht.--Gunther 01:30, 14. Mär 2005 (CET)

Ich glaube, dass ich die Idee der neuen Definition schon verstanden habe, allein aus der Definitionsbeschreibung kann ich das aber nicht herleiten. Dort steht zwar, dass der Graph Teilmenge von R sein soll, dass aber auch R Teilmenge des Graphen sein soll, steht da nicht. Das sollte im Rahmen der Defintion vielleicht noch explizit erwähnt werden. --Sledge 01:40, 14. Mär 2005 (CET)

Ok, habe explizit gemacht, dass R per definitionem der Graph ist. Genügt das?--Gunther 02:00, 14. Mär 2005 (CET)

Naja, den Satz "Eine Funktion ist also durch ihren Graphen..." lese ich mehr als erläuternde Aussage, denn als zur Definition gehörig. Allerdings muss ich zugeben, dass ich mich mit den verschiedenen Definitionen gestern Nacht etwas verzettelt habe. Ich meinte dass es da neben der Relation R noch eine andere Relation f geben würde. Es steht da jedoch sehr deutlich, dass f ein Tripel ist und nicht eine weitere Relation auf A x B. Nach meiner jetzigen Einschätzung ist die Definition völlig in Ordnung. Die Relation R, d.h. der Graph der Funktion f ist genau die Relation die nach der "eine Funktion ist Relation"-Definition Funktion genannt wird. Damit fasst das Tripel in formaler Art und Weise die Teile, Definitionsbereich, Wertebereich und Graph (=alter Funktionsbegriff) zusammen. Da sich der Wertebereich nicht aus dem Graphen ergibt, stellt die Tripeldefinition damit mehr Information explizit zur Verfügung. Zu beachten ist, dass die beiden Definitionen einer Funktion nicht nur einen unterschiedlichen formalen Rahmen geben, sondern Funktionen auch auf unterschiedliche Art und Weise eine Identität vermitteln. So muss man bei der Tripeldefinition z.B. zwischen der Gleichheit zwischen Funktionen und zwischen Graphen unterscheiden. --Sledge 19:48, 14. Mär 2005 (CET)

Letzteres ist gewollt. (Kontext: in der Kategorientheorie müssen Abbildungen "wissen", von wo nach wo sie gehen, sind also sehr wohl verschieden, auch wenn sie denselben Graphen haben. Beispielsweise ist die Inklusion einer Teilmenge von der Identität auf dieser Teilmenge zu unterscheiden.)--Gunther 20:17, 14. Mär 2005 (CET)

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Hallo allerseits,

ich wollte kurz was zum Sprachgebrauch anmerken.

Grundsätzlich von algebraische oder analytische Funktionen zu schreiben, finde ich unpassend, da die Begriffe nicht charakterisierend sind. Es ist zwar so, dass einige Funktionen typischer Weise in den einen oder anderen Bereich erscheinen, aber es ist nicht gängig, Funktionen derart ein zu ordnen.

Z.B. steht unter "analytische Funktion", dass jede Funktion als analytisch bezeichnet wird, wenn es durch eine konvergente Potenzreihe dargestellt werden können. Das gilt grundsätzlich für jede unendlich oft stetig diffenzierbar Funktion mit der Taylorentwicklung (unter gewisse Vorraussetzungen, die hier nicht wichtig sind). Also insbesondere die lineare und affine Abbildungen, Polynome und Wurzelfunktionen, die hier als algebraisch bezeichnet werden.

Dann ist der Begriff "lineare Funktion" fachlich falsch erklärt.

1. linear steht nur in Zusammenhang mit Vektorräume.
2. $f\ \mathrm {linear} \Leftrightarrow f(ax+by)=af(x)+bf(y)$; a,b aus dem Grundkörper; x,y aus dem Raum.
3. Nur eine lineare Funktion auf einem Tupelraum ($\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n},...$) lässt sich Matrixprodukt darstellen ($f(x)=Mx$). Über andere lineare Räume ist das zwar prinzipiell ähnlich aber nicht direkt in dieser einfachen Darstellung möglich.
4. Homomorphismen werden allgemein über Monoiden bzw. Gruppen erklärt und werden nur bei Vektorräume linear genannt.

--62.143.23.46 22:23, 23. Mai 2005 (CEST)

(Unterschrift nachgetragen von Gunther 22:45, 23. Mai 2005 (CEST))

Algebraische und analytische Funktionen sind Fachausdrücke. Algebraisch bedeutet, eine algebraische Gleichung zu erfüllen. Analytisch bedeutet, lokal durch eine Potenzreihe beschreibbar zu sein. Das ist wesentlich stärker als $C^{\infty }$, Standardgegenbeispiel $\mathrm {e} ^{-1/x^{2}}$ und Derivate. Auf welchen Artikel beziehst Du Dich mit den Punkten 1-4?--Gunther 22:45, 23. Mai 2005 (CEST)

das mit analytisch ziehe ich zurück. vielleicht ist es wohl eine bezeichnung, die beim uns nicht mehr gepflegt wird. wir haben keine bezeichnung für den fall gehabt, dass die f gleich dem Taylorentwicklung ist.

die punkten 1-4 beziehen sich darauf, wie der begriff "lineare funktionen" an der stelle verwendet wird. Es ist irre führend von f(x)=mx und homomorphismus bzgl. der addition zu schreiben. Und eine lineare abbildung ist eben nicht per se eine matrix

Der Artikel beschäftigt sich ja ohnehin i.w. mit dem Spezialfall reeller Funktionen einer Veränderlichen. Und dass lineare Funktionen Homomorphismen bezüglich der additiven Gruppenstruktur sind, ist entbehrlich, aber nicht falsch. Sie sind natürlich auch Vektorraumhomomorphismen, aber auch das finde ich nicht erwähnenswert. Ich kann in dem Artikel keine Erwähnung einer Matrix finden.--Gunther 23:26, 23. Mai 2005 (CEST)

es ist ja auch nirgends erwähnt, dass man im reellen befindet, also ist der begriff linear fehlt am platz. außerdem ist es eben falsch, wenn einer schreibt "homogene lineare Funktion: allgemein beschrieben durch f(x) = m·x", das geht nur in bestimmten räume. ein integral kannst du ja auch nicht als produkt darstellen und ist trotzdem linear.

Ok, d.h. wenn man klarmacht, dass es ausschließlich um reelle Funktionen geht, ist alles in Ordnung?--Gunther 23:38, 23. Mai 2005 (CEST)

definiert entweder linear richtig, oder weis daraufhin, dass alles reell ist, sonst ist es irre führend. grüße und schön abend noch

Ich frage deshalb so blöd, weil diese Klärung im Artikel mehr Arbeit ist und ich wissen wollte, ob ich noch mehr beachten soll. Dir auch noch einen schönen Abend.--Gunther 00:01, 24. Mai 2005 (CEST)

ich habe nach geguckt. bei uns wird analytisch als holomorph bezeichnet, bzw. beides ist ja äquivalent und bei uns hat sich holomorph durch gesetzt. deswegen habe ich mich auch gewundert, da ja eben für jede holomorphe funktion den entwicklungssatz gilt.

ich entschuldige mich dafür, dass ich zu erst bisschen unfreundlich gewesen bin. aber ich habe mich schon sehr gewundert.

vielleicht sollte das insbesondere bei analytische_Funktion erwähnt werden. denn je nach der art der einführung in die funktionstheorie ist eher der einen oder der anderen begriff üblich.

zu thema algebraische funktionen, vielleicht soll der ausdruck in algebraischen gleichungen / ~ ausdrücke geändert werden. das ist eher geläufiger.

--Box 15:03, 24. Mai 2005 (CEST)

Das Bild zu "lineare Funktion" ist ja wohl auch falsch, was dort Abgebildet ist würde man vielleicht "affin lineare Funktion" nennen. In jedem Fall keine lineare Abbildung $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Abbildung = Funktion ?

Laut wikipedia (Dieser Artikel + das redir von Abbildung) gibt es keinen Unterschied zwischen Abbildungen und Funktionen. Ist das wirklich so oder gibt es hier kleine aber feine Unterschiede bzw. gewissen Konventionen wann welche Begriff verwendet wird ? Ike lern gerade für mein Mathevordiplom und im Skript meines Profs gibt es einen Unterschied, ich versuche ihn mal genauer herauszuarbeiten, ganz klar steht es dort leider auch nicht. -- Max Plenert 10:00 17.08.2005

der satz "Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet." ist korrekt. oft werden "abbildung" und "funktion" synonym verwendet. manchmal werden funktionen nur als TM der abbildungen angesehen, naemlich dann, wenn man bei "abbildung" nicht linkstotal (siehe relation (Mathematik)) vorausgesetzt. man spricht dann auch manchmal von "partiellen funktionen". --seth 10:18, 17. Aug 2005 (CEST)

Üblicherweise hat eine Funktion Zahlen als Werte, während bei einer Abbildung der geometrische Aspekt im Vordergrund steht. Z.B. würde ich formulieren: Eine reellwertige Funktion ist dasselbe wie eine Abbildung in die Zahlengerade. Hilft das?--Gunther 13:36, 20. Aug 2005 (CEST)

So hab ich das in meiner Mathevorlesung gelernt: Eine Abbildung heißt Funktion, falls D(A)=Wf=R (oder ähnlich) --Anonym

Ich habe es so gelernt: Reellwertige und komplexwertige Abbildungen nennt man Funktionen. Hab mal durch ein paar gebräuchliche Analysisbücher geblättert: Königsberger verwendet Funktion nur für komplexwertige Abbildungen, Forster definiert Funktion sogar so. Heuser verwendet die Begriffe synonym. Anscheinend keine Einigkeit. Schade, es wäre eine hilfreiche Unterscheidung. --Blutfink 23:39, 29. Jun 2006 (CEST)

Darstellung von Funktionen

Mir stösst die Formulierung im zweiten Absatz des Abschnittes über "Darstellung von Funktionen" etwas komisch auf. Mir bleibt irgendwie der Eindruck, dass das nicht so ganz neutral formuliert ist. Hinterlassen nur bei mir die Ausdrücke "unmathematische Pedanterie" und "Pseudopräzision" einen negativen Eindruck? Mal abgesehen davon, dass je nach gewählter Definition von Funktion, die Aussage über die eindeutige Zuordnung von Funktion und Graph sogar falsch ist. Gerade bei der Definition von Surjektion zeigt sich, dass es Situationen gibt, wo eben der Graph nicht alle Informationen enthält, die man gerne dabei haben möchte.--UrsZH 13:03, 14. Sep 2005 (CEST)

Ich habe den Absatz rausgenommen (die seltsame Verwendung des Wortes "isomorph" entbehrt nicht einer gewissen Selbstironie).--Gunther 13:19, 14. Sep 2005 (CEST)

N-Stellige Funktion

Es fällt unter "Eigenschaften von Funktionen" der Begriff zweistellige Funktion. Kann jemand gut erklären was genau darunter zu verstehen ist.

Danke Philipp

Das ist ein Begriff, der hauptsächlich in der Informatik und der Logik benutzt wird, das gehört nicht in diesen Artikel. Wenn Du Dich für den Informatik-Aspekt interessierst, dann frag' lieber mal bei Portal Diskussion:Informatik nach, ob da jemand einen Artikel schreiben will.--Gunther 22:22, 22. Sep 2005 (CEST)

Vorschlag für ein Bild

Habe für mich folgendes Bild beim Lesen gezeichnet. Bitte dringend um VALIDIERUNG durch einen versifizierteren USER als ich. Anregungen und Korrekturen bitte an Talos 16:26, 29. Okt 2005 (CEST). Datei:Fuktion.png

Auf der linken Seite sollte nur ein Bereich sein, jedes Element der Definitionsmenge hat ein Bild. Bei der Verbindung der beiden Seiten sollte eher $f$ und $f^{-1}$ stehen statt $f(x)$ bzw. $f^{-1}(x)$. Man könnte noch irgendwie deutlich machen, dass $y_{4}=f(x_{4})$ ist.--Gunther 19:10, 4. Nov 2005 (CET)

Damit zusammenhängend: Alle Werte müssen in der Bildmenge liegen.--Gunther 19:12, 4. Nov 2005 (CET)

Und wenn ich das Bild (wie geschehen) auf eine vernünftige Größe verkleinere, kann man nicht mehr viel erkennen.--Gunther 19:13, 4. Nov 2005 (CET)

vielleicht hilft ja noch relation (mathematik). dort wird zwar z.b. nicht der unterschied zwischen zielmenge und wertemenge erklaert, aber immerhin sind da grafiken und ein paar weiter infos, die fuers verstaendnis dienlich sein koennten.--seth 01:32, 5. Nov 2005 (CET)

Wenn das verbesserte Bild oben als passabel geht, kann es in den Artikel verschoben werden. Talos 15:55, 6. Nov 2005 (CET)

Zwei Tippfehler: "heiss" "Funktioswert". $f^{-1}$ sollte vom Bild, nicht von der Zielmenge ausgehen. (Im Text zum Bild sollte man noch erwähnen, dass es $f^{-1}$ nicht immer gibt.) Richtungspfeile bei $f$ und $f^{-1}$ wären vielleicht auch sinnvoll.--Gunther 20:44, 6. Nov 2005 (CET)

Surjektivität

Ich habe gelernt, eine Funktion ist nur dann eine Funktion, wenn jedes Element des Wertebereichs genau ein Urbild hat und nicht nur mindestens eines. In einer Relation ist das wohl möglich. Sicher mindestens eines ist auch eins. Aber vielleicht kann ein Mathematiker das präzisieren. Jeb

Bei einer (allgemeinen) Funktion hat jedes Element des Definitionsbereiches genau ein Bild.--Gunther 20:25, 2. Jan 2006 (CET)

Zielmenge, Wertemenge

Wir haben in der Schule gelernt, daß das, was im Artikel (und von uns) als B bezeichnet wird, hier aber Wertemenge heißt, richtig Zielmenge heißt, und daß es vielmehr auch noch eine Wertemenge W (wobei manchmal das W noch einen zusätzlichen Strich erhält, wie manchmal auch D; so wie N, Q, R ihn immer erhalten) gibt. Diese Wertemenge ist definiert als {f(x)|x ist Element von A} (habe das Element-Zeichen nicht im Computer. Was ist denn da nun richtig? --84.154.89.37 22:39, 12. Jan 2006 (CET)

Beides ist richtig, die Bezeichnungen sind uneinheitlich. Es gibt die eindeutigen Namen Zielmenge und Bildmenge. Ich habe die verbliebenen Verwendungen von "Wertemenge" im Artikel eliminiert.--Gunther 22:50, 12. Jan 2006 (CET)

Abschnitt „Definition“ – partielle Funktion

"...es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion."

Der letzte Satz ist total verwirrend.. Ich wuerde ja sagen falsch, aber vielleicht kann ich meinen Verstand auch grade nicht genug verbiegen ;-)

hier definiert vs. in diesem Kontext ist jedenfalls unnoetig komplex. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 212.202.42.68 (Diskussion • Beiträge) 17:26, 14. Feb. 2007)

Ich habe es umformuliert und hoffe dir damit geholfen zu haben. Nichtsdestotrotz war die ursprüngliche Formulierung korrekt. --Stefan Birkner 18:07, 14. Feb. 2007 (CET)

Cool, das ging ja schnell - so kann mensch das verstehen ohne erst nachzugucken was gemeint ist. --212.202.42.68 18:47, 14. Feb. 2007 (CET)

Definition

In der Definition ist unter anderem folgender Satz zu finden:

"Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet."

Das heißt, dass eine Funktion per Definition bijektiv ist. Dann würde aber die explizite Definition von Injektivität/Surjektivität keinen Sinn machen oder? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 84.160.240.70 (Diskussion • Beiträge) 07:41, 4. Jun. 2007)

Nein das heißt es nicht. Betrachte beispielsweise die Funktion $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ mit $f(x)=x$. Diese Funktion ist nicht surjektiv. Andererseits kann auch ein y-Wert mehreren x-Werten zugeordnet werden, wie es beispielsweise bei der Sinus-Funktion der Fall ist. --Stefan Birkner 08:34, 4. Jun. 2007 (CEST)

Funktionen als Strukturen

Mir scheint, der Abschnitt "Funktionen als Strukturen" liefert keine nützliche Information und verwirrt nur. Sind andere Leser derselban Meinung? Sollte man diesen Abschnitt einfach streichen? Hanfried Lenz.

ich bin der gleichen meinung. allerdings sollten mehrdimensionale funktionen schon erwaehnung finden. -- seth 10:56, 27. Sep. 2007 (CEST)

Ja, die Überschrift ist ganz schlecht, und der Inhalt nicht so gut formuliert. Dass aber Tupel, Matrizen, Folgen und Familien naheliegende Beispiele für Funktionen sind, halte ich schon für erwähnenswert (als Kontrast zu der Standardvorstellung, die man bei reellen Funktionen hat). Gruß, Wasseralm 20:01, 27. Sep. 2007 (CEST)

Das Thema wird in Familie (Mathematik) behandelt.--Digamma 18:32, 6. Nov. 2007 (CET)

Definition (Abbildung)

Folgende Definition zum Thema Abbildung bzw. Funktion wurde mir in der Mathematik Vorlesung auf der UNI vermittelt, vielleicht bringt das ja den ein oder anderen weiter.

Definition (Abbildung):

M und N seien Mengen. Eine Teilmenge $f\subseteq M\times N$ heißt eine Abbildung von M in N, wenn es zu jedem $x\in M$ genau ein $y\in N$ gibt mit $(x,y)\in f$. Ist $(x,y)\in f$, so heißt y auch das Bild von x unter der Abbildung f.

Man schreibt y=f(x)

M heißt Definitionsbereich von f.

N heißt Wertevorrat von f.

Die Menge $\{y\in N\;|\;{\text{zu }}y\in N{\text{ gibt es ein }}x\in M{\text{ mit }}y=f(x)\}$ heißt Wertebereich von f.

Eine Abbildung von M in N ist festgelegt, durch M, N und durch die Vorschrift, wie jedem $x\in M$ das $y\in N$ mit $(x,y)\in f$ zugeordnet ist.

Man schreibt $f:M\to N,x\mapsto f(x)\qquad (f(x)=\ldots )$

(Sind M und N Zahlenbereiche, so nennt man eine Abbildung auch eine Funktion)

--Lillilotte 16:16, 14. Dez. 2007 (CET)

Von oben verschoben

Ich halte den gesamten Artikel in seiner jetztigen Form für problematisch. Jedenfalls knistert es an einigen Stellen gewaltig, weil "Abstrakte Mathematik" und "Spezielle Mathematik" gegenläufige Prozesse sind. Sonst wären solche Patzer, das Monotonie bei Komplexen Funktionen wichtig sei, nicht passiert. Man sollte es ganz anders machen: Abbildung von Funktionen deutlich trennen, reelle von komplexen Funktionen trennen und die speziellen Funktionen sind schließlich ein Spezialfall der komplexen Funktionen.

Skraemer, 20.2.2006

Monotonie bei komplexen Funktionen? Wo steht das? Man kann Abbildungen und Funktionen nicht scharf trennen, wenn Du das anders siehst, dann gib bitte genaue Definitionen an. Es gibt auch spezielle Funktionen, die keine komplexen Funktionen sind oder deren komplexe Fortsetzungen zumindest wesentlich weniger wichtig sind (das gilt für viele der unvollständigen Integrale).--Gunther 02:25, 21. Feb 2006 (CET)

Es steht: "Eigenschaften, die in der reellen *und komplexen* Analysis von Interesse sind [...] Monotonie". Sorry, aber du bekomst in der Mathematik nicht alles unter einen Deckel, deshalb sind bisher auch alle Versuche zur Vereinheitlichung gescheitert. Es ist ratsam, den Abbildungsbegriff i.A. nicht übermäßig zu strapazieren. Es ist nur heiße Luft... Bei welcher komplexen Funktion ist die Fortsetzung weniger wichtig? Skaemer, 22.2.2006, 0:19

Monotonie: Ich würde das als ein einschließendes "und" lesen, ansonsten spielt Monotonie reeller Funktionen sicherlich auch in der komplexen Analysis eine gewisse Rolle. Ein Beispiel einer "speziellen Funktion", deren komplexe Fortsetzung mir bislang nirgendwo begegnet ist, ist der Integrallogarithmus.--Gunther 00:41, 22. Feb 2006 (CET)

Ich glaube, der Schreiber hatte kurzzeitig nicht daran gedacht, daß es im Komplexen keine Monotonie existiert. Nach Betragsbildung ist alles reell, aber das ist nicht das Wesen einer komplexen Funktion. Beim Integrallogarithmus spielt natürlich die Fortsetzung in die linke Halbebene eine wichtige Rolle. Da aber viele Lehrbücher im Abbildungs-Kram regelrecht ersticken, kommen sie garnicht erst bis zum Integrallogarithmus, dieser ist im Buch von Niels Nielsen "Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten" ausführlich dargestellt. Auf der Seite http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html kannst du schöne Bildchen der fortgesetzten Funktion zeichnen.

Nein, ich glaube nicht, dass der Schreiber das meinte. Ich glaube vielmehr, dass er irgendwie kurz ausdrücken wollte, dass diese Eigenschaften im Gegensatz zu den vorgenannten gewisse Zusatzstrukturen auf Definitions- oder Zielmenge erfordern. Eine Aufteilung in "Eigenschaften, die für die reelle, nicht aber die komplexe Analysis von Interesse sind" usw. fände ich jedenfalls albern.

Wenn der li kein gutes Beispiel ist, biete ich: Hyperbelfunktionen (wenn es um komplexe Argumente geht, werden stattdessen die entsprechenden Kreisfunktionen verwendet), die Gauß-Glocke bzw. die Fehlerfunktion (die man natürlich komplex fortsetzen kann, aber die Hauptbedeutung liegt in der reellen Funktion).

Mir ist immer noch nicht klar, was Dich am Begriff "Abbildung" stört.--Gunther 11:46, 22. Feb 2006 (CET)

OK. Am Begriff der "Abbildung" selbst ist nichts störend. Meine Bedenken haben mehr Didaktische bzw. mathematisch-philosophische Gründe: er kann für den Lernenden den Blick auf das wesentliche versprerren. Hierzu ein schönes Zitat von Peter Henrici aus dem Vorwort seines Buches "Elemente der numerischen Analysis":
"Die moderne Einstellung, den Kursus über die klassische Gleichungstheorie durch den Kursus Lineare Algebra zu ersetzen, hatte die sonderbare Folge, daß ... die Studenten jetzt weniger mit den elementaren Eigenschaften der komplexen Zahlen vertraut sind, als sie es früher waren."

Und Zdzislaw Alexander Melzak (*1926) schreibt:
"It is downright sinful to teach the abstract before the concrete."

Das mag ja alles so sein, aber Wikipedia ist doch kein Lehrbuch! Als möglichst universelles Nachschlagewerk sollte es m.E. alles enthalten, was zum jeweiligen Begriff von Interesse ist. Zum Thema Abbildung fehlt jedenfalls noch viel. --S. Goette 15:17, 8. Jan. 2008 (CET)

Schließlich schreibt Donald Ervin Knuth:
The course title "Concrete Mathematics" was originally intended as an antidote to "Abstract Mathematics", since concrete classical results were rapidly being swept out of the modern mathematical curriculum by a new wave of abstract ideas popularly called the "New Math". Abstract mathematics is a wonderful subject, and there's nothing wrong with it: It's beautiful, general and useful. But its adherents had become deluded that the rest of mathematics was inferior and no longer worthy of attention. The goal of generalization had become a fashionable that a generation of mathematicians had become unable to relish beauty in the particular, to enjoy the challenge of solving quantitative problems, or to appreciate the value of technique. Abstract mathematics was becoming inbred and losing touch with reality; mathematical education needed a concrete counterweight in order to restore a healthy balance.

Sinus = Transzendent?

Hallo, warum sind Sinus & Co. transzendente Funktionen? Sie lassen sich doch mit den vier Grundrechenartenarten konstruieren, nämlich am Einheitskreis (Gegenkathete / Hypothenuse) bzw. aus der Reihenentwicklung (Addition von Potenzen mit Fakultäten als Koeffizient). --DB1BMN 17:31, 28. Mär 2006 (CEST)

Die Reihenentwicklung erfordert einen Grenzübergang, der einen transzendenten Vorgang darstellt. Am Einheitskreis muss man von der Bogenlänge zum jeweiligen Punkt gelangen, und dafür braucht man schon Sinus und Kosinus. Transzendenz bedeutet hier im wesentlichen, dass die Funktion keiner algebraischen Gleichung mit Polynomen als Koeffizienten genügt. Beantwortet das Deine Frage ausreichend?--Gunther 17:40, 28. Mär 2006 (CEST)

Zu Deiner ersten Frage: Eine Funktion heißt transzendent, wenn sie für rationale Argumente transzendente Werte liefert. Z.B. sind cos 1 und sin 1 transzendent. Darüberhinaus besteht der Einheitskreis aus einer transzendenten Punktmenge. Vom Kreis ausgehend, kannst du also so nicht argumentieren. Die rationalen Punkte des Einheitskreises z.B. (3/5,4/5) liefern natürlich rationale Werte für sin und cos, allerdings ist dann der zugehörige Winkel nicht mehr rational (die rationalen Punkte auf dem Kreis erhält man aus den phythagoräischen Zahlentripeln).

Rationale Funktionen, z.B. x/(1+x^2), liefern für rationale Argumente stets rationale Werte.

Algebraische Funktionen, z.B. x/sqrt(1+x^2), liefern für rationale Argumnte stets algebraische Werte. skraemer 22:23, 16. Jun 2006 (CEST)

Sorry, aber ich halte das für Unsinn. Die Funktion $\sin \pi x$ nimmt für rationale Argumente algebraische Werte an, ist aber ebenfalls transzendent.--Gunther 16:54, 19. Jun 2006 (CEST)

Sorry, ich habe mich verschrieben. Es muss richtig heissen: Eine Funktion ist transzendent, wenn sie für algebraische Argumente transzendente Werte liefert. Z.B. sind die Funktionen sin(x) und cos(x) transzendent, da die speziellen Werte cos 1 und sin 1 transzendent sind.

Falls keine Einwände bestehen, werde ich nach einer gewissen Zeit meinen Tippfehler oben korrigieren und diesen Satz löschen um Missverständnisse zu vermeiden. SKraemer

Immer noch Unsinn: die Dirichlet-Funktion erfüllt Deine Bedingung nicht, wäre also eine algebraische Funktion. Vgl. en:transcendental function, [1], zu „transzendenten Vorgängen“ [2].--Gunther 23:22, 15. Sep 2006 (CEST)

Meine obige Antwort bezog sich auf die eingangs gestellte Frage bezüglich des Einheitskreises, die durchaus berechtigt ist. Am einfachsten ist oft die Angabe eines Gegenbeispiels (cos 1 ist transzendent). Dafür wird nur die eine Richtung: "es existiert ein algebraisches x, sodass f(x) transzendent => f ist transzendent" benötigt. Ich habe nicht gesagt: "eine Funktion heißt transzendent genau dann wenn ..." Skraemer

ueberarbeiten - schulmathematik

gudn tach
die erklaerung von funktionen im abschnitt "schulmathematik" war bis vor wenigen wochen nicht so gut, dann wurden ein paar aenderungen durchgefuehrt, die ich zwar nachvollziehen kann, die aber keine wesentliche verbesserung fuer eine enzyklopaedie darstellten. nun wurde der kram erneut umgeschrieben. was da jetzt steht, ist kaum mehr als missverstaendlich. revertiert habe ich es aber nicht, weil es vorher nur jemand verstanden hat, der schon wusste, was eine funktion ist.
imho sollte hier mal ein didaktisch versierter mit etwas mathe-background diesen abschnitt ueberarbeiten. -- seth 00:01, 16. Nov. 2007 (CET)

Ich war mal vorsichtig - die verständlichere Beschreibung steht nun zuerst, und einen Satz habe ich abgekürzt. Dass Funktionen in der Schulmathematik nicht eindeutig sein müssen oder nicht überall definiert sein müssen, ist mir zwar neu, habe ich aber mal dringelassen. Beispiele könnten hier wohl helfen, die Definitionen anschaulicher zu machen. --Mfb 14:22, 23. Dez. 2007 (CET)

Bin Lehrerin, habe von nicht-eindeutigen Funktionen noch nie gehört. Ich nehme den Satz raus. -- Frau Holle 12:03, 15. Feb. 2008 (CET)

zumindest gibt es den wp-artikel partielle Funktion, der genau solche dinger zum gegenstand hat.oh, gemeint waren wohl abbildungen, die nicht nicht definiert, sondern nicht rechtseindeutig sind. ich hatte davon aber auch noch nix in der schule gehoert und werde mal den autoren, der das reingeschrieben hat, fragen, inwieweit diese konstrukte fuer die schulmathematik relevant sind. bis dahin nehme ich jetzt auch die quellenmenge-bezeichnungen raus, weil sie zurzeit vom himmel fallen. zudem habe ich die begriffe "eingang" und "ausgang" wieder versucht zu etablieren, da das doch letztlich die motivation fuer funktionen besser verdeutlicht, oder?

ich finde den abschnitt zwar immer noch nicht so leicht verstaendlich, wie er sein sollte, aber unverstaendlich ist es wohl nicht mehr. -- seth 12:42, 16. Feb. 2008 (CET)

Mehrdeutige Funktionen gibt es natürlich, sie heißen auch so. Es gibt ja nicht umsonst ein eigenes Symbol dafür (siehe Funktion (Mathematik)#Symbolik). In der Schule werden sie wohl nicht ausdrücklich behandelt, darum ging es mir auch nicht. Sie werden in der Schule aber stillschweigend benutzt (eventuell auch in Fächern wie Physik oder Chemie), weil dort nicht immer streng auf die Eindeutigkeit von Funktionen geachtet wird. Das kommt eben daher, das der Begriff Funktion viel älter ist als seine mathematische-formale Definition. Deshalb meinte ich, dass die Funktionen in der Schule durchaus auch mehrdeutig sein können. Also vielleicht umformulieren, aber nicht einfach streichen! Ansonsten könnte es für einen Schüler, der sich hier informiert, verwirrend sein, wenn er läse, Funktionen müssten immer eindeutig sein, er in der Schule aber einen (dann) laxen Umgang mit dieser Eindeutigkeit fände. (Finde es übrigens schade, Frau Holle, dass du als Studierte der Mathematik noch nie von nicht-eindeutigen Funktionen gehört hast.)

Ich finde die oben gemachte Forderung, dass der Abschnitt von jemandem „mit etwas mathe-background“ (Seth) überarbeitet werden sollte, fehl am Platze. Wer hat denn in Bezug auf Schulmathematik keinen Mathe-Background? Hier war wohl Background in Bezug auf akad. Mathe gemeint, aber das ist ja gerade in diesem Abschnitt unangebracht. Allenfalls könnte man noch den akad. Background von Mathe-LehrerInnen meinen, die lernen – soweit ich weiß – auf der Uni aber auch keinen wesentlich anderen (Fach-) Stoff (nur weniger) als die Diplomer etc. Auch sollte der Abschnitt nicht oder nicht in erster Linie darstellen, was von (Mathe-) LehrerInnen vermeintlich an Schulen gelehrt werden sollte (also quasi die Lehrpläne), sondern die Mathematik, die einem tatsächlich in der Schule begegnet und von Schülern gefordert wird.

Hoffe, ich konnte etwas Licht in meine Motivationen bringen. Bei Erstellung dieses Abschnittes wurde auch auf meiner Diskussionsseite unter Funktion darüber diskutiert.

Gruß —Markus Prokott 05:01, 17. Feb. 2008 (CET)

du hast einen wesentlichen teil in dem zitat von mir vergessen: didaktisch versierter mit etwas mathe-background. ja, damit meinte ich (bestenfalls) mathelehrer, da jene die sache so formulieren koennen sollten, dass sich keine ungereimtheiten (deswegen (akad.) mathe-backgound) ergeben. an einigen der aenderungen der unangemeldeten user sah man, dass ohne diesen background in erster linie verschlechternde aenderungen entstehen. der abschnitt hatte imho zweitweise _nach_ (nicht "durch"!) deinen aenderungen, Markus Prokott, an qualitaet verloren. daher ruehrte meine forderung.

unabhaengig davon stimme ich jedoch zu, dass der abschnitt deskriptiv sein sollte.

um die mehrdeutigen abbildungen wieder unterzubringen, sollte imho ein explizites (schul-)beispiel gemacht werden, sonst ist der absatz alles andere als oma-kompatibel. insofern gilt das gleiche imho auch fuer die partiellen funktionen. -- seth 13:07, 17. Feb. 2008 (CET)

Sorry, hatte ich tatsächlich falsch verstanden. In der Form stimme ich natürlich zu. —Markus Prokott 08:37, 18. Feb. 2008 (CET)

Ein paar Bemerkungen an Markus Prokott:

1. Funktionen können per se nicht mehrdeutig sein. Der Begriff der "mehrdeutigen Funktion" ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion. Wobei es meines Wissens keine allgemeine Definition für "mehrdeutige Funktion" gibt. Man kann von der Graphen-Definition der Funktion ausgehen, dann handelt es sich bloß um eine Relation, nur die Sprechweise ist anders, weil die Sichtweise eine andere ist. Eine andere Möglichkeit, den Begriff zu präzisieren, ist die verschiedenen Funktionswerte zum selben Argument in einer Menge zusammenzufassen. Man bekommt dann eine Funktion, deren Werte Mengen sind. In verschiedenen Teilbereichen der Mathematik gibt es auch noch andere Präzisierungen, die teilweise auch Vielfachheiten zulassen.
2. Zur Schulmathematik. Es gab eine lange Phase, in der die moderne Mathematik ganz oder überwiegend an der Schule vorbeigegangen ist. Dadurch hat sich möglicherweise auch ein naiver Begriff einer mehrdeutigen Funktion (z.B. einer zweideutigen Wurzelfunktion) gehalten. Aber seit den Siebzigerjahren bemüht sich die Schulmathematik in diesen Bereichen sehr um Korrektheit. Spätestens seit dieser Zeit gibt es an der Schule keine mehrdeutigen Funktionen mehr. --Digamma 18:57, 17. Feb. 2008 (CET)

Zu 1: Was du sagst trifft voll und ganz auf die Definition von Funktionen in der akad. Mathe zu – aber nicht auf meine Ausführungen und es ist auch nicht auf das Abschnittsthema Schulmathematik anwendbar. (Übrigens wurde in meinem Studium auch von Analytik-Profs und Tutoren im informellen(!) Vortrag der Funktionsbegriff so lax gehandhabt, dass schonmal partielle und mehrdeutige Funktionen implizit darunter subsummiert wurden. Von Physik- und Infoprofs etc. will ich erst gar nicht anfangen.) Dass es keine allgemeine Definition für mehrdeutige Funktionen in der math. Fachwelt gibt, heißt nicht, dass es diese überhaupt nicht gibt. Eine mehrdeutige Funktion ist selbstverständlich eine Funktion, die (wenigstens) einem Ausgangswert zwei oder mehr Funktionswerte zuweist. Diese Definition ist informell und nicht mathematisch korrekt (weil unverankert rekursiv), sie ist aber die allgemein gültige. In der akad. Mathematik wird eine solche Definition nicht wirklich gebraucht, da es Relationen gibt und es reicht, diesen gewisse Attribute zuzuweisen.

Zu 2: Also während meiner ganzen Schulzeit (ich bin 86 eingeschult worden) ist die zweideutige Wurzelrelation fast immer als die Wurzelfunktion bezeichnet und gebraucht worden. So haben es dann auch die Schüler verstanden und gebraucht. (Würde hierbei gerne mal die Umfrage starten, wer der Diskutanten hier nicht die Sekundarstufe auf einem Gymmi verbracht hat.) Dieser „Fehler“ hat sich dann auch auf gewisse von der Wurzelfunktion abgeleitete Funktionen übertragen. Nur wenige, engagierte Lehrer haben auf der formalen Definition bestanden (und auch beteuert, dass diese auch in der Schule anerkanntermaßen die einzig gültige sein muss). Nur in bestimmten formalen Zusammenhängen wurde dann unverhofft (und somit verwirrenderweise) auf eine formale Definition als eindeutige Funktion abgestellt. Kann mich noch gut erinnern, dass ich wegen diesem hin und her lange gebraucht habe, bis ich den Begriff Wurzelfunktion richtig verstanden habe (einen Begriff für das zweideutige Ding hatte ich zu meinem Unglück damit freilich noch nicht – womöglich ein Grund für mein verstärktes Interesse an Mathematik in meiner Freizeit und somit für mein späteres Mathestudium). Nicht zuletzt war das ein Grund, warum ich die Mehrdeutigkeit in dem Abschnitt erwähnt habe bzw. erwähnt haben wollte.

Eine andere Anmerkung vielleicht noch: Man sollte auch die Wahl des Titels des Artikels beachten. Er bezeichnet nur zum Teil das, was hier als rechtseindeutig und linkstotal diskutiert wird. Außerhalb von Analytik-Vorlesungen bin ich dem Begriff Funktion in meinem Mathestudium ungefähr so oft begegnet wie dem Doppelpunkt als Symbol für Division. Der gängige Fachterminus ist ohne Zweifel Abbildung (mapping). Diese ist auch unmissverständlich als rechtseindeutig und linkstotal definiert. Funktion könnte man fast schon nostalgische Bezeichnung für Abbildungen nennen, er ist eigentlich vor allem ein Begriff der Physik und der Schulmathematik (da diese auf andere Fächer wie Physik Rücksicht nehmen muss). Will man in der Mathematik unmissverständlich werden, spricht man (wie gesagt außerhalb der Analytik) von Abbildungen. Auch der Umstand, dass in der Schule immer noch durchgängig von Funktionen gesprochen wird, spricht dafür, dass sich der entsprechende Formalismus der Fachwelt noch nicht bis in die Schulen durchgesetzt hat.

Sorry, wenn ich mich nicht weiter intensiv an dieser Diskussion beteiligen kann (vgl. meine zugeh. Disku.). Ich bin sicher, ihr werdet am Ende einen tragbaren Kompromiss erreichen, egal ob er meinen Vorstellungen entspricht, oder nicht. (Und wenn Gras drüber gewachsen ist, tu ich's dann heimlich wieder umschreiben, ätsch! *scherz*) Gruß —Markus Prokott 09:40, 18. Feb. 2008 (CET)

Was sich in Euren Diskussionsbeiträgen andeutet, verstehe ich so, dass hier nicht eine Vertiefung hinsichtlich aktuell gelehrter Schulmathematik nötig ist, sondern hinsichtlich der Geschichte des Funktionsbegriffs. Einen Experten für Geschichte der Mathematik bräuchten wir eigentlich. -- Frau Holle 00:04, 4. Mär. 2008 (CET)

Partielle Funktion

Ich bin dafür, den Abschnitt analytische Funktionen in den gleichnamigen Artikel zu verschieben. Der Begriff der partiellen Funktion sollte an prominenter Stelle (am besten in der Einleitung) erwähnt werden, und es sollte deutlich darauf hingewiesen werden, dass partielle Funktionen nicht echte Spezialfälle von Funktionen sind, sondern umgekehrt. Die diskriminierende Bemerkung "vor allem in der Informatik" ist unangebracht.--AlfonsGeser 19:19, 24. Mai 2008 (CEST)

Mathematiker nahezu aller Disziplinen sprechen über Funktionen auf Teilmengen, nicht über partielle Funktionen.--80.136.160.148 16:10, 28. Mai 2008 (CEST)

Die Tatsache leugne ich nicht. Mich stört bloß der distanzierende Ton in der Bemerkung. Es klingt so wie: "Ein echter Mathematiker spricht nicht so." Sehe ich das falsch?--AlfonsGeser 20:45, 28. Mai 2008 (CEST)

Den Einwand der IP versteh ich nicht: Wie auf Teilmengen? Der Definitionsbereich muss schon eindeutig angegeben sein, und da muss auch für jedes x draus ein Funktionswert existieren. Ich finde auch dass der Unterschied zwischen partiellen Funktionen und dem klassischen Funktionsbegriff hervorgehoben werden könnte. Informatiker-Disse kann ich da aber nicht erkennen, siehe auch Einleitung partielle Funktion. Es geht doch darum, dass in in der Informatik der Aspekt, ob ALLE Werte im Definitionsbereich einen Funktionswert haben, generell nicht ganz so wichtig ist, wie in einer "strengen" mathematischen Betrachtung der Funktion, oder seh ich das falsch? Und infolge dessen fing man an, verstärkt partielle Fuktionen ordentlich zu definieren und zu untersuchen. Was war zuerst da: Die Funktion oder die partielle Funktion? :-) --χario 21:52, 28. Mai 2008 (CEST)

Die IP meinte wahrscheinlich so etwas: Auch wenn der Laplace-Operator z.B. als Definitionsbereich $W^{2,p}(\mathbb {R} )\subset L^{p}(\mathbb {R} )$ hat, so sagt man doch häufig, dass man den Laplace auf $L^{p}$ betrachtet. (Häufig kennt man den Definitionsbereich auch gar nicht, man weiß dann nur, dass er dicht in einem Banachraum liegt.) --Sabata 22:05, 28. Mai 2008 (CEST)

Ich habe einfach mal im Artikeltext die Passage, die mich gestört hat, durch eine neutralere ersetzt. Akzeptabel?--AlfonsGeser 22:14, 28. Mai 2008 (CEST)

Begriffsgeschichte

Ich halte die Tatsache, dass manche Autoren unter "Funktion" und "Abbildung" zwei unterschiedliche Begriffe verstehen (Funktion als reel- oder komplexwertige Abbildung), nach wie vor für wichtig. Gerade in Bereichen, in denen sowohl Abbildungen in die reellen oder komplexen Zahlen, als auch Abbildungen in andere Mengen vorkommen (z.B. in der Vektoranalysis), kann diese Unterscheidung schnell für Verwirrung sorgen.

Ja da hast du recht, dies sollte man erwähnen. Ich habe gerade festgestellt, dass es gar keinen Artikel zum Thema Abbildung gibt. Schaut man sich diesen Artikel an handelt er fast nur von analytischen Gesichtspunkten. Ich fände einen Artikel zum Thema "Abbildungen" sehr sinnvoll, dort könnte man sich über Morphismen aller Art ablassen, was hier in dem Lemma ja fast komplett fehlt. --Christian1985 20:49, 24. Jul. 2008 (CEST)

Nun ja, mein Eintrag bezüglich der gelegentlichen Unterscheidung zwischen Funktionen und Abbildungen wurde wieder entfernt. Daher wollte ich dies hier kurz zur Diskussion stellen. - Was einen extra Artikel über Abbildungen betrifft, bin ich leider anderer Meinung. Schließlich sind Funktionen und Abbildungen (mengentheoretisch) das gleiche. Allerdings könnte der Abschnitt "Funktionen, die Strukturen erhalten" durchaus noch ausgebaut werden.--PlayDead 02:23, 25. Jul. 2008 (CEST)

Ich habe nun versucht einzuarbeiten, dass einige Mathematiker Unterschiede zwischen Abbildung und Funktion machen. Ich fände einen Artikel für Abbildung angebracht, denn geschichtlich müssen dort ja schon unterschiede sein. Außerdem hat Wikipedia ja auch ein Lemma für Elementargebiet, was topologisch dasselbe ist wie ein einfach zusammenhängendes Gebiet. --Christian1985 10:00, 25. Jul. 2008 (CEST)

Deine Änderung finde ich gut so. Mit der kleinen Einschränkung, dass du erst auf die unterschiedliche Verwendung der Ausdrücke "Funktion" und "Abbildung" hinweist und direkt im Anschluss über Synonyme sprichst. Vielleicht sollte man da noch einen Absatz einfügen? (Ich hab jetzt mal noch nichts dran geändert.) - Bezüglich Elementargebiet und einfachem Zusammenhang: Elementargebiete gibt es (soweit ich jedenfalls weiß) nur in der Funktionentheorie, also nur im komplexen Raum. Während der Ausdruck "einfach zusammenhängend" überhaupt nichts über den topologischen Raum aussagt, in dem sich die entsprechende Menge befindet. Oder irre ich mich? - Zudem gibt es ja bei Wikipedia keinen Artikel über einfach zusammenhängende Mengen, sondern nur eine Absatz im Artikel über Zusamenhang (in dem allerdings ein Link zum Artikel über Elementargebiete nicht schaden könnte). - Aber ich bin erst sehr kurz bei Wikipedia und kann das daher vll. nicht genau beurteilen. :-)

Mfg --PlayDead 16:29, 25. Jul. 2008 (CEST)

Ich habe mir den Artikel nochmal durchgelesen und verstehe jetzt deinen Einwand. Insbesondere, die Abschnitte "Darstellung einer Funktion" und "Spezielle Funktionen" beschäftigen sich nur mit dem analytischen Aspekt. Ich bin daher dafür, einen Absatz mit dem Titel "Struktur erzeugende Funktionen" (bzw. Abbildungen) einzufügen und dort Verknüpfungen, Topologien, Metriken, Morphismen usw. zumindest aufzuzählen und zu verlinken. (Wenn ich dazu komme, setze ich mich da mal dran.) Außerdem sollte man den Absatz über strukturerhaltene Funktionen erweitern. -- Mfg --PlayDead 17:20, 25. Jul. 2008 (CEST)

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Zahlenfolgen

Dieser Funktionstyp muss auch hinzugefügt werden! --Ersguterjunge1 19:40, 3. Sep. 2009 (CEST)

Aber er hat nichts mit einer analytischen Funktion zu tun. --Christian1985 19:49, 3. Sep. 2009 (CEST)

Doch, denn Zahlfolgen können z.B. Exponentialfunktionen oder Logarithmusfunktionen darstellen. --Ersguterjunge1 15:05, 6. Sep. 2009 (CEST)

Bei Zahlenfolge denke ich als allererstes mal an $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$. Damit die Zahlenfolge eine analytische Funktion darstellen kann, muss ja erstmal ein noch ein $z\in D\subset C^{n}$ in dem Term sein, für welchen man einen Wert einsetzt und dann die Folge gegen unendlich laufen lässt. Bei einner Funktionenfolge denkt man aber sicherlich nicht daran, sondern an eine Funktion $\mathbb {N} \to \mathbb {R} ^{n}$, welche jeder natürlichen Zahl ein Folgeglied zuordnet. Das hat sicherlich nichts mit analytisch zu tun. --Christian1985 15:24, 6. Sep. 2009 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 20:22, 10. Nov. 2009 (CET)

Schwanenhalsfunktion ohne Link

Die Schwanenhalsfunktion steht bei Wikipedia unter Sigmoidfunktion. Könnte das jemand verlinken und eine Referenz anlegen? (nicht signierter Beitrag von 134.93.59.9 (Diskussion) 2007-04-18T15:52:10)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 15:36, 15. Dez. 2011 (CET)

Definitionsbereich

Im Text steht: (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) (Ausgangsgröße, Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) Die später auch im Text verwendeten Begriffe Definitionsbereich und Wertebereich sind aber nicht mit aufgezählt! Da ich kein Mathematiker bin, habe ich wenig Sicherheit es selber zu ändern! (nicht signierter Beitrag von Acmeyer (Diskussion | Beiträge) 09:28, 17. Feb. 2009 (CET))

Alternative Bezeichnungen findet man weiter unten im Artikel, siehe: Funktion_(Mathematik)#Schreib-_und_Sprechweisen. Gerade die Begriffe -Bereich sind mathematisch nicht sehr schön, wenn es auch gerade die sind, welche man immer in der Schule benutzt. Ich finde man sollte überall zunächst ein Mengen-Begriff anwenden. Hm ich wollte es eigt. noch nicht hier her stellen. Aber siehe unten. --WissensDürster 13:37, 26. Feb. 2009 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 15:43, 15. Dez. 2011 (CET)

Funktion_(Mathematik)#Verschiedene_Weisen.2C_eine_Funktion_zu_spezifizieren

In dem Abschnitt steht die Möglichkeit Als Komposition von anderen Funktionen oder als Inverse einer anderen Funktion - nur ohne Angabe eines Beispieles oder Verweises ... wenn das da nur so hingeworfen wird, könnte man es auch gleich weglassen. Wäre also schön, wenn jemandem dazu noch was einfällt. Grüße --WissensDürster 15:12, 15. Jul. 2009 (CEST)

Ein einzelner Term legt i. A. noch keine Funktion fest; z. B. kann $x^{2}\cdot \sin(y)$ zur Funktion $x\mapsto x^{2}\cdot \sin(y)$ oder zur Funktion $y\mapsto x^{2}\cdot \sin(y)$ führen.

$f(x)=x^{2}$ als Funktionsgleichung zu bezeichnen, ist auch nicht korrekt; die Schreibweise sagt nur aus, dass $x^{2}$ der Funktionsterm der Funktion $f$ sein soll bzw. ist. Damit eine Relation auch eine Funktion sein kann, muss sie rechtseindeutig sein. --Analyx 20:20, 29. Jan. 2010 (CET)

Ich stimme Analyx voll und ganz zu - wenn man $f(x)=x^{2}$ schreibt, gibt man einfach den Funktionsterm an, das ist nicht die Funktionsgleichung. Und wenn man z. B. schreibt, $x^{2}\cdot \sin(y)$ wäre der Funktionsterm, ist damit nicht klar, ob man eine Funktion von x, von y oder von beiden Variablen meint; den Funktionsterm kann man nur angeben, wenn man jeweils f(x)= bzw. f(y)= bzw. f(x,y)= davor schreibt.

Und noch eine andere Sichtweise: eine Gleichung hat immer eine Lösung bzw. Lösungsmenge. Was soll aber denn nun die Lösungsmenge von $f(x)=x^{2}$ sein?!? Korrekt wäre: die Funktionsgleichung ist $y=x^{2}$. Die Lösungsmenge dieser Gleichung besteht aus allen Zahlenpaaren, welche diese Gleichung erfüllen; graphische Veranschaulichung: aus allen Punkten, die auf dem Graph der Funktion liegen.BFeuerbacher 17:53, 31. Jan. 2010 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 15:51, 15. Dez. 2011 (CET)

Sind Operatoren eine teilmenge der Funktionen oder umgekehrt

Ich komm mit den mathematischen Definitionen eh nicht so gut klar. Aber was mich stört ist das hier in Wiki allgemein Operationen und Operatoren als Teilmenge der Funktionen gesehen werden. Das beschäftigt mich insofern, dass oft in der Literatur Ableitungen als Operationen bezeichnet werden (z.B. Nabla-Operator). Funktionen an sich leiten allerdings nach meiner Erfahrung NICHT ab. Dafür sind Funktionen nicht gedacht. Man schreib nicht umsonst Differentialgleichungen für partielle Differentialgleichungen:

$F\left(x,y,u(x,y),{\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}},{\frac {\partial u(x,y)}{\partial y}},\ldots ,{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial x\partial y}},\ldots \right)=0,$.

Wenn AbleitungsOperatoren teil einer Funktionsanweisung sein könnten wäre durch diese Definition noch nicht die Ordnung der differentialgleichung definiert sie könnte weit höher liegen. Und das wäre weiß Gott nicht dem Verständnis dienlich. Meine Aussage: jede Funktion ist ein Operator aber nicht jeder Operator eine Funktion. (nicht signierter Beitrag von 91.32.141.120 (Diskussion | Beiträge) 17:24, 7. Mär. 2010 (CET))

Das ist schon fast ne philosophische Frage. Setzt man die Begriffe Funktion und Abbildung gleich, wie der Artikel es tut, dann ist ein Operator auch eine Funktion. Ob man von einer Funktion, Abbildung oder Operator spricht hängt einfach vom Fachgebiet ab. So ist salopp gesagt ein Operator eben eine Funktion, welche Funktionen auf Funktionen abbildet. --Christian1985 18:15, 7. Mär. 2010 (CET)

Ist es nicht eine Ausnahme, dass gewisse Funktionenoperatoren wiederum durch Funktionen beschrieben werden können? So wurde das nämlich bei uns damals in Mess und Regelungstechnik propagiert, dass das eine Besonderheit von LTI-Systemen wäre. Ich kann mir jedoch nicht vorstellen, dass jeder Funktionenoperator durch funktionen beschreibbar sein muss. (nicht signierter Beitrag von 91.32.145.233 (Diskussion | Beiträge) 16:04, 10. Mär. 2010 (CET))

Diese Aussage verstehe ich nicht. Ein Operator ist genauso wie eine Funktion dadurch hinreichend charackterisiert, dass festgelegt wird, wohin Elemente des Definitionsbereichs abgebildet werden. --Christian1985 17:23, 10. Mär. 2010 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 15:52, 15. Dez. 2011 (CET)

Ist das eine Funktion?

Die Aussagen f : e $\mapsto$ |e|, wobei e eine endliche Menge ist, bestimmen eine Funktion f von den endlichen Mengen nach den natürlichen Zahlen. Frage: Wird auch diese Funktion vom Artikel erfasst? -- 80.134.201.173 12:51, 26. Sep. 2010 (CEST)

Es handelt sich hier nicht um eine Funktion, weil der Definitionsbereich, die Klasse aller endlichen Mengen, keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Eine Funktion erhält man jedoch, wenn man sich auf die Menge der endlichen Teilmengen einer Menge beschränkt, zum Beispiel auf alle endlichen Mengen von reellen Zahlen. -- Digamma 16:47, 26. Sep. 2010 (CEST)

In welche Kategorie wird dann das oben erwähnte Beispiel eingeordnet wenn schon nicht in die der Funktionen? -- 80.134.191.94 18:56, 26. Sep. 2010 (CEST)

In moderner mathematischer Literatur (z.B. Oberschelp) werden Funktionen als Klassen geordneter Paare, definiert. Die Beschränkung auf Mengen ist heute im Rahmen der im letzten Drittel des 20. Jahrhunderts entwickelten Klassenlogik nicht mehr einsichtig. (näheres Wilfried Neumaiers Kapitel Klassenlogik im engeren Sinn) -- 80.134.171.88 10:56, 28. Sep. 2010 (CEST)

Ich bin mir nicht sicher, ob Oberschelp maßgeblich für die moderne Mathematik ist. Die mir bekannten Mengenlehrebücher (Ebbinghaus, Kunen, Jech) definieren Funktionen als Mengen. Ich habe nicht den Eindruck, dass Oberschelps Klassenlogik weit verbreitet ist. -- Digamma 17:52, 28. Sep. 2010 (CEST)

Man wird wohl noch einige Zeit beim Hergebrachten verbleiben. Das Neue ist zwar Sache, für die Wikipedia, wie es scheint, noch nicht reif. Es bleibt abzuwarten, bis ein Mathematiker die Initiative ergreift und den Artikel modernisiert. -- 80.134.204.28 22:21, 28. Sep. 2010 (CEST)

Der Funktionsbegriff wird nicht nur bei Oberschelp für Klassen gebraucht, sondern auch in anderen Mengenlehre mit Klassen, etwa im Ersetzungsaxiom der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre. Von daher wäre eine Verallgemeinerung durchaus angezeigt.--Wilfried Neumaier 18:46, 30. Sep. 2010 (CEST)

Ähm, wenn ich das richtig sehe, definiert Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre selber, was eine Funktion ist (kann man in dem Artikel jedenfalls nachlesen). Sie "stützt" sich also nicht auf einen Funktionsbegriff. Bei Oberschelp ist das sicher nicht anders. Es besteht daher kein Grund, den damit zusammenhängenden Klassenbegriff in diesen Artikel zu importieren.

Es ergibt nicht viel Sinn, in jedem Artikel über mathematische Begriffe übermäßig alle möglichen mathematischen Grundlagen und deren mögliche Axiomatisierungen berücksichtigen zu wollen. (Und: wieso eigentlich Mengenlehre? Warum nicht Typtheorie oder Kategorientheorie? Geht wohl auch und zumindest TT ist ziemlich praktisch. [3])

Der Artikel heißt "Funktion", nicht "Mengenlehre", nicht "Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre", nicht "Oberschelp", nicht "Kategorientheorie", nicht "Typtheorie" und nicht "Prädikatenkalkül". Man wusste gewissermaßen schon vor Cantor, was eine Funktion sein soll! ;) Die Probleme, die sich aus zu freien Formulierungsmöglichkeiten ergeben, und wie sie gelöst werden können, indem geeignet eingeschränkt wird, gehört m.E. nicht hier her — eben weil es viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt. --Daniel5Ko 21:34, 30. Sep. 2010 (CEST)

PS: Der Artikel macht zwar gegenwärtig Gebrauch von Mengenlehre-Begriffen, aber die kann man naiver Mengenlehre zuschieben, die keine Unterscheidung zwischen Mengen und Klassen macht. Oder man formuliert's irgendwie um. --Daniel5Ko 21:44, 30. Sep. 2010 (CEST)

Ja, Daniel, ich werde versuchen den Artikel so umzuformulieren, dass der moderne Funktionsbegriff reinkommt ohne von Klassen zu reden. Man lasse mir dazu etwas Zeit. -- 80.134.191.241 07:51, 2. Okt. 2010 (CEST)

Hallo, ich habe wohl wenig Ahnung von Mengenlehre, wollte aber anmerken, dass bei der derzeitigen mengentheoretischen Definition ein Funktor (Mathematik) wohl keine Funktion wäre. Oder? --Christian1985 (Diskussion) 13:50, 20. Nov. 2010 (CET)

Doch, ein Funktor ist auch eine Funktion. Der Definitionsbereich eines Funktors ist $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})\cup \bigcup _{X,Y\in {\mathcal {C}}}\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$. Und der Wertebereich ist $\operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})\cup \bigcup _{X,Y\in {\mathcal {D}}}\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,Y)$.

Ansonsten kannst du auch die Zuordnung der Kategorien als eine einzelne Funktion auffassen und die Abbildung der Morphismen ist eine weitere Funktion. Der Funktor ist dann die Vereinigung dieser beiden Funktionen. --Eulenspiegel1 16:16, 20. Nov. 2010 (CET)

Aber $\operatorname {Ob}$ kann doch eine echte Klassen sein? Und wenn Klassen nicht als Definitionsbereich von Funktionen zugelassen sind... oder irre ich? --Christian1985 (Diskussion) 20:51, 20. Nov. 2010 (CET)

Stimmt, sobald $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ eine echte Klasse ist, ist der Funktor keine Funktion mehr. --Eulenspiegel1 13:44, 21. Nov. 2010 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 15:53, 15. Dez. 2011 (CET)

Dieser Beitrag ist inzwischen überholt.

Für die Aussage “f ist eine Folge reeller Zahlen“ schreibt man “f:N→R“, was schreibt man für “f ist eine Folge von Mengen“? -- 80.134.213.20 09:48, 29. Sep. 2010 (CEST)

Eine Menge aller Mengen gibt es nicht (würde diese sich selbst beinhalten oder nicht?), also kann man diese Notation eben nicht anwenden. Aber scheint ja erledigt zu sein. --mfb 13:10, 10. Okt. 2010 (CEST)

Die Antwort trifft nicht die gestellte Frage!! -- 80.134.182.32 14:09, 10. Okt. 2010 (CEST)

Die Antwort zeigt auf, dass eine analoge Notation für die gesuchte Folge nicht existieren kann. --mfb 21:31, 17. Okt. 2010 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 15:53, 15. Dez. 2011 (CET)

Ein Dankeschön

Ich danke Dir Eulenspiegel, hätte aber noch eine weitere Bitte: leider sind meine Versionen von Mathematisches Objekt, Geordnetes Paar und Tupel noch aktuelle Artikel. Wenn es Dir nicht zu viel Mühe bereitet, setze auch diese drei auf ältere Versionen zurück. Dank im Voraus! -- Georg Roch 10:59, 13. Jan. 2011 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 15:55, 15. Dez. 2011 (CET)

Eine ganz einfache Frage

In der Einleitung steht:

... eine Funktion oder Abbildung [ist] eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der 
einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge
(Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. 

Ich bin ja nur Laie - aber bei einer nach rechts geöffneten Parabel gibt es zu jedem x zwei y, eins pos & eins neg. Was stimmt da nicht? --Cami de Son Duc 16:25, 11. Jun. 2011 (CEST)

Eine nach rechts geöffnete Parabel ist eben keine Funktion. Da muss man den oberen und den unteren Ast einzeln betrachten. :) Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 16:35, 11. Jun. 2011 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 15:56, 15. Dez. 2011 (CET)

Funktion als eindeutige Abbildung

Gibt es keine mehrdeutigen Abbildungen (mehr)? Hat sich da der Abbildungsbegriff in der Mathematik geändert? Andernfalls wäre doch sehr wohl zu unterscheiden zwischen einer Abbildung (die eindeutig, eineindeutig oder mehrdeutig sein kann) und einer Funktion, die eine eindeutige Abbildung ist (jedem Element aus A eines aus B eindeutig zuordnet). Lia Gerne 15:10, 31. Okt. 2011 (CET)

Du würdest also Abbildung als Synonym einer Relation auffassen? Ich kenne Abbildung als synonym zu Funktionen, sprich so wie hier verwendet. (Siehe auch der Abschnitt „Formale Begriffsdefinition für Funktion“ hier auf der Diskussionsseite) -- pberndt _(DS) 16:42, 31. Okt. 2011 (CET)

Und siehe bitte Multifunktion im Abschnitt Verallgemeinerungen. --Eulenspiegel1 21:00, 31. Okt. 2011 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 23:41, 12. Jun. 2012 (CEST)

Darstellung: Folge, Äquivalenz

Hallo. Zwei ästhetische Fragen: Sehen Folgepfeile in der WP immer so seltsam verzerrt aus, und müssen Äquivalenzzeichen so fürchterlich gestreckt dargestellt werden, anstatt sie als Gleichheitszeichen mit zwei Pfeilspitzen anzeigen zu lassen? Danke vorab für alle Rückmeldungen!!--Der Spion 15:07, 15. Dez. 2011 (CET)

Hui diese verzerrten Folgepfeile habe ich ja noch nie gesehen. Ich verwende immer die Befehle \Rightarrow $\Rightarrow$ und \Leftrightarrow $\Leftrightarrow$, die meiner Ansicht nach auch besser aussehen. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 15:40, 15. Dez. 2011 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 23:42, 12. Jun. 2012 (CEST)

Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen

Was ist eigentlich mit Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen (wie in der Physik häufig vorkommend)? Sollten die nicht einen eigenen Abschnitt bekommen? Die englische Version [4] definiert das als Funktion with multiple inputs and outputs und stellt die Argumente als Tupel dar.

Ich frage deswegen, weil das auf dieser Seite nicht vorkommt, aber zum Beispiel Partielle Ableitung plötzlich mit Funktionen mit mehreren Variablen hantiert (und auf diese Seite zurückverlinkt. --Ndg2 10:33, 9. Aug. 2009 (CEST)

Eine kritische Bemerkung

Funktionen werden in ernst zu nehmender mathematischer Literatur als das definiert, was man oftmals als Graphen bezeichnet. Mir ist keine seriöse Literatur bekannt, die auch noch eine zweite Definition angibt (z.B. als Tripel). Hier drei über alle Zweifel stehende Quellen:

• Encyclopaedia of Mathematics: fuction

Each set f = {(x,y)} of ordered pairs (x,y), x ε X, y ε Y, such that, if (x',y') ε f and (x",y") ε f, then y' ≠ y" implies that x' ≠ x", is called a function or, what is the same thing, a mapping.

• Larry J. Gerstein: INTRODUCTION TO MATHEMATICAL STRUCTURES AND PROOFS, Springer-Verlag 1996, Seite 118

Let A and B be sets. A function f from A to B is a set of ordered pairs ...

• Herbert Meschkowski: Mathematisches Begriffs-Wörterbuch Seite 13

Eine Funktion von A in B ist eine Menge F von geordneten Paaren (a,b) (mit a ε A, b ε B); ...

Aber auch in Standard Nachschlagwerken wie z.B. der Brockhaus-Enzyklopädie und Meyers Lexikon

Wir sind im Portal Mathematik und müssen daher bei Definitionen darauf achten, mathematischen Ansprüchen voll zu genügen, d.h. unter anderem, wenn wir unterschiedliche Definitionen desselben Begriffs angeben, dann muss sichergestellt sein, dass sie äquivalent sind, also dasselbe Prädikat repräsentieren.

Wir kennen zwei äquivalente Tupel-Definitionen, die eine definiert Tupel als das, was man auch mit Graph bezeichnet. Wegen der Äquivalenz genügt es daher, Tupel nur nach dieser Definition zu betrachten. Demnach ist ein Tripel (a,b,c) die Menge {[1,a],[2,b],[3,c]}, d.h. ein Tripel ist stets ein Graph mit einer 3-elementigen DefMenge, auf der anderen Seite ist der Graph-Begriff so definiert, daß es zu jeder Menge X Graphen gibt mit X als DefMenge. Hier liegen also zwei nicht-äquivalente Definitionen desselben Begriffs vor. Und das lieber Neo, ist das Dilemma. Wie kann man da raus? Versuche eine Antwort als Mathematiker! Gruß! --Lothario Hederich 15:46, 10. Sep. 2008 (CEST)

Komposition: Verknüpfung von Funktionen

Im Abschnitt ist zu lesen: "Es ist dabei zu beachten, dass die zuerst angewandte Abbildung rechts steht,..." Ich bin prinzipiell der Meinung, dass es sinnvoll ist, die Komposition so zu definieren und zu notieren. Dennoch machen manche Kollegen das auch anders und schreiben die zuerst angewandte Abbildung links. Man sollte also an dieser Stelle zumindest anmerken, dass die Konvention nicht absolut ist - und sich eigentlich nur durch Umsicht bei der Lektüre herausfinden lässt, in welcher Weise der Autor die Funktionen verknüpft. Oder? --132.187.63.155 16:52, 29. Sep. 2008 (CEST)

Aus was für einen Bereich kommen Deine Kollegen? In der Mathematik ist mir noch keine andere Definition über den Weg gelaufen. (Darüber hinaus wäre es gut, wenn Du eine Veröffentlichung in einer mathematische Zeitschrift, in der diese andere Notation vorkommt, nennen könntest, um deren Relevanz zu belegen.) --Sabata 18:15, 29. Sep. 2008 (CEST)

Die kommen aus dem Bereich der Elementargeometrie/Abbildungsgeometrie. Dort wird die Verkettung zweier Abbildungen ′andersrum′ definiert. Siehe etwa

• Hans Schupp: Figuren und Abbildungen. Hildesheim, Berlin : Franzbecker, 1998. S.29 (Fußnote)
• Siegfried Krauter: Elebnis Elementargeometrie : Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Heidelberg : Spektrum, 2007. S. 22.

Krauter etwa schreibt dort: " Für die Verkettung (oder das „Produkt“) von Abbildungen verwenden wir das Verkettungszeichen $\circ$ in der Folgenden Weise: [..Bildchen...] Dafür schreiben wir: $\gamma =\alpha \circ \beta$ Lies: „Gamma gleich alpha gefolgt von beta“. Die Abbildung $\alpha$ wird also zuerst und danach die Abbildung $\beta$ ausgeführt. Man schreibt dafür $P''=\gamma (P)=\alpha \circ \beta (P)$." --132.187.63.155 17:33, 30. Sep. 2008 (CEST)

Quellmenge als Definitionsmenge verwendet?

In Mengentheoretische Definition steht: „Letztlich werden sowohl Quell- als auch Zielmenge in die Definition aufgenommen und man erklärt: [...]“

Muß es nicht eigentlich heißen: „Letztlich werden sowohl Definitions- als auch Zielmenge [...]“? Danach steht dort ja „zu jedem $a$ von $A$ gibt es ...“. Dann ist mit $f:(G,A,B)$ doch gemeint, dass $A$ als Definitionsmenge mit aufgenommen werden muß, und nicht als Quellmenge, wie R bei der Funktion $f(x)=1/x$ eine wäre. (R\{0} ist eine erlaubte Definitionsmenge) 87.188.107.161 16:17, 2. Dez. 2008 (CET)

ich denke, der Text ist richtig so, wie er auf der Seite steht. Das hat mit partiellen Funktionen zu tun, wie dein Beispiel sie ja auch anführt. Ich kann sagen, die Division ist eine Funktion von R nach R, die für das Argument 0 undefiniert ist, halt eine partielle Funktion. Dann ist Quellmenge und Definitionsbereich unterschiedlich. Schliesse ich partielle Funktionen von vorneherein aus, dann ergibt die Unterscheidung von Quell- und Definitionsmenge keinen Sinn mehr und ich muss sagen, Division ist eine Funktion von R\{0} nach R. Hoffe, das hilft... --Herbert Klaeren 16:56, 2. Dez. 2008 (CET)

Ich habe diese Auflösung leider auch nicht ganz verstanden. Aber ich habe mit beiden Mengen ein Problem. Quell- und Zielmenge gibt es doch nur dann und genau dann, wenn nicht jedes a aus A und jedes aus B in der Funktion bzw. R vorkommt, d. h. wenn es Paare (a,b) gibt die nicht Element von R sind!? Würden alle a aus A angebildet, wäre die Funktion zu mindest surjektiv, wenn nicht sogar injektiv (~möglich). Siehe Surjektivität Anders ausgedrückt: Bild- und Zielmenge stimmen überein. würde das bedeuten. Hoffe auf eine einfachere Erklärung 0 :) Grüße --WissensDürster 13:35, 26. Feb. 2009 (CET)

Strukturen erzeugend

Brauchen wir wirklich den Abschnitt "Strukturen erzeugende Abbildungen", und muss der so detailliert sein? So gut wie die gesamte Mathematik verwendet Funktionen als unentbehrliches Werkzeug, aber das muss ja nicht in diesen Artikel stehen.

• Der Abschnitt über Sesquilinearformen erscheint mir in diesem Artikel überhaupt deplatziert; der spezielle Rolle, die positiv definite Formen stehen, ist ja unbestritten, aber das hat mit dem Grundthema "Funktion" doch nur sehr am Rande zu tun; wir schreiben ja jetzt auch nichts über die spezielle Rolle, die assoziative Operationen in der Algebra spielen.
• Dass man eine Topologie auf einem Raum X als Funktion auffassen kann, die jedem Element von X eine Menge von Teilmemgen zuordnet (nämlich die Umgebungen von x), ist zwar richtig, aber nicht so kanonisch, dass es als die Definition einer Topologie aufgefasst werden kann. Diese Funktion ist ein sehr kompliziertes Objekt, nämlich eine Abbildung von X nach P(P(X)) (also ein Element von P( X x P(P(X)))). Eine übliche einfachere Definition erlaubt es, eine Topologie als Menge von (offenen) Teilmengen von X aufzufassen, also als Element von P(P(X)); eine andere (auch einfachere) Definition identifiziert die Topologie mit dem Abschlussoperator, also mit einer Funktion von P(X) nach P(X), also einem Element von P(P(X) x P(X)).

Ich würde einfach kürzer schreiben, dass in der Algebra (das schließt die Lineare Algebra ein, das könnte man erwähnen) Strukturen wie Gruppen, Körper, Vektorräume, Räume mit Skalarprodukt etc als Mengen mit ausgezeichneten externen und/oder internen Verknüpfungen definiert werden, und für die Details auf die jeweiligen Artikel verweisen.

--Wuzel 15:32, 18. Sep. 2009 (CEST)

"Verschiedene Weisen, eine Funktion zu spezifizieren" und angebliche Unverständlichkeit

Weil es einen Dissens gibt, und in dem Fall eine Diskussion anstelle eines Edit-Wars angezeigt ist, hier ein paar Argumente für meinen Edit:

• "Als Komposition von anderen Funktionen oder als Inverse einer anderen Funktion" ist das einzige in der Aufzählung, was in in etwa in die Richtung geht und ist gleichzeitig zu wenig.
• Mit dem Link zum Artikel "Funktion höherer Ordnung" sollte einiges geklärt sein, auch wenn der ein wenig zu speziell ist (was sich ausbessern lässt).
• Einige Beispiele dafür, was Funktionen höherer Ordnung sind, habe ich genannt: Differenzierung, Komposition.

--Daniel5Ko 01:10, 7. Jul. 2010 (CEST)

Warum ich die Formulierung nicht gut finde:

Ich kenne den Ausdruck nicht, und bin immerhin promovierter Mathematiker. Für mich ist der Satz deshalb unverständlich. Und das dürfte den meisten anderen Lesern auch so gehen (vgl. die Diskussion bei Funktion höherer Ordnung). Außerdem geht es in dem Aufzählungspunkt gar nicht darum, wie eine Funktion angegeben (spezifiziert) wird, wie in den Aufzählungspunkten darüber, sondern darum, wie man Funktionen erzeugen kann. Das ist etwas anderes.

Man sollte es also an anderer Stelle unterbringen. Dann kann man es auch noch etwas erweitern um es klarer zu machen. Ich habe deine Änderungen revertiert, weil sie in meinen Augen einfach eine Verschlechterung waren. -- Digamma 07:06, 7. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe mal "Funktionen höherer Ordnung" durch "Verknüpfungen und Operationen" ersetzt. -- Digamma 10:33, 7. Jul. 2010 (CEST)

Ist in Ordnung. Ich finde den Ausdruck "Funktion höherer Ordnung" eigentlich auch nicht besonders gut, denn er führt eine für den normalen Gebrauch zunächst unnötige Hierarchisierung ein. Im Endeffekt sind das eben auch nur Funktionen (Verknüpfung und Operation sind Synonyme). Den Grund, die höhere Ordnung zu betonen, sah ich lediglich darin, dass viele Leute glauben, die genannten Beispiele seien Spezialkonstruktionen, die irgendwie doch keine Funktionen sind.

Zur Unterscheidung zwischen "Spezifizierung" und "Erzeugung": Wo bitte soll da der Unterschied ein? (Und siehe auch Jänich: Lineare Algebra, das Determinanten-Kapitel und die Bemerkung, die mit dem Satz endet: "Sie wollen daraus jedoch bitte nicht schließen, dass es unter Mathematikern zum guten Ton gehört, nicht zu wissen, wie man eine Determinante berechnet." :) Dort wird eine Funktion durch eine Reihe von gewünschten Eigenschaften definiert. Erst später wird durch einen Satz und Beweis sichergestellt, dass es auch tatsächlich eine Funktion ist. Und wie die Berechnung erfolgt, kommt noch später. Nichts desto trotz ist die Spezifizierung schon ganz zum Anfang fertig.) --Daniel5Ko 15:36, 7. Jul. 2010 (CEST)

Ich will da nicht darauf herumreiten. Nach einem weiteren Blick darauf passt es für mich: Eine Funktion wird angegeben durch einen Term, der Verknüpfungen von und Operationen mit Funktionen enthält. Das ist für mich so OK. Ich dachte erst, der Schwerpunkt läge auf einem andern Gesichtspunkt: Wie erzeuge ich aus gegebenen Funktionen neue. Das hatte ich gemeint. -- Digamma 15:51, 7. Jul. 2010 (CEST)

Okay, alles klar. --Daniel5Ko 17:45, 7. Jul. 2010 (CEST)

Wie sollte geschrieben werden?

Bei meiner Bemühung um einen Entwurf zur Umgestaltung des Artikels erhebt sich u.a. die Frage, welche Formelgestaltung im laufenden Text angebracht ist. Vielleicht kann mir dazu jemand einen Rat zuteilwerden lassen.

Mit WikiTech geschriebenen Formeln im laufenden Text sind oft unbefriedigend im Aussehen:

Ist ${f}$ eine Funktion, die dem Objekt ${u}$ das Objekt ${v}$ zuordnet, dann sagt man, das geordnete Paar ${(u,v)}$ ist Element von ${f}$ und schreibt für ${(u,v)\in f}$ auch ${f\colon u\mapsto v}$.

Hier erscheinen u, v und f einmal fast wie gewöhnlicher kursiver Tex, ein anderes Mal wie mathematischer Text: ${u}$$\,{u}$, ${v}$$\,{v}$, ${f}$$\,{f}$. Benutzt man den „Intext-Modus“ vom WikiTech, steht alles in mathematischer Form:

Ist $\,^{f}$ eine Funktion, die dem Objekt $\,^{u}$ das Objekt $\,^{v}$ zuordnet, dann sagt man, das geordnete Paar $\,^{(u,v)}$ ist Element von $\,^{f}$ und schreibt für $\,^{(u,v)\in f}$ auch $\,^{f\colon u\,\mapsto \,v}$.

Auch diese Form ist wegen der geringen Größe der Formeln nicht voll befriedigend. Den Unterschied heben vielleicht etwas längere Beispiele stärker heraus:

Ist ${{\text{D}}\!_{f}\subseteq A}$ und ${{\text{W}}\!\!_{f}\subseteq B}$,   dann sagt man:  ${f}$ ist eine Funktion von ${A}$ nach ${B}$.  Insbesondere nennt man ${f}$

• total, wenn ${{\text{D}}\!_{f}=A}$,
• partiell, wenn ${{\text{D}}\!_{f}\subset A}$,
• surjektiv, wenn ${{\text{W}}\!_{f}=B}$,
• bijektiv, wenn ${f}$ sowohl surjektiv als auch injektiv ist.

Für die Aussage  “${f}$ ist eine Funktion von ${A}$ nach ${B}$ "   schreibt man  “${f\colon A\rightarrowtail B}$”  und setzt auf den Pfeil, wenn erforderlich, die Anfangsbuchstaben der zutreffenden Prädikate. Verwendet man anstelle des Pfeils “${\rightarrowtail }$” den Normalpfeil “${\rightarrow }$”, dann steht  “${f\colon A\rightarrow B}$”  für  “${f}$ ist eine totale Funktion von ${A}$ nach ${B}$ ".

Ist $\,^{{\text{D}}\!_{f}\subseteq A}$ und $\,^{{\text{W}}\!\!_{f}\subseteq B}$,   dann sagt man:  $\,^{f}$ ist eine Funktion von $\,^{A}$ nach $\,^{B}$.  Insbesondere nennt man $\,^{f}$

• total, wenn $\,^{{\text{D}}\!_{f}=A}$,
• partiell, wenn $\,^{{\text{D}}\!_{f}\subset A}$,
• surjektiv, wenn $\,^{{\text{W}}\!_{f}=B}$,
• bijektiv, wenn $\,^{f}$ sowohl surjektiv als auch injektiv ist.

Für die Aussage  “$\,^{f}$ ist eine Funktion von $\,^{A}$ nach $\,^{B}$ "   schreibt man  “$\,^{f\colon A\rightarrowtail B}$”  und setzt auf den Pfeil, wenn erforderlich, die Anfangsbuchstaben der zutreffenden Prädikate. Verwendet man anstelle des Pfeils “$\,^{\rightarrowtail }$” den Normalpfeil “$\,^{\rightarrow }$”, dann steht  “$\,^{f\colon A\rightarrow B}$”  für  “$\,^{f}$ ist eine totale Funktion von $\,^{A}$ nach $\,^{B}$ ".
-- 80.134.182.32 13:53, 10. Okt. 2010 (CEST)

Da die Frage nicht nur diesen Artikel, sondern alle mathematischen Artikel betrifft: Stell die Frage doch bitte auf der Portalseite (Portal Diskussion:Mathematik).

Aber kurz eine Anmerkung: Was soll der "Intext"-Modus von WikiTeX sein? Du schreibst hier kleiner, indem Du durch die ^-Zeichen auf \scriptstyle umschaltest, die Schriftgröße für hoch- und tiefgestellte Indizes. Das ist allerhöchstens ein Notbehelf. -- Digamma 17:27, 10. Okt. 2010 (CEST)

gudn tach!

gestern revertierte ich die aenderungen [5], die vermulich vom gleichen user stammen.

grund dafuer war, dass die formatierung so extrem umgestaltet und unueblich im vergleich zu den anderen artikeln war, dass mir eine rein format-betreffenede ueberarbeitung zu umfangreich erschien. unsere richtlinien zum formelsatz koennen in hilfe:teX nachgelesen werden. was normalen textsatz betrifft, ist WP:TYP die erste anlaufstelle. diese beiden richtlinien empfehle ich dem user 80.134.* waermstens.

z.b. <math>\,{r}</math> ist einfach nur eine im source code schlecht lesbare version des simpleren <math>r</math>. fettgeschrieben werden sollte eigentlich nichts ausser dem lemma und evtl. synonymen. kuenstliche zeilenumbrueche vor ueberschriften sorgen normalerweise nur fuer inkonsistente abstaende. usw. usf.

ich werde aber mal im mathe-portal fragen, ob sich jemand die zeit nehmen moechte, sich die inhaltiche umstrukturierung mal anzuschauen. -- seth 21:48, 17. Nov. 2010 (CET)

Danke für die wärmsten Empfehlungen, Lustiger seth! Die benannten Änderungen finden sich, mit LaTeX geschrieben, hier. Vielleicht wird man auch einmal mit einem WikiTeX ansehnlich schreiben können. -- 80.134.165.102 15:45, 18. Nov. 2010 (CET)

gudn tach!

ja, unser tex ist leider wirklich nicht so huebsch wie das richtige, zumindest im fliesstext. noch dazu kommt u.a. die schwierigkeit, dass sich bei uns die schrift an den browser anpassen muss. aber auch das wird langsam immer ein stueckchen besser.

das von dir getexte dokument allerdings ist typographisch auch nicht besonders gelungen. fett und kursiv, manchmal sogar gleichzeitig, in so rauhen mengen fuehrt zu einem sehr unruhigen schriftbild. die typographen bei uns koennen dir genauer erklaeren, was daran alles unguenstig ist. danke jedenfalls fuer den link, dessen inhalt sich schon mal etwas besser liest als die wiki-umsetzung. vielleicht findet ja irgendjemand zeit, den text inhaltlich mit dem wiki-artikel zu vergleichen und ggf. teile entsprechend umzustrukturieren. -- seth 22:21, 18. Nov. 2010 (CET)

Allgemeinerer Funktionsbegriff

Allenfalls, Lustiger seth, würde ich mich bereitfinden, meinen Entwurf wie im ersten der beiden nachstehenden Beispiele gezeigt, abzuändern, jedoch keinesfalls wie im zweiten.

Argumentebereich, Wertebereich, Inverse, injektive Funktion, Funktionsargument, Funktionswert

• Die linken und die rechten Komponenten der Elemente von $\,{f}$ bilden den »Argumente–« respektive »Wertebereich von $\,{f}$«, notiert mit $\,{{\mathsf {A}}_{f}}$ bzw. $\,{{\mathsf {W}}_{f}}$.  (Bezeichnung und Notation dieser Begriffe erfolgt in der Literatur unterschiedlich.)
  

• Die Elemente im Argumentebereich und die im Wertebereich von $\,{f}$ nennt man »Argumente«- bzw. »Werte für $\,{f}$«.
  

• Werden in allen Elementen von $\,{f}$ die Komponenten vertauscht, dann erhält man ihre »Inverse«, sie wird mit $\,{f}$⁻¹ bezeichnet.
  

• Ist sowohl $\,{f}$ als auch $\,{f}$⁻¹ eindeutig, dann heißt $\,{f}$ »eineindeutig« oder »injektiv«.
  

• Ist $\,{(x,y)\in f}$, dann nennt man $\,{y}$ einen  »Funktionswert von $\,{f}$ für das Argument $\,{x}$«  und $\,{x}$ ein  »Funktionsargument von $\,{f}$ für den Wert $\,{y}$«.  Ist $\,{f}$ eindeutig, dann bezeichnet man den Funktionswert von $\,{f}$ für das Argument $\,{x}$ mit $\,{f(x)}$ oder $\,{fx}$.
  

Argumentebereich, Wertebereich, Inverse, injektive Funktion, Funktionsargument, Funktionswert

• Die linken und die rechten Komponenten der Elemente von ${f}$ bilden den »Argumente–« respektive »Wertebereich von ${f}$«, notiert mit ${{\mathsf {A}}_{f}}$ bzw. ${{\mathsf {W}}_{f}}$.  (Bezeichnung und Notation dieser Begriffe erfolgt in der Literatur unterschiedlich.)
  

• Die Elemente im Argumentebereich und die im Wertebereich von ${f}$ nennt man »Argumente«- bzw. »Werte für ${f}$«.
  

• Werden in allen Elementen von ${f}$ die Komponenten vertauscht, dann erhält man ihre »Inverse«, sie wird mit ${f}$⁻¹ bezeichnet.
  

• Ist sowohl ${f}$ als auch ${f}$⁻¹ eindeutig, dann heißt ${f}$ »eineindeutig« oder »injektiv«.
  

• Ist ${(x,y)\in f}$, dann nennt man ${y}$ einen  »Funktionswert von ${f}$ für das Argument ${x}$«  und ${x}$ ein  »Funktionsargument von ${f}$ für den Wert ${y}$«.  Ist ${f}$ eindeutig, dann bezeichnet man den Funktionswert von ${f}$ für das Argument ${x}$ mit ${f(x)}$ oder ${fx}$.
  

-- 80.134.153.190 (18:32, 19. Nov. 2010 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Wo kommt denn dieser Eifer her, den ganzen Artikel umzuschreiben? Es ist besser, wenn du hier mal deine Kritik äußerst und ein paar andere Meinungen einholst. So beim überfliegen deiner Texte fand ich die nämlich inhaltlich nicht besser als die jetzige, alte Version, insbesondere unverständlicher. Der zentrale Funktionsbegriff basiert auf der Eindeutigkeit des Bildes. Verallgemeinerungen, wie z.B. Mehrdeutigkeiten sollen erwähnt werden, aber nicht den ganzen Artikel durchdringen. Die Typographie ist hingegen sekundär. --χario 23:12, 21. Nov. 2010 (CET)

Das Umschreiben, Xario, war in weniger als fünf Minuten mit Hilfe der Ersetzungsfunktion des Editors vollbracht. Die jetzt wieder aktuelle Version gibt einen verengten Funktionsbegriff wieder, der wohl noch an Schulen von Lehrern gepflegt wird, jedoch nicht den heutigen Vorstellungen entspricht. (arme Wiki!) -- 80.134.213.238 13:14, 22. Nov. 2010 (CET)

Welche Funktionen werden denn von der aktuellen Definition nicht erfasst? --Pberndt _(DS) 14:04, 22. Nov. 2010 (CET)

Ich finde es auch unerträglich, wie hier dieselben Lügen wie in den Grundstudiumsvorlesungen verbreitet werden. Ohne den auf Hyperklassen 2. Stufe basierenden allgemeinen Funktionenbegriff hätte Wiles den Fermatschen Satz nicht beweisen können!--Bernard2 14:53, 22. Nov. 2010 (CET)

Wenn da mal nur keine Zensur am Werke ist... Könnte 80.134... vieleicht mal klipp und klar sagen, was am aktuell im Artikel dargestellten Funktionsbegriff "verengt" ist? Und wie er/sie darauf kommt, dass er/sie keine Minderheitenmeinung vertritt? --χario 08:14, 23. Nov. 2010 (CET)

Xario, Sie haben vermutlich die Einleitung meines Entwurfs übersehen. Was die Minderheitenmeinung betrifft, empfehle ich Lektüre von Autoren, die vielfach in mathem. WIKI-Artikeln zitiert werden, zB. von Obershelp und Ebbinghaus -- 80.134.208.11 10:38, 23. Nov. 2010 (CET)

Meinst du diese Einleitung? Funktionen, auch spricht man von Abbildungen, stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt, sie ordnen mathematischen Objekten mathematische Objekte zu. Ordnet eine Funktion dem Objekt $\,{u}$ das Objekt $\,{v}$ zu, dann sagt man, das geordnete Paar $\,{(u,v)}$ ist Element der Funktion, sieht also Funktionen aus geordneten Paaren bestehend an und auch umgekehrt jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse als Funktion. Man schreibt, wenn $\,{f}$ eine Funktion ist, für $\,{(u,v)\in f}$ auch $\,{f\colon u\mapsto v}$. Ordnet eine Funktion keinem Objekt mehr als 1 Objekt zu, dann nennt man sie »eindeutig«, andernfalls »mehrdeutig«. Üblicherweise steht “Funktion”, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, für “eindeutige Funktion”.

Warum ich sie für schlechter halte:

• weniger leicht verständlich
• warum "Objekte" wenns defacto und klassisch nahezu immer um Mengen geht?
• die Mehrdeutigkeit muss in der Einleitung imho nicht erwähnt werden, so zu tun als wäre die Eindeutigkeit nicht zentral ist irreführend
• die "geordnete Paar"-Sichtweise ist nur eine von mehreren

Deine Anmerkung in der gleichen Version sagts schon:

"Anmerkung: Der hier vorgestellte Funktionsbegriff ist sehr allgemein. In der Literatur finden sich oftmals Einschränkungen, zum Beispiel werden nur eindeutige Paar-Klassen als Funktionen zugelassen oder nur Paar-Mengen oder noch weiter eingeschränkt nur eindeutige Paar-Mengen zugelassen."

Nur dass "oftmal" ein klares Understatement ist...

Andere Meinungen? --χario 12:49, 23. Nov. 2010 (CET)

Bin ganz deiner Meinung. -- Digamma 21:27, 23. Nov. 2010 (CET)

Die Notwendigkeit für einen allgemeineren Funktionsbegriff wird auch sehr gut in dem Buch von Serge Lang dargestellt.--Bernard2 13:01, 23. Nov. 2010 (CET)

Ob diese Verallgemeinerung so nun unter Mengenlehrerlern verbreitet ist oder nicht kann ich nicht sagen. Nichtsdestotrotz ist sie sich er nicht allgemeingebräuchlich. Daher bin ich dagegen, den ganzen Artikel dahingehend umzugestalten. Nach Funktionen werden in der WP vorwiegend Menschen suchen, die nicht zufällig Mathematik studieren. Unser Ziel sollte nicht sein, dass die schon nach dem ersten Satz aussteigen, weil sie nichts mehr verstehen. Einen Abschnitt am Ende des Artikels über die Verallgemeinerung würde ich aber natürlich begrüßen! --Pberndt _(DS) 23:59, 23. Nov. 2010 (CET)

gudn tach!

ja, so einen zusaetzlichen abschnitt faend ich auch wesentlich besser als den kompletten artikel umzuschreiben. -- seth 19:53, 26. Nov. 2010 (CET)

Bernard2 scheint mir einer der wenigen Mathematiker die sich im Forum Mathematik zu Wort melden, die auch Mathematik verstehen. Ich jedenfalls bin es leid, mich hier um mathematisches Niveau zu Bemühen, womit ich hiermit insbesondere diejenigen anspreche, die ungewohnt im mathematischen Denken sind und auch diejenigen, welche äußere Form wichtiger als Inhalt ansehen. -- 80.134.175.82 17:14, 23. Nov. 2010 (CET)

Wenn Du uns so kommst: Ich bin promovierter Mathematiker und habe meine Diplomarbeit über ein Thema aus der axiomatischen Mengenlehre geschrieben.

Ich sehe nicht, inwiefern Deine Änderungen das mathematische Niveau heben. -- Digamma 21:32, 23. Nov. 2010 (CET)

Eins der Hauptprobleme ist, dass du nicht versuchst mit Argumenten zu diskutieren. Und in Anbetracht der Überschrift glaube ich, dass du einen grossen Teil der Ironie in Bernhard2s Bemerkungen verpasst hast... --χario 21:42, 23. Nov. 2010 (CET)

die nichtssagenden ueberschriften habe ich soeben geaendert bzw. geloescht. -- seth 19:53, 26. Nov. 2010 (CET)

Obgleich ich kein Interesse mehr an einer Übernahme meines Entwurfs habe, möchte ich diesen doch hier kurz erläutern: In meinem Entwurf finden sich Aussagen und Definitionen über Paarklassen und zwar ohne jegliche Einschränkungen, die ja weder nötig sind noch zu verstehen wären. Alles im Entwurf ist präzise definiert und in keiner Definition wird ein Begriff verwendet, der nicht zuvor gegeben wurde. Da es dem aktuellen Artikel dem Genannten in nicht unbeträchtlichem Maße ermangelt, hatte ich mich zu meinem Entwurf entschlossen. -- 80.134.175.180 13:23, 30. Nov. 2010 (CET)

Formale Begriffsdefinition für »Funktion«

Damit meine obige Bemerkung »Da es dem aktuellen Artikel dem Genannten in nicht unbeträchtlichem Maße ermangelt,...« nicht unbegründet erscheint, spreche ich hier zunächst nur einen Punkt im Artikel an: Einer verbalen oder semiformalen Beschreibung eines mathem. Begriffs muss dem Autor selbstverständlich eine mathem. korrekte formale Begriffsdefinition vor Augen liegen. Der verbalen Beschreibung des Funktionsbegriffs in der Einleitung meines Artikelentwurfs gibt folgende formale Definition wieder:

$\mathrm {Funktion} \,f:\leftrightarrow \forall x\in f\colon \mathrm {Paar\,} x$

$\mathrm {eindeutige\,Funktion} \,f:\leftrightarrow \mathrm {Funktion} \,f\wedge \neg \,\exists x,y\in f\colon (x\not =y\wedge \!\,^{\mathrm {left} }x=\!\,^{\mathrm {left} }y)$

$\mathrm {mehrdeutige\,\,Funktion} \,f:\leftrightarrow \mathrm {Funktion} \,f\wedge \neg \,\mathrm {eindeutige\,Funktion} \,f$

Im aktuellen Artikel erkenne ich keine den Beschreibungen zugrundeliegende formale Definition des Funktionsbegriffs. Sehe ich zu kurz oder gibt es gar keine, was ich vermute. -- 80.134.213.211 11:15, 2. Dez. 2010 (CET)

Der Abschnitt „Definitionen und Konventionen“ gibt soweit ich das überblicke bis auf die Forderung nach Rechtseindeutigkeit (für sämtliche Funktionen) genau diese Definition an. Dass sie dort in Worten wiedergegeben wird, statt verklausuliert, tut der Formalität dieser Definition mMn nichts ab. Ich kenne wie gesagt für Relationen, die nur linkstotal sind, den Begriff Multifunktion (In EN gibt es dazu en:Multivalued function) als Abgrenzung vom Funktionsbegriff. --Pberndt _(DS) 14:40, 2. Dez. 2010 (CET)

Lieber Bernd, als Mathematiker ist Ihnen geläufig, dass ein mathem. Begriff erst dann als ausreichend definierte angesehen werden kann, wenn er auch mit mathem. Ausdrucksmitteln, das ist nichts anderes als der Prädikatenkalkül, wie beispielsweise oben ausgeführt, beschrieben ist (was nicht heißt, dass eine formale Definition im Artikel vorgetragen werden muss.) Im akt. Artikel definiert man »Funktion« auch als Tripel. Ich habe Zweifel, ob das formal zufriedenstellend möglich ist, denn sonst stände der Artikel nicht auf mathem. Boden. Versuchen Sie es doch einmal, eine formale Def. für den im Artikel gegebenen Funktionsbegriff hier anzugeben. Wenn Ihnen das gelingt, könnte man die im akt. Art. gegebenen Definitionen kritisch beleuchten. Ich bin gespannt! -- 80.134.179.171 18:12, 2. Dez. 2010 (CET)

Ich bin weder Mengentheoretiker noch Logiker, daher verkenne ich fürchte ich die Problematik total. Wo genau liegt denn das Problem mit der Variante (wir sind bei der 3. Version, nicht?), die dort steht: (G_f, D, Z) Funktion(Im Sinne von 3) :⇔ G_f ⊂ D x Z ∧ (G_f, Z) Funktion(Im Sinne von 2)?! --Pberndt _(DS) 18:03, 2. Dez. 2010 (CET)

Kurz: Im Artikel ist »Funktion« einmal als Menge geordneter Paare definiert, ein andermal als Tripel, also nicht als Menge geordneter Paare, was eine Kontradiktion ist, mithin nicht als Definition gelten kann. -- 80.134.179.171 18:35, 2. Dez. 2010 (CET)

Ach das ist Deine Kritik. Wenn Du so streng vorgehen willst, gut. Ich glaube, dass Du in dem Fall die Definitionen schlichtweg falsch in die Prädikatenlogik überträgst. Der korrekte Weg wäre dann „f Funktion :⇔ (f Menge geordneter Paare ∧ f Funktion im Sinne von (1)) ∨ (f Tupel ∧ f Funktion im Sinne von (2)) ∨ (f Tripel ∧ f Funktion im Sinne von (3))“. Diese Definition ist praktisch sinnvoll, wenn man (und vermutlich kann man das) jede Funktion im Sinne einer der Definitionen eineindeutig mit je einer im Sinne der anderen beiden identifizieren kann. (So etwas ist sehr verbreitet. Ich kenne z.B. meineswissens niemanden, der es vermeidet, „f ist stetig“ zu sagen (obwohl f ja in einem topologischen, metrischen, usw. Raum leben kann)) -- Pberndt _(DS) 19:11, 2. Dez. 2010 (CET)

Es handelt sich hier um einen Artikel im Portal Mathematik und unterliegt mithin den Prinzipien dieser Disziplin. Ich werde, wenn ich Zeit finde, morgen Antworten. Gruß! -- 80.134.175.165 21:55, 2. Dez. 2010 (CET)

{(1,f),(2,D),(3,W)} ist eine Funktion im Sinne von (1) aber auch eine Funktion im Sinne von (3): {(1,f),(2,D),(3,W)}=(f,D,W) (siehe eine der Tupel-Definitionen als Menge) -- 80.134.194.35 10:26, 3. Dez. 2010 (CET)

Da ist etwas dran; diese Definition eines Tupels war mir nicht bekannt. Wäre es vielleicht eine Lösung, die dritte „Definition“ schlicht als „man notiert auch“ zu formulieren? --Pberndt _(DS) 11:24, 3. Dez. 2010 (CET)

Ich glaube, bei der IP herrscht ein grundsätzliches Missverständnis darüber, wozu diese mengentheoretisch-formalen Definitionen in der Mathematik dienen. Sie dienen nicht dazu, zu erklären, was (in diesem Fall) Funktionen sind, sondern klar zu machen, dass man den Begriff in konsistenter Weise auf den der Menge zurückführen kann. Wenn man Mengenlehre betreibt, dann ist es natürlich wichtig, sich im Verlauf des Aufbaus des mathematischen Gebäudes auf eine Definition festzulegen.

In den allermeisten Fällen kommt der praktische Mathematiker aber ohne so eine formal-mengentheoretische Definition aus (und erst recht der Anwender und der Gymnasialschüler). Worauf es hier ankommt, ist, das Objekt durch seine Eigenschaften zu charakterisieren. So ist es durchaus sinnvoll, dass ein Mengentheoretiker eine Funktion mit ihrem Graphen (als Menge von Paaren aus Urbild und Bild) identifiziert, während es für den Algebraiker wichtig ist, die Zielmenge explizit zu machen (sonst könnte man nicht davon sprechen, dass eine Funktion surjektiv ist).

Wenn ein Mathematiker schreibt: "Eine Funktion ist eine Menge von geordneten Paaren", dann meint er nichts anderes als, dass eine Funktion eindeutig durch ihren Graph gegeben ist, und deshalb mit diesem identifiziert werden kann. Schreibt ein anderer Mathematiker, dass eine Funktion ein Tripel (D, G, W) sei, dann meint er damit, dass eine Funktion durch die Angabe von Definitionsbereich, Graph und Wertebereich gegeben ist, und dass zwei Funktionen nur dann gleich sind, wenn alle drei Angaben übereinstimmen. Damit benutzt er einen anderen Funktionsbegriff als der erste Mathematiker, aber nicht deshalb, weil bei ihm die Funktion mengentheoretisch ein Tripel ist, sondern deshalb, weil nach seiner Definition zwei Funktionen, die denselben Graphen besitzen, dennoch verschieden sein können. -- Digamma 12:57, 3. Dez. 2010 (CET)

Ad Pbernd: Als Mathematiker würde ich »nein« sagen. Man kann zwar $\,^{(f,D,W)}$ formal so definieren, dass $\,^{\{(1,f),(2,D),(3,W)\}\not =(f,D,W)}$, allerdings ist dies recht aufwendig.

Für die Aussage  »$\,{f}$ ist eine Funktion von $\,^{U}$ nach $\,^{V}$«    schreibt man bekanntlich  »$\,^{f\colon U\!\rightsquigarrow V}$«, damit hat man im Grunde schon das, was mit »$\,^{(f,D,W)}$« gemeint ist. In der Fachliteratur wird Funktion als Tripel für redundant angesehen und daher auch kaum noch erwähnt. Hinzu kommt, dass mit »$\,^{f\colon U\!\rightsquigarrow V}$« ein allgemeinerer Funktionsbegriff erfasst wird, zum Beispiel $\,^{f\colon \mathbb {N} ^{n}\,\to \,\{x\,|\,x\;\mathrm {ist\;eine\;Gruppe} \}}$, womit gesagt ist, dass $\,^{f}$ eine n-gliedrige Folge von Gruppen ist. Diese kann man nicht als Funktion in Tripelform angeben, da $\,^{\{x\,|\,x\;\mathrm {ist\;eine\;Gruppe} \}}$ keine Menge ist. -- 80.134.156.51 13:53, 3. Dez. 2010 (CET)

Die Begründung zu diesem „nein“ verstehe ich nicht. Es geht doch nur darum, dass (f,D,W) nicht auf zwei verschiedene Weisen als Funktion interpretiert werden kann. Das wäre erfüllt, wenn man Tripel nicht mehr Funktion nennt. --Pberndt _(DS) 22:18, 3. Dez. 2010 (CET)

Ad Digamma: Bei wem ein grundsätzliches Missverständnis herrscht ist die Frage. Ich merke schon, dass hier Mathematik unterschiedlich verstanden wird. Ich bin kein Schullehrer. Wäre ich einer, würde ich wohl fragen, warum im Tupel- und Paar-Artikel so eingehend die Darstellung als Menge behandelt wird. -- 80.134.156.51 13:53, 3. Dez. 2010 (CET)

Keine Ahnung, dazu habe ich nicht beigetragen. -- Digamma 14:44, 3. Dez. 2010 (CET)

Fühlt sich Digamma als verantwortlicher Sichter nicht aufgerufen, die genannten Artikel vom Mengenkram zu befreien? -- 80.134.194.27 14:57, 3. Dez. 2010 (CET)

Ich habe nichts gegen "Mengenkram". Ich habe überhaupt nichts dagegen, wenn der Artikel darstellt, wie man den Begriff der Funktion mengentheoretisch präzisieren kann. Auch dass es dafür verschiedene Ansätze gibt. Diese mengentheoretische Präzisierung sollte allerdings nicht an Stelle der allgemeinen Erklärung des Begriffs stehen. -- Digamma 15:24, 3. Dez. 2010 (CET)

Ad Digamma, Wilfried Neumaier, ...  Könnte man Nachstehendes als eine präzise und allgemeinverständliche Beschreibung des keinen Einschränkungen unterworfenen Funktionsbegriffs ansehen, eine Beschreibung, aus der auch der Mengen- Klassencharakter des Begriffs schon klar in Erscheinung tritt? Meine Formulierungskunst ist nicht gerade die Größte, vielleicht hat jemand Verbesserungsvorschläge.

Funktionen, auch spricht man von Abbildungen, stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt, sie ordnen mathematischen Objekten, zum Beispiel Zahlen, mathematische Objekte zu. Ordnet eine Funktion dem Objekt  u  das Objekt  v  zu, dann sagt man, das geordnete Paar  (u,v)  ist Element der Funktion, sieht also Funktionen aus geordneten Paaren bestehend an und auch umgekehrt jede Zusammenfassung geordneter Paare als Funktion. Man schreibt, wenn F eine Funktion ist, für  (u,v) $^{\in }$ F  auch  F : u $^{\mapsto }$ v.  Ordnet eine Funktion keinem Objekt mehr als 1 Objekt zu, dann nennt man sie »eindeutig«, andernfalls »mehrdeutig«. Üblicherweise steht “Funktion”, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, für “eindeutige Funktion”.

Beispiele: 

Q  ordnet jeder positiven reellen Zahl, r, ihre beiden Quadratwurzeln zu:  Q : r $^{\mapsto }$ +|$^{\sqrt {}}$r |  und  Q : r $^{\mapsto }$ −|$^{\sqrt {}}$r |    (mehrdeutige Funktion)

L  ordnet jedem geordneten Paar, (u,v), seine linke Komponente zu:  L : (u,v) $^{\mapsto }$ u    (eindeutige Funktion)

-- 80.134.215.248 17:58, 4. Dez. 2010 (CET)

Wenn Du schon nicht als eingetragener Benutzer schreibst: Könntest Du mit einem Namen unterschreiben, damit man Dich ansprechen kann?

Du schlägst gerade das Gegenteil von dem, was ich gemeint habe, vor. Die mengentheoretische Präzisierung des Begriffs einer Funktion gehört gerade nicht in die Einleitung oder in die grundlegende Definition, sondern in einen späteren Abschnitt. Dort kann man dann aber auch richtig technisch werden.

Ich habe bei Herrn Ebbinghaus, dessen Buch du oben erwähnst, nicht nur Vorlesungen über Mengenlehre, sondern auch die einführende Vorlesung über Lineare Algebra gehört. In dieser hat er Funktionen wie folgt definiert:

Definition

Eine Funktion ist durch

(a) eine Menge M (Definitionsbereich)

(b) eine Menge N (Bildbereich)

(c) eine Zuordnung f, die jedem Element a aus M genau ein Element f(a) aus N zuordnet.

Vielleicht zeigt das, was ich meine. Die Definition, die er in der Mengenlehre-Vorlesung gegeben hat, war sicherlich eine andere, aber davon habe ich leider keine Mitschrift parat. -- Digamma 18:54, 4. Dez. 2010 (CET)

Gebt dem Standardgebrauch mehr Gewicht. Die Funktion ist funktional, die mehrdeutige Funktion nicht, eine mehrdeutige Funktion ist keine Funktion. Gerade wie das Maß positiv ist, das signierte Maß nicht und ein signiertes Maß kein Maß ist. --Erzbischof 18:18, 4. Dez. 2010 (CET)

Wie oben schon gesagt: Das finde ich auch essentiell für den Funktionsbegriff. Mehrdeutige Funktionen (Multifunktionen) sollten in ein eigenes Lemma. --Pberndt _(DS) 19:01, 4. Dez. 2010 (CET)

Ich nähme nicht Ebbinghaus sondern Oberschelp und brächte “mehrdeutige Funktion” nicht in einem Subkapitel unter, anderes wäre nicht zu verstehen. Seit Mitte der 70ger Jahre bin ich in meinen Vorlesungen immer so verfahren, weil das am transparentesten und definitorisch am einfachsten ist. NB: (f,M,N) steht doch nur für die allgemeinere Aussage f : M $^{\rightsquigarrow }$ N. Georg / 80.134.181.214 12:50, 5. Dez. 2010 (CET)

Ja. Oberschelp betont in der Einleitung die Konzeption der Funktion als eindeutige Zuordnung und eigenständiges Konzept und moderiert die exakte Definition über Relationen, wenn ich die Vorschaufunktion auf das Buch richtig interpretiere. --Erzbischof 14:22, 5. Dez. 2010 (CET)

Ja, Erzbischof, so ist es, und Ihre Formulierung “eine mehrdeutige Funktion ist keine Funktion” im Beitrag oben vom 18:18, 4. Dez. 2010 darf ich wohl als Scherz verstehen. Georg / 80.134.205.99 17:39, 5. Dez. 2010 (CET)

Georg, das, was du oben beschreibst, ist erstmal nur eine zweielementige Relation. Eine Funktion zeichnet sich ja dadurch aus, dass es nicht nur eine x-beliebige zweielementige Relation ist, sondern, dass es eine linkstotale, rechtseindeutige, zweielementige Relation ist. (Wobei die Klasse aller linken Elemente eine Menge ist.) --Eulenspiegel1 17:50, 5. Dez. 2010 (CET)

Gegenfrage: Ist eine partielle Funktion eine Funktion? --Erzbischof 18:28, 5. Dez. 2010 (CET)

Georg, eine Relation als Funktion zu bezeichnen, ist ziemlich unüblich, nur sehr selten anzutreffen (leider gibt es solche Ausnahmen). Das tut nicht einmal Oberschelp, der so ziemlich den allgemeinsten gängigen Standpunkt vertritt. Zu was sollte man den Funktionsbegriff umfunktionieren und synonym zum Relationsbegriff machen? Man hat ja den Relationsbegriff und braucht dann kein missverständliches Synonym.

Ich habe weiter oben kurz für den allgemeineren Funktionsbegriff plädiert, weil ich ihn von verschiedenen Seiten tatsächlich kenne. Aber die Darstellungsweise von Oberschelp ist nicht empfehlenswert, zu viele Sonderzeichen und eine umständliche Einführung. Ich würde einfach in der Definition, die im Artikel steht, die Wörter 'Menge' durch 'Klasse' ersetzen, dann ist alles gesagt. Alle Probleme, die durch den speziellen Gebrauch in der Mengenlehre entstehen, sind dann weg, auch wenn die Mengenversion zweifellos am weitesten verbreitet ist. Dann sind alle Funktoren auch Funktionen .... Man könnte natürlich auch 'Klasse oder Menge' sagen, was vielleicht hilfreich ist für die, die (unnötige) Angst vor Klassen haben. Mengen sind ja spezielle Klassen. Wenn man auf den naiven Standpunkt abhebt, wie oben ein Beitrag wünscht, dann wäre auch der Begriff 'Klasse' besser, weil Klassen ja heute die naiven Mengen von anno dazumal sind. Man muss dann auch nicht mehr das Wörtchen 'naiv' hinzusetzen, das für manche einen pejorativen Beigeschmack hat.

Wenn man von Funktionen als rechteindeutigen Relationen (Paarklassen) ausgeht, dann kann man den Definitionsbereich und den Bildbereich definieren und es ergeben sich automatisch linkstotale, surjektive Funktionen. Diese Forderung ist also unnötig in diesem Konzept. Oft wird aber das Funktionskonzept unabhängig vom Relationskonzept eingeführt in der Form f:A->B, so dass der Definitionsbereich vorgegeben ist und der Bildbereich eine Teilklasse von B ist. Dieses zweite Konzept ist sehr verbreitet und überall in der Mathematik wichtig. Hier wird die mengentheoretische Definition oft nicht benützt. Erst wenn man beide Konzepte verbindet und f:A->B als spezielle Relation definiert, braucht man die Bedingung 'linkstotal'. Dann können aber auch partielle Funktionen definiert werden, die man dann anders schreibt. Solche partiellen Funktionen sind aber auch rechtseindeutige Relationen, also Funktionen im ersten Konzept, das daher allgemeiner ist. Die verbale Definition im Artikel ist m. E. mit diesem allgemeineren Konzept verträglich. Verbal muss man präzisieren und unterscheiden zwischen 'Funktion' und 'Funktion von A nach B'. Dann kommt man nicht in die Verlegenheit, versehentlich partielle Funktionen auszugrenzen. Es sind 'Funktionen, aber keine 'Funktionen von A nach B', sondern 'Funktionen aus A nach B', so wie ich sie schon bezeichnet gesehen habe.--Wilfried Neumaier 23:14, 5. Dez. 2010 (CET)

Wilfried, danke für die ausführliche Antwort, ich nehme sie zur Kenntnis, auch wenn es mir heftig gegen den Strich geht. Für mich sind das, was man üblicherweise “mehrdeutige Funktion” nennt, Funktionen. Ich weiß nicht, warum man in der modernen Mathematik so oft noch strikt zwischen Relation und Funktion unterscheidet.

Ich sehe mich nun, insbesondere durch Wilfrieds Ausführungen, veranlasst, dem Druck vieler (jedoch, wie die obige Diskussion auch zeigt, nicht aller) Wikipedianer nachzugeben und in diesem Sinne die Definitionen im aktuellen Artikel nochmals zu überarbeiten. Georg / 80.134.173.155 11:21, 6. Dez. 2010 (CET)

Wer von "mehrdeutigen Funktionen" redet, gebraucht natürlich Deine Intention. Für mich ist sie eher unüblich. Ich möchte daher wissen: Warum sprichst Du von "üblicherweise"? --Wilfried Neumaier 11:39, 6. Dez. 2010 (CET)

Die Verallgemeinerung auf mehrdeutige Funktionen will ich nicht verdammen. Man könnte Sie in der entsprechenden Rubrik im Artikel durchaus unterbringen, selbstverständlich mit mathematischen Quellen, die mit dieser Intention arbeiten und die sie erfunden haben. Für mich ist aber doch die starke Haupttradition entscheidend. Seit man von Funktionen spricht (Leibniz, Euler) versteht man darunter eben die eindeutige Zuordnung, wie es ja auch die einleitende Definition im Artikel sagt. Mit dieser Haupttradition war auch stets die seit Euler übliche Funktionsschreibweise f(x) verbunden. f(x) ist sozusagen "das" Funktionssymbol. Dieses typische Symbol wird hinfällig bei mehrdeutigen Funktionen. Das müsste dann auch bei einer Verallgemeinerung bemerkt werden.--Wilfried Neumaier 12:03, 6. Dez. 2010 (CET)

Eigentlich ist es klar, dass die Bezeichnungstradition ist auf unterschiedlichen Gebieten der Mathematik aus ganz pragmatischen Gesichtspunkten nicht einheitlich ist. Da Funktion ein mathematischer Begriff ist, fuer den Wikipedia von Nichtmathematikern herangezogen wird, spricht einiges dafuer zumindest rechtseindeutig zum Teil der Definition zu machen, aber es fehlt tatsaechlich noch ein Abschnitt/Artikel zum verallgemeinerten Funktionsbegriff und auch die Geschichte des Funktionsbegriff faellt ziemlich mager aus. Ad Klassen: warum nicht einfach ZFC--Erzbischof 12:09, 6. Dez. 2010 (CET)

Ad Wilfried: Z.B. finden sich in der Analysis viele nicht-eindeutige Funktionen, etwa die Arkusfunktionen, die ich “üblicherweise” als mehrdeutige Funktionen bezeichnet finde. NB: Viele Definitionen von zum Funktionsbegriff assoziierte Bezeichnungen und Notationen verkomplizieren sich, wenn man sie auf eindeutige Funktionen beschränkt und wirken nach meinen Empfinden oft ausgesprochen unschön.

Ad Erzbischof: Jetzt bin ich irritiert und weiß nicht so recht, wie ich einen Entwurf gestalten soll.
Georg / 80.134.173.155 12:58, 6. Dez. 2010 (CET)

In allen Wiki-Artikeln zu den div. Arcusfunktionen werden diese als normale Funktionen geführt auf einem eingeschränkten Definitionsbereich. Hier liest man nichts von mehrdeutigen Funktionen. Mir sind sie auch nur so bekannt. Aber ich bin hier kein Spezialist.--Wilfried Neumaier 14:30, 6. Dez. 2010 (CET)

Ad Georg: Das war keinesfalls beabsichtigt, mir geht es nur darum, bei der Gestaltung des Entwurfs den breiten Leserkreis im Auge zu behalten, ich will aber nicht weiter reinreden und schaue mal. --Erzbischof 15:15, 6. Dez. 2010 (CET)

Ad Wilfried: Definiere ich “arcsin : [-1,+1) ---> [u,u+2pi)” für eine reelle Zahl u, dann habe ich eine Beschränkung vom arcsin, die ich auch mit arcsin_u bezeichnet fand, jedoch nicht arcsin. Daran ändern auch Wiki-Artikel nichts. Georg / 80.134.174.241 18:06, 6. Dez. 2010 (CET)

Ad Erzbischof: Diese Worte motivieren mich, wollen wir mal sehen, was rauskommt. Georg / 80.134.219.235 16:55, 6. Dez. 2010 (CET)

Ein Entwurf zur Einleitung einer Überarbeitung

Funktionen, auch spricht man von Abbildungen, stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt, sie ordnen mathematischen Objekten mathematische Objekte zu, zum Beispiel 1) jeder reellen Zahl deren Quadrat, 2) jeder Menge ihre Potenzmenge, 3) jeder positiven reellen Zahl ihre beide Quadratwurzeln.

Ordnet eine Funktion keinem Objekt mehr als 1 Objekt zu, dann nennt man sie »eindeutig«, andernfalls »mehrdeutig«, demnach sind die ersten beiden Beispiele eindeutige Funktionen, das dritten eine mehrdeutige.
   Anmerkung: In der Literatur wird vielfach unter “Funktion” eindeutige Funktion verstanden.

Ordnet eine Funktion dem Objekt  u  das Objekt  v  zu, dann sagt man, das geordnete Paar  (u,v)  ist Element der Funktion, sieht also Funktionen aus geordneten Paaren bestehend an und auch umgekehrt jede Zusammenfassung geordneter Paare (Paarklasse) als Funktion.
   Anmerkung: In der Literatur werden vielfach nur solche Paarklassen als “Funktion” angesehen, die Mengen sind.
Georg / 80.134.219.235 17:32, 6. Dez. 2010 (CET)

mMn ist daran didaktisch nicht gut: Die Einleitung sollte eine kurze Einleitung sein, die den Begriff grob umreißt - und nicht mehr. In eigenen Abschnitten können dann Eigenschaften angegeben und das ganze durch Beispiele veranschaulicht werden. Anmerkungen sollten mMn wenn möglich ganz vermieden werden. Dann (mit der Kritik hast Du vermutlich gerechnet): Die Definition sollte gemäß der gebräuchlichsten Verwendung des Funktionsbegriffes erfolgen und die ist eben „rechtseindeutig und rechtstotal“. Dann sollte in einem Abschnitt „Verallgemeinerung“ (den es schon gibt) die Verallgemeinerung auftauchen.. (Eulenspiegel1 hat gerade schon angefangen, den Abschnitt mit Leben zu füllen.) --Pberndt _(DS) 23:03, 6. Dez. 2010 (CET)

Pberndt, was habe ich unter “rechtstotal” zu verstehen? Georg / 80.134.212.193 11:32, 7. Dez. 2010 (CET)

Linkstotal meinte ich natürlich.. (pberndt, nicht eingeloggt) --160.45.45.24 11:56, 7. Dez. 2010 (CET)

...wie es jetzt auch in der Einleitung von "die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge" erfasst wird. --Erzbischof 12:04, 7. Dez. 2010 (CET)

Ad Pbernd: Deine Aussagen im Beitrag 23:03, 6. Dez. implizieren, dass ein Graph nicht “Funktion” genannt werden kann. Könnte Dir folgende Einleitung eher zusagen? Das Beispiel darin ist für diejenigen Leser gedacht, die mit “mathematisches Objekt” zunächst nichts verbinden.

Funktionen, auch spricht man von Abbildungen, stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt, sie ordnen mathematischen Objekten mathematische Objekte zu, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Georg / 80.134.163.12 13:57, 7. Dez. 2010 (CET)

Stilistisch finde ich das als Einleitung auf jeden Fall besser (als Deinen vorherigen Vorschlag). Allerdings sollte schon klar werden, was eine Funktion von anderen Relationen abgrenzt. (Inhaltlich werde ich mich ansonsten absofort lieber raushalten - schlichtweg, weil ich nicht mehr folgen kann: Die von Dir behauptete Implikation ist mir z.B. vollkommen unklar ☺) -- Pberndt _(DS) 00:18, 8. Dez. 2010 (CET)

Ich sehe im Augenblick auch nicht, wo die Verbesserung deines jetzigen Vorschlages gegenüber der aktuellen Einleitung ist. Was gefällt dir an der aktuellen Einleitung nicht? ("Elemente einer Menge" ist genauer als "mathematische Objekte", es wird auf Definitionsbereich und Wertebereich eingegangen sowie auf linkstotal und rechtseindeutig) --Eulenspiegel1 00:52, 8. Dez. 2010 (CET)

Ad Pberndt: Deinem Beitrag vom 23:03, 6. Dez. ist durch die Bemerkung »die ist eben „rechtseindeutig und linkstotal“« zu entnehme, dass Funktionen Tripel (g,A,B) sind, wobei g ein Graph ist, denn sonst hätte “linkstotal” keinen Sinn. Wenn Du nun Graphe auch als Funktionen ansähest, dann wäre auch ((g,A,B),C,D) eine Funktion. -- Georg Roch 11:29, 8. Dez. 2010 (CET)

Ah. Danke! --Pberndt _(DS) 14:30, 8. Dez. 2010 (CET)

Ad Eulenspiegel: Was mir an der Einleitung des akt. Artikels nicht gefällt: Es wird so getan, als gäbe es nur die dort angedeutete Art von Funktion, was jedoch nicht der Fall ist. Im obigen Zusammenhang besagt "Elemente einer Menge" anderes als "mathematische Objekte" -- Georg Roch 11:49, 8. Dez. 2010 (CET)

Könntest du vielleicht eine Lehrbuch (oder andere Literatur) zitieren, in denen Funktion anders definiert wird? --Eulenspiegel1 12:57, 8. Dez. 2010 (CET)

Es wuerde voellig reichen, einen Hinweis wie "In manchen mathematischen Anwendungen werden allgemeinere Funktionsbegriffe benoetigt, vergleiche Artikel/Abschnitt X" aufzunehmen. Wie gesagt, die Einleitung wird mit einem Laienpublikum im Sinn geschrieben und eine Vereinfachung auf Kosten der allgemeinen Anwendbarkeit, sogar auf Kosten der Richtigkeit ist erwuenscht. Aber was ganz anderes: ich habe die Beitraege von 2006 unter deinem Account gesehen, herzlich willkommen zurueck! --Erzbischof 13:51, 8. Dez. 2010 (CET)

Ein überarbeiteter Entwurf zur Einleitung

Wie vieles, wird auch der im Zentrum der Mathematik stehende Begriff Funktion, auch spricht man oft von Abbildung, in der Literatur unterschiedlich definiert. Allen gemeinsam ist jedoch die Vorstellung, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder Zahl ihr Quadrat.
--Georg Roch 12:50, 8. Dez. 2010 (CET)

Ad Eulenspiegel: Literatur:

• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wiss.-Verl., Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Akademischer Verlag.ISBN 3-8274-1411-3
• Encyclopaedia of Mathematics. [6]
• Larry J. Gerstein: Introduction to Mathematcal Structures and Proofs, Springer, ISBN 0-387-79997-2
• Herbert Meschkowski: Mathematisches Begriffswörterbuch, Hochschultaschenbücher, Bibliographisches Institut
• Brockhaus Enzyklopädie

Mir ist das komplizierte (f,D,W) in meinem langen Mathematikerleben nicht übern Weg gelaufen. Es scheint mir eine Spezialität von Schulbüchern und der Lehrerliteratur Nahestehendem. (Ich entsinne mich jedoch, so etwas bei Bourbaki gesehen zu haben.) --Georg Roch 16:57, 8. Dez. 2010 (CET)

Ad Erzbischof: »auf Kosten der Richtigkeit« ist sicher ein übermütiger Scherz von Dir. Das andere sehe ich ein und werde versuchen Deinem Vorschlag zu genügen. --Georg Roch 17:27, 8. Dez. 2010 (CET)

Ich habe mir jetzt nur mal kurz die Encyclopaedia of Mathematics durchgelesen, die du als Literatur angegeben hast: Und dort ist nicht von mathematischen Objekten die Rede, sondern von Mengen (engl. sets) bzw. von Elementen von Mengen.

(f,D,W) wird in der Encyclopaedia of Mathematics doch auch definiert: Es gibt zwei Mengen X und Y und eine Zuordnungsvorschrift $f$, die jedem Element von X ein Element von Y zuordnet. Der Graph besteht also aus den drei Teilen (f,X,Y).

In der Mengenlehre selber ist mir (f,D,W) als Definition auch nicht untergelaufen. In der Mengenlehre (in der Funktionen letztendlich definiert werden) wird die Funktion mit ihrem Graphen identifiziert. Also rechtseindeutige Relationen. (Dass D und W Mengen sind, folgt in ZFC aus dem Aussonderungsaxiom und der Tatsache, dass die Funktion selber ein Element der Allklasse ist.) --Eulenspiegel1 18:48, 8. Dez. 2010 (CET)

Eulenspiegel, ich hatte Dich mit Deiner Frage an mich so verstanden, dass Du Literatur genannt haben wolltest, in der “Funktion” explizit nicht als Tripel definiert ist, wie im akt. Artikel geschehen, und solche habe ich angegeben. --Georg Roch 20:55, 8. Dez. 2010 (CET)

Es geht in diesem (und im vorherigen) Abschnitt um die Einleitung. In der Einleitung ist nichts von einem Tripel zu sehen. (Und ich habe hier auch von niemanden gelesen, der gefordert hätte, dass die Tripel-Definition in die Einleitung soll.)

Du hattest, wenn ich dich richtig verstanden habe gesagt, dass du die Formulierung Elemente von Mengen als falsch ansiehst und die Formulierung mathematische Objekte besser findest. Dazu wollte ich eine Literaturstelle. --Eulenspiegel1 21:14, 8. Dez. 2010 (CET)

Jetzt glaube ich zu verstehen, was Du ansprachst. Der Unterschied zwischen den beiden Aussagen:
(a) »Eine Funktion ordnet mathem. Objekten mathem. Objekte zu« und
(b) »Eine Funktion ordnet Elementen einer Menge mathem. Objekte zu«,
ist folgender: (b) besagt, dass die Argumentebereiche von Funktionen Mengen sind, mit (a) wird diese Einschränkung nicht gemacht, so dass z.B. mit (b) die Potenzmengenfunktion keine Funktion ist, jedoch mit (a) ist es eine.
Funktionen gemäß (a) sind z.B. in der ersten oben von mir angegebenen Literatur zu finden. Meintest Du das? -- Georg Roch 15:39, 9. Dez. 2010 (CET)

Ja, das meinte ich. Könntest du vielleicht die entsprechende Stelle hier zitieren, aus der hervorgeht, dass die Potenzmengenfunktion auf einer echten Klasse definiert ist (also z.B. allen Mengen ihre Potenzmenge zuordnet) oder ob auch in dieser Literaturstelle die Potenzmengenfunktion nur auf einer bestimmten Menge definiert ist. (Man kann die Potenzmenge natürlich von jeder beliebigen Menge bilden solange das Potenzmengenaxiom gilt. Aber das wird für gewöhnlich nicht als Funktion bezeichnet.) Daher wäre ich dir für ein Zitat aus der obersten Literatur dankbar, wo auf den Definitionsbereich der Potenzmengenfunktion eingegangen wird.

Der Grund, weshalb das eine wichtige Rolle spielt, ist nämlich folgender: Für gewöhnlich trifft man auch gerne Exiszenz- oder Allaussagen über Funktionen. Also etwas der Art: "Für alle Funktionen gilt:..." oder "Es existiert (k)eine Funktion mit...". Solche Aussagen über Funkionen sind in der Prädikatenlogik erster Stufe (also der Logik, die in der Mathematik für gewöhnlich verwendet wird) aber nur möglich, wenn die Funktionen selber ebenfalls Mengen sind. (Und daraus folgt, dass der Definitionsbereich von Funktionen eine Menge sein muss.) --Eulenspiegel1 20:15, 9. Dez. 2010 (CET)

Bei Oberschelp ist definiert:

(S.79) IM: Allklasse im herkömmlichen Sinn (Gesamtheit der Mengen).

(S.27) Objekt: Klasse im herkömmlichen Sinn.

(S.36) ID: Allklasse (Gesamtheit der Objekte)

(S.89) Potenzklasse eines Objekts A: {z $^{\in }$ IM | z $^{\subseteq }$ A} (Potenzmenge von A wenn A Menge)

In der modernen Klassenlogik, die bei Oberschelp sehr gut beschrieben ist, wird über ID quantifiziert. ($^{\forall ,\exists }$), woraus sich ergibt, dass der Definitionsbereich einer Funktion keine Menge sein muss. -- Georg Roch 12:53, 10. Dez. 2010 (CET)

Ergänzung: Bei Oberschelp befassen sich die §§9+10 (S. 59-74) mit Funktionen. Er spricht von Individuen statt von Objekten (S. 59). Er zieht das allgemeinere, klassenlogische Funktionskonzept konsequent durch. Funktionen müssen nicht Individuen (Elemente) sein, können es aber sein. Über Funktionen, die Individuen sind, kann dann selbstverständlich quantifiziert werden. Der übliche mengentheoretische Teil ist damit voll integriert. Es ist ein echt allgemeineres Konzept. Aber er vertritt die übliche Auffassung von Funktionen als eindeutigen Zuordnungen. Sein Ansatz ist aber nicht gut zitierfähig, was ich schon weiter oben erwähnte.--Wilfried Neumaier 18:05, 10. Dez. 2010 (CET)

Eine weitere Überarbeitung der Einleitung

Wie viele mathematische Begriffe, so wird auch der im Zentrum der Mathematik stehende Begriff der Funktion, auch spricht man oft von Abbildung, in der Literatur unterschiedlich verstanden. In vielen mathematischen Disziplinen, zum Beispiel der Analysis, der Funktionentheorie, der Algebra, findet eine klassische Definition Verwendung, in der Funktionen Beziehungen zwischen zwei nicht notwendig voneinander verschiedenen Mengen A und B angeben, indem Elementen von A jeweils 1 Element von B zugeordnet wird.

Eine Einleitung sollte immer in der Form beginnen:

"Lemma XY (auch ABC) ist..."

So, dass man bereits im ersten Satz sieht, um was es grob geht und ob man überhaupt auf der richtigen Seite ist. (Wenn im ersten Satz z.B. steht: "Eine Funktion (auch Aufgabe) ist eine Erwartung, die der Arbeitgeber an eine bestimmte Berufsposition stellt", dann weiß man sofort, dass dies das falsche Funktions-Lemma ist.)

Bei dir erfährt man erst am Ende des ersten Satzes, dass Abbildung eine Alternativbezeichnung ist. Und was eine Funktion denn nun ist, erfährt man erst am Ende des zweiten Satzes. - Ich würde stattdessen vorschlagen, die aktuelle Einleitung zu belassen und am Ende noch den Satz einzufügen: "Neben dieser klassischen Definition der Funktion gibt es in einigen Bereiche der Mathematik (z.B. Klassenlogik) auch eine verallgemeinerte Definition.")

BTW: Allgemein gilt für eine Einleitung: Das wichtigste sollte (nach Möglichkeit) im ersten Satz stehen. Und innerhalb eines Satzes gilt das gleiche: Das wichtigste sollte (nach Möglichkeit) am Anfang des Satzes stehen. --Eulenspiegel1 18:24, 12. Dez. 2010 (CET)

Definitionen

In diesem Kapitel werden Definitionen zum klassischen Funktionsbegriff gegeben. Definition zu allgemeineren Funktionsbegriffen erfolgt unten in einem eigenen Kapitel.

Ordnet eine Funktion, F, einem Element a $^{\in }$ A das Element b $^{\in }$ B zu, dann sagt man: das geordnete Paar (a,b) ist Element von F, sieht also Funktionen als Mengen geordneter Paare an und schreibt für (a,b) $^{\in }$ F auch F:a $\mapsto$ b. ...............................................
-- Georg Roch 21:27, 10. Dez. 2010 (CET)

Sorry, das ist keine Definition, sondern eine Erklärung. Außerdem ist es genau falsch rum. Besser wäre: "Hat man eine rechtseindeutige Relation $F\subseteq X\times Y$, so sagt man: F ist eine Funktion. Außerdem kann man sagen: F ordnet jedem Element von X ein Element von Y zu."

Aber ansonsten ist die aktuelle Definition schon besser: Sie sagt erstmal, dass die Funktion ein Relation ist, die die folgenden Eigenschaften haben muss. Und dann werden die Eigenschaften aufgelistet. --Eulenspiegel1 18:24, 12. Dez. 2010 (CET)

Eulenspiegel,

- das mit dem “Sorry” kann ich mir dadurch erklären, dass nicht wahrgenommen wurde, was in der Überarbeitung der Einleitung steht.

- das mit dem “genau falsch rum” ist so eine Sache: Fremdbegriffe als bekannt vorauszusetzen, hier “Kartesisches Produkt”, halte ich, wenn man nicht ohne sie auskommt, für nicht angebracht. Zu bedenken wäre auch, dass Kart.Produkt auf dem Begriff des Tupels = endl.Folge beruht und diese oftmals als Funktionen definiert werden. Circuläres sollte man vermeiden.

- entspricht Nachstehendes mehr den Wiki-Vorstellungen über Einleitungen?

Der Begriff der Funktion, auch spricht man von Abbildung, steht im Zentrum der mathematischen Begriffswelt. Eine Funktion/Abbildung von A nach B ordnet Elementen von A Elemente von B zu. Ordnet sie keinem Element von A mehr als 1 Element von B zu, dann nennt man sie »eindeutig«, andernfalls »mehrdeutig«. Üblicherweise versteht man unter “Funktion”, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, »eindeutige Funktion«, so auch im vorliegenden Artikel.

Ich habe absichtlich A und B nicht als Mengen bezeichnet, denn das entspräche, wie ja unter Mathematikern bekannt, den heutigen Vorstellungen nicht mehr so ganz. Wer noch im Herkömmlichen schwimmt, möge sich unter A und B Mengen vorstellen, der informierte Mathematiker mögen hoffen, dass bei den nachfolgenden Definitionen im Artikel auch die nötige Allgemeinheit gewahrt bleibt, schließlich wird der Unbedarfte, wenn er von “Elementen von A” und “Elemente von B” liest, sich nichts anderes vorstellen können, als dass A und B Mengen sind, was ja nicht zu beanstanden wäre. -- Georg Roch 16:04, 14. Dez. 2010 (CET)

1. Die Reihenfolge, in der die Sachen definiert sind, ist die folgende:
   1. Tupel werden induktiv definiert: 0-Tupel $():=\emptyset$ und n-Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n}):=\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1}),\{x_{n}\}\}$
   2. Paar wird als ein 2-Tupel definiert. Das heißt $(x,y)=\{\{\emptyset ,\{x\}\},\{y\}\}$
   3. Kartesisches Produkt wird dann definiert als: $X\times Y:=\{(x,y)|x\in X\quad \wedge \quad y\in Y\}$
   4. Relation wird dann definiert als: R ist Relation $:\Leftrightarrow \quad \exists X,Y:\quad R\subseteq X\times Y$
   5. Funktion wird dann darauf wie hier im Lemma beschrieben definiert.
2. Unter den Abschnitt für mengentheoretische Definition kann gerne ein Abschnitt über die klassenlogische Definition eingefügt werden. (Wo die Funktionen dann auf Klassen leben.)
3. Für die Angabe, Funktionen müssen nicht rechtseindeutig sein, hätte ich nach wie vor gerne einen Nachweis. --Eulenspiegel1 18:11, 15. Dez. 2010 (CET)

Man kann Tupel so wie unter 1.1. angegeben als Mengen darstellen aber auch anders, wie schon der Tupelartikel zeigt, nämlich Tupel als Funktionen mit der Definitionsmenge {1,...,n}. Auch in der Einleitung zum Folgeartikel wir klar gesagt, dass Tupel endliche Folgen sind, also Funktionen. --Georg Roch 11:35, 16. Dez. 2010 (CET)

Mich würde interessieren, wie die prädikatenlogisch einwandfreie Definition von Funktionen aussieht, ohne Paare zu benutzen. Die mengentheoretische Definition sieht in prädikatenlogischen Termen wie folgt aus:

f ist eine Funktion $:\Leftrightarrow \ \exists X,Y:\ f\subseteq X\times Y\ \wedge \ \forall x\in X\ \exists !\ y\in Y\ (x,y)\in f$

--Eulenspiegel1 20:19, 16. Dez. 2010 (CET)

Du fragst wie man geordnetes Paar mengentheoretisch definiert?! Z.B so: $(x,y):=\{x,\{x,y\}\}$. --χario 20:42, 16. Dez. 2010 (CET)

Nein, wie man ein geordnetes Paar definiert, weiß ich (siehe meinen Punkt 1.2). Ich frage mich, wie man Funktionen mengentheoretisch definiert (wenn man keine Paare benutzen dürfte). Georg meinte, dass Paare über Funktionen definiert werden. Das bedeutet, um einen Zirkelschluss zu vermeiden, dass Funktionen ohne Paare definiert werden müssten.

BTW, deine Definition des geordneten Paares funktioniert nur, wenn das Fundierungsaxiom gilt, weshalb diese Definition gerade in der Modelltheorie recht problematisch wäre.) --Eulenspiegel1 21:31, 16. Dez. 2010 (CET)

Wenn mathm. Objekte als Mengen definiert werden, dann muss sicher sein, dass die Definitionen für alle möglichen Mengendefinitionen ihrer Bestandteile gelten. Ist kart.Produkt X₁*...X_n als Menge der Tupel (x₁,...x_n) mit x_i in X_i definiert und n-Tupel als Funktionen mit Definitionsmenge {1,...n}, dann ergäbe sich das beschriebene Problem des Circulären. Die auf Bourbaki zurückgehende Definition:

$^{\mathrm {Funktion} \,f:\leftrightarrow \exists M:(f\in M\wedge \forall x\in f\colon \mathrm {Paar} \,x)}$   (allgemeiner: $^{\mathrm {Funktion} \,f:\leftrightarrow \forall x\in f\colon \mathrm {Paar} \,x}$)

$^{\mathrm {eindeutige\,Funktion} \,f:\leftrightarrow \mathrm {Funktion} \,f\wedge \neg \,\exists x,y\in f\colon (x\not =y\wedge \!\,^{\mathrm {left} }x=\!\,^{\mathrm {left} }y)}$

$^{\mathrm {mehrdeutige\,\,Funktion} \,f:\leftrightarrow \mathrm {Funktion} \,f\wedge \neg \,\mathrm {eindeutige\,Funktion} \,f}$

entspricht den oben genannten strengen Anforderungen an Mengen-Definitionen.

Selbstverständlich kann man “Funktion” auch ohne den Paarbegriff definieren, dann allerdings nicht mit prädikatenlogischen Mitteln. --Georg Roch 13:34, 17. Dez. 2010 (CET)

Also so, wie du eben Funktion definiert hast, kenne ich bisher nur die Definition von Relation. Was ist denn deiner Meinung nach der Unterschied zwischen Relation und Funktion? --Eulenspiegel1 13:12, 18. Dez. 2010 (CET)

Funktion wie oben definiert ist Relation im hergebrachten Sinn und eindeutige Funktion wie oben ist Funktion im hergebrachten Sinn. Nach der Definition von oben gelten beispielsweise die trigonometrischen Arkusfunktionen als Funktionen, was im herkömmlichen Funktionsbegriff nicht der Fall ist. -- Georg Roch 14:36, 18. Dez. 2010 (CET)

Also gibt es deiner Meinung nach keinen Unterschied zwischen Funktion und Relation? Oder gibt es doch einen Unterschied?

Und bei den Arkusfunktionen kommt es darauf an: $\cos ^{-1}:[-1;1]\rightarrow \mathbb {R}$ ist eine Relation. Aber $\cos ^{-1}:[-1;1]\rightarrow \wp (\mathbb {R} )$ oder $\cos ^{-1}:[-1;1]\rightarrow [0;\pi ]$ sind beides Funktionen. --Eulenspiegel1 16:02, 18. Dez. 2010 (CET)

Nochmals zur Einleitung

Entspricht Nachstehendes den Wiki-Vorstellungen über Einleitungen?

Der Begriff der Funktion, auch spricht man von Abbildung, steht im Zentrum der mathematischen Begriffswelt. Eine Funktion/Abbildung von A nach B ordnet Elementen von A Elemente von B zu. Ordnet sie keinem Element von A mehr als 1 Element von B zu, dann nennt man sie »eindeutig«, andernfalls »mehrdeutig«. Üblicherweise versteht man unter “Funktion”, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, »eindeutige Funktion«, so auch im vorliegenden Artikel.

Ich habe absichtlich A und B nicht als Mengen bezeichnet, denn das entspräche, wie ja unter Mathematikern bekannt, den heutigen Vorstellungen nicht mehr so ganz. Wer noch im Herkömmlichen schwimmt, möge sich unter A und B Mengen vorstellen, der informierte Mathematiker mögen hoffen, dass bei den nachfolgenden Definitionen im Artikel auch die nötige Allgemeinheit gewahrt bleibt, schließlich wird der Unbedarfte, wenn er von “Elementen von A” und “Elemente von B” liest, sich nichts anderes vorstellen können, als dass A und B Mengen sind, was ja nicht zu beanstanden wäre. -- Georg Roch 16:54, 15. Dez. 2010 (CET)

Selbst, wenn man deine beiden Vorstellungen von Funktionen (nicht rechtseindeutig und leben auf Klassen) in die Einleitung hineinstecken möchte, sehe ich nicht den Vorteil, den Rest der Einleitung auch so stark zu verändern.

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen A und B, die jedem Element von A (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) ein Element von B (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr. Ordnet sie keinem Element von A mehr als 1 Element von B zu, dann nennt man sie »eindeutig«, andernfalls »mehrdeutig«. Üblicherweise versteht man unter “Funktion”, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, »eindeutige Funktion«, so auch im vorliegenden Artikel.

Hier hätten wir (falls es denn unbedingt notwendig ist) deine beiden Vorstellungen von einer Funktion eingebaut. Aber den ganzen Rest der Einleitungsänderung kann ich nicht nachvollziehen:

1. Wieso willst du gleich im ersten Satz schreiben, dass sie im Zentrum steht? Viel wichtiger ist es, im ersten Satz erstmal zu sagen, was eine Funktion überhaupt ist.
2. Wieso willst du die ganzen Beispiele herauswerfen?

--Eulenspiegel1 18:11, 15. Dez. 2010 (CET)

Bei “jedem Element von A” sehe ich Probleme mit dem Begriff “partielle Funktion” --Georg Roch 12:26, 16. Dez. 2010 (CET)

Also siehst Du partielle Funktionen tatsächlich auch als Funktionen an. D.h. Funktionen sind für Dich die Verallgemeinerung von Relationen auf Klassen? -- Pberndt _(DS) 15:43, 16. Dez. 2010 (CET)   Wie soll ich den Zusammenhang der Frage mit “partielle Funktion” verstehen? -- Georg Roch 19:56, 17. Dez. 2010 (CET)

Funktionen werden im allgemeinen als "linkstotale, funktionale Relationen" definiert. Jetzt hattest du oben gesagt, dass Funktionen nicht funktional sondern auch mehrwertig sein können. Bleiben also "linkstotale Funktionen" übrig. Wenn du jetzt auch noch sagst, dass Funktionen nichtmal "linkstotal" sein müssen (also die Eigenschaft, die partielle Funktionen von Funktionen unterscheidet), bleibt nur noch "Relation" übrig. Oder anders ausgedrückt:

• Funktion: linkstotale, funktionale Relation
• Multifunktion: linkstotale Relation
• Partielle Funktion: funktionale Relation

Wenn du jetzt also sagst, dass Multifunktionen und Partielle Funktionen auch Funktionen sind, bleibt im Prinzip nur noch "ist Relation" als Eigenschaft für eine Funktion stehen. - In diesem Zusammenhang ist die Frage von meinem Vorredner zu verstehen. --Eulenspiegel1 13:12, 18. Dez. 2010 (CET)

Es mischen sich zwei Dinge, zum einen die Frage nach den Eigenschaften einer Funktion und zum anderen die Frage nach der zweckmaessigen Defition. Im Sinne der Zugaenglichkeit des Artikels ist es zweckmässig, in der Einleitung eine nichtformale Verbalisierung der Definition als linkstotale funktionale Teilmenge des kartesischen Produktes zweier Mengen. Dann sind partielle Funktionen und Multifunktionen keine Funktionen im Sinne dieser Definition und die Potenzmengenabbildung ebenfalls nicht. Probleme, die daraus entstehen, die nicht später durch eine Bemerkung wieder aufgehoben werden können: keine. --Erzbischof 13:32, 18. Dez. 2010 (CET)

Übersicht: Funktionsbegriff

Allgemeines:

• 2-stellige Relationen sind nichts anderes als Klassen geordneter Paare und jede Klasse geordneter Paare ist eine 2-stellige Relation. (Z.B. nach Oberschelp)
• 2-stellige Relationen können Eigenschaften haben, z.B. können sie linkseindeutig oder injektiv sein.
• Eine 2-stellige Relation kann in unterschiedlichen Beziehungen zu Klassen stehen, z.B. kann sie in Bezug auf Klassen total, partiell oder surjektiv sein.
• total, partiell oder surjektiv sind keine Eigenschaften von 2-stelligen Relationen sondern Beziehungen zwischen 2-stelligen Relationen und Klassen
  

Zur Nomenklatur:

1. Funktion = 2-stellige Relation: Dann kann man zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen unterscheiden und z.B. die trigonometrischen Arkusfunktionen zu den Funktionen zählen, ebenso Operatoren z.B. den Potenzmengenoperator oder den Operator, der jedem geord.Paar eine seiner Komponenten zuordnet.
2. Funktion = 2-stellige Relation die Menge ist.
3. Funktion = linkseindeutige 2-stellige Relation.
4. Funktion = linkseindeutige 2-stellige Relation die Menge ist: Dies ist der am stärksten eingeschränkte Funktionsbegriff, der heute oft noch an Schulen gelehrt wird.
   

2. 3. und 4. sind mit nichts zu begründende Einschränkungen des allgemeinen Funktionsbegriffs 1. Sie sind nur als historisch zu erklären. Hinzu kommt, dass die zu “Funktion” gehörenden Definitionen mit jeder Einschränkung komplizierter werden. -- Georg Roch 18:27, 18. Dez. 2010 (CET)

1) Ob eine Relation nur als Menge geordneter Paare definiert ist, oder ob eine Relation als Tripel (R,X,Y) definiert ist (wobei R eine Menge geordneter Paare ist) ist von der jeweiligen Literatur abhängig. (Und je nachdem, welche Definition man verwendet, können Relation linkstotal sein oder nicht.) Aber wenn du darin Diskussionsbedarf siehst, ist der Artikel Relation_(Mathematik) besser geeignet.

2) 2. 3. und 4. sind keine Einschränkung des Funktionenbegriffs, sondern ein Spezialfalls des Relationenbegriffes. Und welchen Mehrwert soll es haben, wenn man Funktionen und Relationen identisch definiert? Wenn es zwei verschiedene Wörter gibt (Funktion und Relation) dann ist es auch sinnvoll, diesen beiden Wörtern unterschiedliche Begriffe zuzuweisen. Ich sehe keinen Vorteil darin, wenn man jede Relation plötzlich auch Funktion nennen kann. (Und die meisten Lehrbücher unterscheiden sinnvollerweise auch zwischen Funktion und Relation und scheren nicht beides über einen Kamm.)

Desweiteren: Ob ich von "linkstotalen, rechtseindeutigen Funktionen (nach deiner Definition)" oder einfach nur von "Funktionen (nach der hiesigen Definition)" spreche, ändert an der Definition überhaupt nichts. Der Unterschied ist bloß: Wenn man deine Definition von Funktion verwendet, müsste man immer die beiden Adjektive mit sich rumführen. Wenn man dagegen die normale Definition von Funktion benutzt, muss man die beiden Adjektive genau einmal einführen: "Eine Funktion ist eine linkstotale, rechtseindeutige Relation". Un in Zukunft kann man die beiden Adjektive immer weglassen.

Fazit: An der Definition ändert sich nichts. Der Unterschied ist bloß, dass die Notation vereinfacht ist, wenn man die beiden Adjektive nicht immer mit sich rumschleppen will.

Eine Zwischenfrage: Kannst du verstehen, warum man Homomorphismus nicht als "Funktion" definiert hat, sondern warum man stattdessen Homomorphismus als "strukturerhaltende Funktion" definiert? Und wenn du den Vorteil darin siehst, dass der Homomorphismus eine echte Einschränkung gegenüber der Funktion ist, dann siehst du vielleicht auch den Vorteil, dass die Funktion eine echte Einschränkung der Relation ist.

Oder anders ausgedrückt: Die Klasse der Isomorphismen" ist eine echte Teilklasse der "Klasse der Homomorphismen". Diese ist eine echte Teilklasse der "Klasse der Funktionen". Und diese ist eine echte Teilklasse der "Klasse der Relationen" und diese ist eine echte Teilklasse der "Allklasse".

Und die Mathematiker haben sich schon etwas dabei gedacht, warum sie die jeweiligen Sachen als echte Teilklassen definiert haben und nicht einfach die beiden Klassen gleichgesetzt haben. --Eulenspiegel1 19:48, 18. Dez. 2010 (CET)

Wobei die Klasse der Relationen nur solche Relationen erhält, die Mengen sind. :-)

Was ich sagen will: Es hat schon einen Sinn, warum man sich normalerweise auf Mengen beschränkt.

@Georg: Es ist nicht so, dass Oberschelp den aktuellen Stand der Mathematik verkörpern würde, während alles andere veraltet ist. -- Digamma 20:07, 18. Dez. 2010 (CET)

Eulenspiegels obige Aussage "Eine Funktion ist eine linkstotale, rechtseindeutige Relation" bekäme einen Sinn, wenn in der nachstehenden unvollständigen Definition die Punkte durch eine prädikatenlogische Aussage, die nur $\,^{r}$ als freie Variable enthält, ersetzt werden kann.

$^{\mathrm {Funktion} \,f\;:\leftrightarrow \;\mathrm {linkstotalerechtseindeutigeRelation} \,f}$

$^{\mathrm {linkstotalerechtseindeutigeRelation} \,r\;:\leftrightarrow \;\mathrm {..........} }$

Dann würde ich endlich wissen, was man hier unter “Funktion” versteht.-- Georg Roch 17:53, 19. Dez. 2010 (CET)

Das steht in der bisherigen Einleitung -- Digamma 18:17, 19. Dez. 2010 (CET)

Oder auch implizit in der bisherigen Diskussion und Punkt 1 von Eulenspiegel. -- Pberndt _(DS) 22:31, 19. Dez. 2010 (CET)

Anders gefragt: gibt es Anhaltspunkte, dass Funktionen im Ebbinghaus (Mengenlehre) nicht wohldefiniert sind? --Erzbischof 18:21, 19. Dez. 2010 (CET)

Ich hatte erwartet, dass sich jemand die Mühe gemacht hätte, die Punkte in meinen obigen Beitrag (17:53,19.Dez.2010) zu ersetzen. Die gegebenen Antworten sagen mir nicht viel. Ich möchte wissen: definiert Punkt 1 oder Punkt 2 “Funktion” oder noch anderes.

$^{\mathrm {Funktion} _{\mathrm {Oberschelp} }\,f\;:\,\leftrightarrow \;\forall x\in f:\,\mathrm {geordnetesPaar} \,x\;\wedge \;\neg \exists x,y\in f:(x\not =y\wedge \,\!^{\mathrm {left} }x=\,\!^{\mathrm {left} }y)}$

1. $^{\mathrm {Funktion} _{\mathrm {Ebbinghaus} }\,f\;:\,\mathrm {Funktion} _{\mathrm {Oberschelp} }\,f\;\wedge \;\mathrm {Menge} \,f}$
2. $^{\mathrm {Funktion} _{\mathrm {Eulenspiegel} }\,f\;:\,\exists a,b:\,\mathrm {Funktion} _{\mathrm {Ebbinghaus} }\,a\;\wedge \;\mathrm {Bild} (a)\subseteq b\;\wedge \;f=(a,\mathrm {Def} (a),b)}$
   

-- Georg Roch 11:48, 20. Dez. 2010 (CET)

OK, hier also die exakte Definition:

f ist Funktion $:\Leftrightarrow$ f ist linkstotale rechtseindeutige Relation $\Leftrightarrow \ \exists X\ \exists Y:\ f\subseteq X\times Y\ \wedge \ \forall x\in X\ \exists y\ (x,y)\in f\ \wedge \ (\forall x,y_{1},y_{2}:\ ((x,y_{1})\in f\ \wedge \ (x,y_{2})\in f)\Rightarrow y_{1}=y_{2})$ $\Leftrightarrow \ \exists X\ \exists Y:\ f\subseteq X\times Y\ \wedge \ \forall x\in X\ \exists !y\in Y\ (x,y)\in f$

Das, was du unter 1. bzw. 2. angibst, kann beides eine Funktion sein, je nachdem, wie Relation definiert wurde. Funktionen sind linkstotale, rechtseindeutige Relationen. - Wenn es zwei verschiedene Definitionen von "Relation" gibt, gibt es demzufolge auch zwei verschiedene Definitionen von Funktion: Einmal ist der Definitionsbereich und der Wertebereich Teil der Funktion und einmal nicht. --Eulenspiegel1 14:02, 20. Dez. 2010 (CET)

Aeh, Eulenspiegel - ueber die Mengen X und Y wird nicht so quantifiziert: Funktion von A nach B wird definiert als ... --Erzbischof 14:25, 20. Dez. 2010 (CET)

@Eulenspiegel: Was in den obigen beiden formalen Definitionen steht, strotzt vor Redundanz: sie besagen nichts anderes als die ebinghaussche- oder oberschelpsche Definition, je nachdem man Quantoren auf Mengen beschränkt oder nicht. Es ist hier offenbar Mode, ganz einfache und höchst anschauliche Dinge möglichst kompliziert zu definieren.

@Erzbischof: Die Aussage “f ist eine Funktion von A nach B” ist eine verbale Version der formalen Aussage “Def(f) $^{\subseteq }$ A $^{\wedge }$ Bild(f) $^{\subseteq }$ B”.

- Georg Roch 17:15, 20. Dez. 2010 (CET)

Fast, Def(f)=A $^{\wedge }$ Bild(f) $^{\subseteq }$ B”. --Erzbischof 18:01, 20. Dez. 2010 (CET)

Ich möchte noch einmal auf einen frühereren Beitrag von mir verweisen:

Ich glaube, bei der IP herrscht ein grundsätzliches Missverständnis darüber, wozu diese mengentheoretisch-formalen Definitionen in der Mathematik dienen. Sie dienen nicht dazu, zu erklären, was (in diesem Fall) Funktionen sind, sondern klar zu machen, dass man den Begriff in konsistenter Weise auf den der Menge zurückführen kann. Wenn man Mengenlehre betreibt, dann ist es natürlich wichtig, sich im Verlauf des Aufbaus des mathematischen Gebäudes auf eine Definition festzulegen.

In den allermeisten Fällen kommt der praktische Mathematiker aber ohne so eine formal-mengentheoretische Definition aus (und erst recht der Anwender und der Gymnasialschüler). Worauf es hier ankommt, ist, das Objekt durch seine Eigenschaften zu charakterisieren. So ist es durchaus sinnvoll, dass ein Mengentheoretiker eine Funktion mit ihrem Graphen (als Menge von Paaren aus Urbild und Bild) identifiziert, während es für den Algebraiker wichtig ist, die Zielmenge explizit zu machen (sonst könnte man nicht davon sprechen, dass eine Funktion surjektiv ist).

Wenn ein Mathematiker schreibt: "Eine Funktion ist eine Menge von geordneten Paaren", dann meint er nichts anderes als, dass eine Funktion eindeutig durch ihren Graph gegeben ist, und deshalb mit diesem identifiziert werden kann. Schreibt ein anderer Mathematiker, dass eine Funktion ein Tripel (D, G, W) sei, dann meint er damit, dass eine Funktion durch die Angabe von Definitionsbereich, Graph und Wertebereich gegeben ist, und dass zwei Funktionen nur dann gleich sind, wenn alle drei Angaben übereinstimmen. Damit benutzt er einen anderen Funktionsbegriff als der erste Mathematiker, aber nicht deshalb, weil bei ihm die Funktion mengentheoretisch ein Tripel ist, sondern deshalb, weil nach seiner Definition zwei Funktionen, die denselben Graphen besitzen, dennoch verschieden sein können.

-- Digamma 19:12, 20. Dez. 2010 (CET)

Funktion als Tripel

Zurückgehend auf Nicolas Bourbaki (1.Hälfte 20.Jahrhundert) findet man in der Literatur auch heute noch manchmal den Funktionsbegriff mehrdeutig definiert, und zwar sowohl als linkseindeutige Relation als auch so: g : A $\to$ B wird nicht als mathematische Aussage sondern als mathematisches Objekt, hier als das Tripel (g,A,B), verstanden und “Funktion” genannt.

Die Tripeldefinition ist mir, außer beim alten Bourbaki, in keiner ernsthaften Fachliteratur begegnet. Dieses zutiefst Unmathematische (mehrdeutige Begriffsdefinition) gehört nicht in seriöse Artikel.

-- Georg Roch 11:16, 21. Dez. 2010 (CET)

Mal ein paar Hinweise an Georg Roch:

• du ignorierst standhaft, dass der Funktionsbegriff historisch gewachsen ist, dass es viele Ansätze und Sichtweisen darauf gibt. Die BESTE Definition hingegen gibt es nicht
• versch. Definitionen sind wie Landkarten innem Atlas, die sich teilweise überdecken, es muss nicht EINE Definition geben die alle Fälle bedient
• eine grundlegende Mengentheor. Definition hat sich nie durchgesetzt, weil es nur JEDEM Mathematiker das Leben schwerer machen würde
• der Artikel MUSS diese Vielfalt widerspiegeln, aber NICHT in der Einleitung
• einen gut recherchierten Artikel Historische Entwicklung des Funktionsbegriff fände ich sinnvoller als diese Endlosdiskussion hier, wo anscheinend alle etwas an dir vorbeireden
• ich finde deinen Stil unnötig herablassend (vulgo: nervt mich tierisch) und bitte dich Andeutungen wie "informierte Mathematiker", "seriöse Artikel" und ähnliches wegzulassen.

Dank, --χario 20:07, 21. Dez. 2010 (CET)

@Zensor: Da Herr Roch sich so gerne abschätzig über Gymnasiallehrer äußert und seine mathematische Autorität als Argument einbringen will, ist die Frage berechtigt, was er in den letzten fünfzig Jahren zur mathematischen Forschung beigetragen hat.--Bernard2 09:28, 22. Dez. 2010 (CET)

Ruhig Blut, stell die Frage doch einfach sachlich. --Erzbischof 10:31, 22. Dez. 2010 (CET)

@Xario: Von den 6 Punkten halte ich die ersten vier für nicht diskutabel: der Funktionsbegriff ist in der Fachliteratur weitgehend einheitlich definiert, wobei die Unterschiede im Wesentlichen in Verallgemeinerungen bestehen. Der fünfte Punkt sollte ein eigenes Kapitel im Artikel sein, so wie jetzt schon rudimentär vorhanden.

@Bernard: Ich erspare mir die Angabe meiner Publikationsliste zu mathematischen Themen und Themen aus der Informatik. Ich bin Algebraiker, speziell Gruppentheoretiker. Nach Promotion 1961 (Zur Strukturtheorie höhenendlicher Moduln über einem diskret bewerteten Ring) Wissenschaftlicher Assistent, Uni Münster 1961-1963. IBM 1963-1973. 1973 Professor für Mathematik und Informatik Gesamthochschule Siegen, emeritiert 1993.

Meinen Unmut über den bisherigen Diskussionsverlauf muss ich nochmals bekräftigen: Keine befriedigende Reaktion auf meinen Hinweis, dass der Begriff “linkstotale Relation” mathematisch nicht definierbar ist, mein Hinweis, dass der von Eulenspiegel weiter oben gegebener formale Definitionsvorschlag nicht zutrifft, wurde nicht zur Kenntnis genommen, ebenfalls nicht meine Bedenken über den mehrdeutigen Funktionsbegriff, der von den Disputanten propagiert wird. Auch irritiert mich nicht wenig eine Bemerkung, man möge es nicht so genau nehmen. Da mir jedoch eine Überarbeitung des Artikels angebracht erscheint, wäre ich bereit, mathematisch sachlich weiter zu diskutieren. Eine für den Laien verständliche Darstellung eines mathem. Begriffs bedarf präzise Kenntnis des Begriffs vom Autor und um diese nur bin ich bemüht. -- Georg Roch 12:35, 22. Dez. 2010 (CET)

Ich muss meinen Unmut über den Diskussionsverlauf äußern. Ich habe dir oben lang und breit erklärt, wie linkstotal definiert wird. Aber OK, ein weiteres Mal:

naive Definition von "linkstotale Relation": Eine Relation (R,X,Y) ist linkstotal, wenn es für alle $x\in X$ ein $y\in Y$ gibt, so dass $(x,y)\in R$ gilt.

Das ganze nochmal mengentheoretisch aufgeschrieben: (R,X,Y) ist linktstotale Relation $:\Leftrightarrow \ R\subseteq X\times Y\ \wedge \ \forall x\in X\ \exists y\in Y\ (x,y)\in R$

Und zusätzlich nochmal mein Hinweis vom 18. Dezember, 19:48:

Ob eine Relation nur als Menge geordneter Paare definiert ist, oder ob eine Relation als Tripel (R,X,Y) definiert ist (wobei R eine Menge geordneter Paare ist) ist von der jeweiligen Literatur abhängig. (Und je nachdem, welche Definition man verwendet, können Relation linkstotal sein oder nicht.)

Ich bitte dich, dir meinen Text zu Gemüte zu führen. Desweiteren hast du noch immer keine Literaturangabe genannt, nach der es mehrwertige Funktionen gibt.

Für eine sachliche Weiterdiskussion wäre ich auch. Aber im Augenblick erkenne ich nicht so ganz deinen Punkt. Worum geht es dir? Ist dir die Einleitung zu ungenau? Ist dir die Einleitung zu unverständlich? Fehlt dir die Definition von Oberschelp im Definitionskapitel? Bist du der Ansicht, dass die bisherige Definition nicht korrekt ist?

Der bisherige Diskussionsverlauf sieht bisher so aus: Du kritisierst etwas. Wir erwidern etwas darauf. Dann kritisierst du plötzlich etwas vollkommen anderes. Wir gehen wieder darauf ein. Dann kritisierst du wieder etwas vollkommen anderes: Am Anfang der Diskussion ging es dir darum, ob Funktionen Mengen oder Klassen sind. Anschließend ging es dir darum, ob Funktionen rechtseindeutig sein müssen oder nicht. Und jetzt diskutierst du plötzlich über Linkstotalität.

Es bringt für die Diskussion nichts, wenn du einfach hin und her springst. (Und vor allem bringt es nichts, wenn du im Funktionenartikel über allgemeine Konzepte von Relationen reden möchtest. Funktionen sind zwar Spezialfälle von Relationen. Aber die allgemeine Diskussion über Relationen wäre im Relationenartikel besser aufgehoben.) --Eulenspiegel1 14:15, 22. Dez. 2010 (CET)

@Georg Roch: Sie machen es mir nicht leicht. Eine einfache Literaturrecherche zeigt, dass Sie nach dem Jahr 1961 keine größeren mathematischen Veröffentlichungen mehr gehabt haben können. Finden Sie sich damit ab, dass Ihre Vorstellung von moderner Mathematik falsch sein könnte.--Bernard2 15:01, 22. Dez. 2010 (CET)

@Eulenspiegel: Das ist ja meine Kritik: Es wird, wie oben ausgeführt und wohl auch schon weiter oben impliziert war, ein Tripel definiert, dessen 1. Komponente eine Relation ist, der Begriff “Tripel” wird jedoch in der Mathematik nirgends als “Relation” verstanden, es sei denn, unter “linkstotale Relation” versteht man anderes als unter “Relation”. Dann allerdings sind Funktionen Tripel und nichts anderes, was aber gegen den in der Literatur meistens anzutreffenden Funktionsbegriff spräche.

@Bernard: no comment

-- Georg Roch 16:11, 22. Dez. 2010 (CET)

Da die Stimmung hier mittlerweile nicht leicht zu ertragen ist, schliesse ich mich Xario an und schlage vor (ich werde das jedenfalls tun), diese Diskussion fuer ein paar Wochen zu unterbrechen. In der Zwischenzeit koennen wir eine Darstellung der Geschichte des Funktionsbegriffes zusammenzutragen. Das bringt den Artikel voran und bietet im Anschluss eine gute Grundlage, ueber die Einleitung (die ja das Lemma allgemeinverstaendlich definiert und einordnet) zu diskutieren. Und weitere ad personam-Argumente brauchen wir nicht! --Erzbischof 16:34, 22. Dez. 2010 (CET)

Wer die eigene Person als Hauptargument einsetzt, muss auch ertragen, wenn dieses Argument widerlegt wird.--Bernard2 16:50, 22. Dez. 2010 (CET)

Nur zur Begriffsklärung

$\,^{\mathrm {Relation} \,R\,:\leftrightarrow \forall x\in R:\,\mathrm {Paar} \,x}$

$\,^{\mathrm {rechtseindeutige\,Relation} \,R\,:\leftrightarrow \mathrm {Relation} \,R\;\wedge \;\neg \exists x,y\in R:(x\not =y\,\wedge \,^{\mathrm {left} }x=^{\mathrm {left} }y)}$

Wenn X eine Relation ist: $\,^{^{\mathrm {Defb} }\!X\,:=\,\{\,\!^{\mathrm {left} }x\,|\,x\in X\}}$,     $\,^{^{\mathrm {Bildb} }\!X\,:=\,\{\,\!^{\mathrm {right} }x\,|\,x\in X\}}$

Mögliche Definitionen: Funktion =

1. Relation: dann wären z.B. auch die trigonometrischen Arkusfunktionen Funktionen und z.B. auch die Potenzmengenfunktion eine Funktion
2. rechtseindeutige Relation: wie 1. jedoch sind die trigonometrischen Arkusfunktionen keine Funktionen (Oberschelp)
3. Relation die eine Menge ist: wie 1. jedoch ist die Potenzmengenfunktion keine Funktion
4. rechtseindeutige Relation die eine Menge ist: weder die trigonometrischen Arkusfunktionen noch die Potenzmengenfunktion sind Funktionen
   
   

Klassifikation:   Ist ^Defbf $^{\subseteq }$ A und ^Bildbf $^{\subseteq }$ B, dann nennt man f eine Funktion von A nach B, insbesondere nennt man f eine

• partielle Funktion von A nach B, wenn ^Defbf $^{\subset }$ A,
• totale Funktion von A nach B, wenn ^Defbf = A,
• surjektive Funktion von A nach B, wenn ^Bildbf = B,
• bijektive Funktion von A nach B, wenn f sowohl eine surjektive als auch injektive Funktion von A nach B ist. -- Georg Roch 19:39, 22. Dez. 2010 (CET)

Deine Definition von „linkseindeutig“ kenne ich als „rechtseindeutig“, siehe auch Relation (Mathematik). Und totale Funktionen würde ich zur Definition von Funktionen erheben und partielle Funktionen als unabhängigen Begriff einführen, entsprechend der üblichen Konvention. Ansonsten: Diese Übersicht mit Konsequenzen aus den verschiedenen Definitionen würde dem Artikel mMn gut tun! -- Pberndt _(DS) 10:40, 23. Dez. 2010 (CET)

Noch zum Thema rechtseindeutige Funktion und deren Konsequenzen: Wenn du Arkuskosinus als $\cos ^{-1}:[-1;1]\rightarrow \mathbb {R}$ definiert, hättest du Recht: Das wäre mehrwertig und damit keine Funktion (im herkömmlichen Sinne). Wenn du Arkuskosinus aber als $\cos ^{-1}:[-1;1]\rightarrow \wp (\mathbb {R} )$ oder $\cos ^{-1}:[-1;1]\rightarrow [0;\pi ]$ (wie es eigentlich üblich ist) definierst, dann ist es eine linkstotale, rechtseindeutige Relation und damit auch eine Funktion. ($\wp (\mathbb {R} )$ ist die Potenzmenge von $\mathbb {R}$.) --Eulenspiegel1 10:59, 23. Dez. 2010 (CET)

Es muss natürlich rechtseindeutig und nicht linkseindeutig heißen, ich habe oben verbessert.

@Berndt:

Wenn ich unter einer Relation ein Tripel, R=(r,A,B), wobei r $^{\subseteq }$ AxB, verstehe, dann gibt es Sinn, von “linkstotaler Relation”, “linkspartieller Relation” usw. zu reden, allerdings kann man nach dieser Definition die 1. Komponente von R nicht als Relation bezeichnen. Wenn ich jedoch Relationen als aus geordneten Paaren bestehend ansehe, verlieren die Bezeichnungen “linkstotal Relation”, ... zwar ihren Sinn, aber ich kann, wenn R $^{\subseteq }$ AxB, sagen »R ist eine linkstotale Relation zwischen A und B«.

@Eulenspiegel: Was da angesprochen ist, möchte ich nicht von der Hand weisen.

Wir wollen jetzt erst einmal die bevorstehenden Feiertage verbringen, wozu ich den Disputanten die besten Wünsche mitgebe. -- Georg Roch 17:37, 23. Dez. 2010 (CET)

Nach den Feiertagen

Da, wie oben wiederholt gesagt, “Funktion” für “linkstotale Funktion” stehen sollte, was ist dann in der Tabelle für ?? einzusetzen? (Die Pfeile sind ihrer Bedeutung nach wie in der Pfeiltabelle des aktuellen Artikels)

formal	Definition	gelesen
f : A $^{\multimap }$ B	Defbf $^{\subseteq }$ A, Bildbf $^{\subseteq }$ B, f ein- oder mehrdeutig	allgemeine ?? von A nach B
f : A $^{\rightsquigarrow }$ B	Defbf $^{\subset }$ A, Bildbf $^{\subseteq }$ B, f eindeutig	partielle ?? von A nach B
f : A $^{\to }$ B	Defbf = A, Bildbf $^{\subseteq }$ B, f eindeutig	Funktion von A nach B

--Georg Roch 17:42, 27. Dez. 2010 (CET)

Wie wäre es mit „Funktion“?! Der Begriff ist dann „partielle Funktion“ und als eigenständig zu verstehen (sprich nicht als „Funktion“ mit dem Attribut „partiell“). In dieser Konvention sehe ich kein Problem - man redet ja auch von Prähilberträumen oder uneigentlichen Integralen, ohne dass das eine ein Hilbertraum oder das andere ein Integral wäre. -- Pberndt _(DS) 13:48, 28. Dez. 2010 (CET)

Wenn man sagt: “f ist eine Funktion von A nach B” dann ist impliziert, dass f eine totale Funktion von A nach B ist, nicht wahr? Dieser Sachverhalt wird z.B. so ausgedrückt:

–––––––––––––––––––––––––––––––

Ist ^Argbf $^{\subseteq }$ A und ^Wertbf $^{\subseteq }$ B, dann nennt man f eine »Funktion aus A in B« mit den Attributen

• »total«, wenn ^Argbf = A
• ................
  

Üblicherweise sagt man   “f ist eine Funktion von A in B”   statt   “f ist eine totale Funktion aus A in B”

–––––––––––––––––––––––––––––––

Diese saubere und elegante Lösung findet man z.B. bei Oberschelp S.69,70 -- Georg Roch 15:12, 29. Dez. 2010 (CET)

Vielleicht möchte sich jemand den auf meiner Spielwiese eingestellten Entwurf ansehen und kritische Bemerkungen hier oder auf der zugehörigen Diskussionsseite ablegen. -- Georg Roch 17:45, 4. Jan. 2011 (CET)

Wie könnte man ihm antworten?

Man liest im akt.Artikel:

Mengentheoretische Definition ... Eine Funktion ... ist ... eine Teilmenge des kartesischen Produktes ... Oft möchte man aber ... Ein Paar ... heißt Funktion ...

Jemand, der kein nehmen-wir-es-nicht-so-genau-Leser ist, wird, wenn irgendwo steht “Es sei f eine Funktion”, sich fragen, was für ein Objekt damit gemeint sei? Wie könnte man ihm antworten? --Georg Roch 17:50, 7. Jan. 2011 (CET)

Dass die Frage falsch gestellt ist. Was antwortest Du jemandem, der fragt, was für ein Objekt mit "reelle Zahl" gemeint ist?-- Digamma 17:57, 7. Jan. 2011 (CET)

Es ist davon auszugehen, dass der Jemand die sich widersprechende Definition von “Funktion” gelesen hat und aus der Irritation heraus die wohl begründete Frage stellt. --Georg Roch 18:13, 7. Jan. 2011 (CET)

Bei reellen Zahlen ist die Frage genauso wohlbegründet. -- Digamma 18:30, 7. Jan. 2011 (CET)

Hatten wir doch oben schon einmal: Wir schreiben hier eine Enzyklopädie, kein Lehrbuch. Demnach ist es weniger unsere Aufgabe, die WP in sich geschlossen darzustellen, sondern vielmehr alle Konventionen vorzustellen, die es in der Wildbahn so gibt und insbesondere darauf hinzuweisen, mit welcher man es wohl im Zweifelsfall zu tun hat. Darauf, dass die hier vorgestellten Definitionen sich widersprechen - das hast Du oben ja in einem wie ich finde sehr schönen Beispiel gezeigt - kann und sollte man freilich hinweisen. Bezüglich des „wenn irgendwo steht“: Wenn Du mir ein Buch über Funktionalanalysis gibst und ich vorher als Referenz „Weltengänger“ von Sergej Lukianenko gelesen habe, werde ich mich auch fragen, warum ein Funktional, das Lukianenko als einen Menschen mit übernatürlichen Fähigkeiten und einer speziellen Aufgabe auf einem Planeten definiert, monoton und beschränkt (Siehe: Mathematiker sind konvergent, haha) sein kann. -- Pberndt _(DS) 18:22, 7. Jan. 2011 (CET)

Ich kenne keine Definition von “reelle Zahl”, die mehrdeutig ist, die Im akt.Artikel gegebene Definition von “Funktion” ist es jedoch.

Worauf ich hinaus will, ist das, was Berndt hier wohl meint: Die in einem Artikel gegebenen Definitionen sollten widerspruchsfrei sein, jedoch ist auf in der Literatur häufiger Anzutreffendes, auch wenn es widersprüchlich ist, hinzuweisen, so wie ich es z.B. im Entwurf auf meiner Spielwiese versucht habe.

NB: Mir ist außer bei Bourbaki, der allerdings gleich die sich daraus ergebende Problematik zum Ausdruck bringt, keine Literatur begegnet, in der “Funktion” nicht eindeutig definiert ist; es würde mich solche interessieren. --Georg Roch 13:01, 8. Jan. 2011 (CET)

Reelle Zahlen werden manchmal als Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen definiert, manchmal als Dedekindsche Schnitte, wobei manche Autoren unter letzterem ein Paar aus Unter- und Obermenge verstehen, andere nur die Untermenge. Auf die Frage "was für ein Objekt" eine reelle Zahl ist, geben diese Autoren unterschiedliche Auskünfte. Aber natürlich spielt das überhaupt keine Rolle, zumindest solange ich nicht anfange, über die Elemente von reellen Zahlen zu sprechen.

Ansonsten ist hier im Artikel Funktion eindeutig definiert als rechtseindeutige Menge von Paaren. Es wird nur ergänzt, dass manche Autoren andere Definitionen benutzen. Natürlich heißt das nicht, dass ein Lehrbuchautor mehrere widersprüchliche Definitionen gleichzeitig benutzt. Aber verschiedene Lehrbuchautoren benutzen durchaus verschiedene Definitionen. Und Autoren von Büchern, deren Thema nicht die Mengenlehre ist, sondern zum Beispiel die Lineare Algebra oder die Analysis geben sehr oft eben gar keine mengentheoretische Definition an. Wie zum Beispiel Ebbinghaus (!) in der von mir oben zitierten LA-Vorlesung. Die Definition ist aber durchaus für mathematische Zwecke ausreichend.

PS: Du hast natürlich Recht mit der Aussage, dass man den Begriff "linkstotal" für eine Relation nicht definieren kann ohne explizit über die Trägermenge zu sprechen. Man kann also nicht sagen: "Die Relation R ist linkstotal", sondern höchstens "die Relation R auf M ist linkstotal" oder "R ist eine linkstotale Relation auf M". -- Digamma 13:46, 8. Jan. 2011 (CET)

OK, Digamma, ich sehe, wir haben uns jetzt verstanden, ich hätte das mit den reellen Zahlen und auch das andere nicht besser zu sagen gewusst. Werfe doch mal einen kurzen Blick auf meine Spielwiese und kommentiere auf der zugehörigen Disk. --Georg Roch 15:14, 8. Jan. 2011 (CET)

Der Vergleich mit den reellen Zahlen hinkt ein wenig, weil die Definitionen in der klassischen Mathematik äquivalent sind, d.h. was dabei herauskommt ist isomorph. Partielle Funktionen haben aber andere Eigenschaften als (echte) Funktionen, man darf daher in einem mathematischen Theorem den einen Begriff nicht einfach durch den anderen ersetzen. Das Gleiche gilt aber auch für die natürlichen Zahlen: sie können mit oder ohne Null definiert werden. --RPI 18:06, 12. Jan. 2011 (CET)

Bitte um Quellen

Ich möchte meinen vorbereiten Entwurf mit Quellenangaben versehen. Kann mir jemand Literatur nennen die auch den (f,A,B)- und/oder (f,B)-Funktionsbegriff angibt? --Georg Roch 12:26, 9. Jan. 2011 (CET)

Zur Formatierung

Die Optik hat unter der Überarbeitung überaus gelitten:

• »…« sind französische Anführungszeichen. In Deutschland ist „…“ üblich.
• Was sollen die ganzen &nbsp;'s?
• Das „\,“ am Anfang jeder Formel ist überflüssig, führt insbesondere aber dazu, dass jede noch so kleine Formel als Bild gerendert wird. Der Τεχ-Satz im Fließtext ist in Wikipedia leider mäßig, sodass selbiger jetzt wesentlich unhübscher aussieht. Abstände lieber durch ein Leerzeichen vor der Formel generieren.
• Auch in den Formeln ist \, meist unnötig. Lieber die <math> Umgebung auch einmal schließen, statt Text mit hineinzuschreiben. Statt \mathrm{Def}\, könntest Du auch \operatorname{Def} verwenden.
• Warum gehen Überschriften erst auf dem zweiten Niveau los?

Das neue Layout von „Definitionen und Notationen“ würde mich vom Lesen abschrecken. --Pberndt _(DS) 11:23, 12. Jan. 2011 (CET)

+ 1. Georg: Nimm dir mal bitte diese Tips zu Herzen. --χario 14:18, 12. Jan. 2011 (CET)

Allgemein

Bevor wir jetzt am TeX weiter rummuddeln: Ich fands immer noch vorher besser. Die Begriffsgeschichtsabschnitte sind vollkommen weg, dieser Definitionswust kann innem Old School-Mathebuch akzeptabel sein, innem Artikel für die Wikipedia eher nicht, insbesondere wenn strukturierende/erklärende Texte fehlen. Dutzende von Links fehlen jetzt. Die Zwischenüberschriften sind lange Aufzählungen. Meine Kritik zur Einleitung weiter oben gilt immer noch. Ich kann hier auf der Disk keinen Konsens für die Änderungen erkennen, deshalb wäre ich für nen Revert (bald!). Offenbar klappen solche Ein-Mann-Überarbeitungen nicht, zukünftige Umwälzungen sollten wir hier auf der Disk abschnittsweise vorher besprechen. --χario 14:18, 12. Jan. 2011 (CET) PS: Noch was positives: Der Textabschnitt unter 1.3 geht für mich schon inne ne gute Richtung.

Zustimmung zu Xario. Der aktuelle Artikel ist eine Verschlimmerung:

1. Die Einleitung lässt wichtige Aspekte aus.
2. Der Abschnitt Begriffsgeschichte fehlt völlig.
3. Was vorher in den Kapiteln 2-5 schön übersichtlich getrennt war, wird jetzt in ein riesiges Kapitel zusammengeworfen. (Wobei vieles aus diesem neuen Riesenkapitel nichts mit der Definition von Funktion zu tun hat.)
4. Überschriften sind viel zu lang.
5. Es gibt keine klare Struktur zwischen den Unterkapiteln. Der Leser wird hier wild hin und hergeworfen.

Das sind nur die Punkte, die mir nach kurzem Überfliegen aufgefallen sind. Vielleicht möchte Georg Roch hier mal den Grund nennen, wieso er die Kapitelstruktur vollkommen überarbeitet hat und welchen Vorteil er in seiner neuen Struktur sieht. --Eulenspiegel1 17:43, 12. Jan. 2011 (CET)

Ein andere Formatierung

findet sich hier, aber auch diese wird vermutlich niemanden zusagen. --Georg Roch 16:36, 12. Jan. 2011 (CET) PS: Ich hatte nur versucht, mathem. Bedenklichkeiten im alten Artikel zu beseitigen.

Warum sollte ich meinen Vorschlag begründen? Es würde doch nicht weiterhelfen. Ihr könnt doch revertieren, dann habt Ihr wieder Ruhe. Mir hat die Formulierung meiner Vorstellungen zu einem Funktionsartikel viel Vergnügen bereitet und das genügt mir. --Georg Roch 20:42, 12. Jan. 2011 (CET)

Es tut mir durchaus Leid, das wir nicht so recht weiterkommen, die Artikel sind nun mal Konsensprodukte, wenn du nicht begründen willst und die Mehrheit deine Editierungen als keine Verbesserung sieht, was bleibt denn dann außer zu revertieren? Vielleicht wäre wikibooks das passendere Projekt für dich? Alles was ich bisher verstanden hab, ist das dir der Artikel zu unsauber ist, was die Begrifflichkeiten angeht. Das löst sich aber nicht, indem du tonnenweise Definitionen hinschreibst, sondern in Textform die Begriffe und verschiedene Sichtweisen, auch historische, gegenüberstellst. Ein eigener Artikel dazu wäre mMn mehr als gerechtfertigt, aber nicht hier den ganzen Artikel umzukrempeln ohne es vorher auf der Diskussionsseite abgeklärt zu haben! --χario 19:44, 16. Jan. 2011 (CET)

Funktionen ohne Operatoren

Auf der Diskussionsseite von Wissen unter dem Abschnitt Wissen ohne Eigenschaften vertrete ich die Meinung, daß bei mathematischen Funktionen der Eintrag über die Operatoren fehlt. Dies fällt dann auf, wenn man eine objektorientierte Modellierung (hier: Definition, Eigenschaften, Operatoren) nutzt um Inkonsistenzen im vernetzten Wissen zu finden. Der einfache Fall ist, wenn einem Begriff unklare Eigenschaften zugewiesen werden (mathematische Funktion mit der Eigenschaft gagadada). (bei Wissen -> wahre gerechtfertigte Meinung - Definition Meinung immer subjektiv ohne weitere Eigenschaften). Deshalb bitte ich einen versierten Mathematiker den Abschnitt Operatoren für Funktionen einzufügen. Größtenteils dürfte es sich um die selben Operatoren wie für Zahlen handeln. --Watakiki 08:58, 9. Sep. 2011 (CEST)

lässt sich das möglicherweise auch so formulieren, dass ein versierter Mathematiker das auch verstehen kann? --Herbert Klaeren 09:55, 9. Sep. 2011 (CEST)

Schreibweise

Unsere Mathe-Referendarin verwendet regelmäßig Schreibweisen wie $h_{1}:{\vec {x}}=h_{2}:{\vec {x}}$ oder ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}=E:{\vec {x}}$ und ich habe das Gefühl, dass diese Schreibweisen so nicht zulässig sind. Im Artikel wird so etwas nicht erwähnt und meiner Meinung nach wäre richtig ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}=E(r,s)$, um das auszudrücken, was sie meint. Was ist richtig? Wie heißt der Doppelpunkt-Operator? --217.84.219.47 17:08, 22. Apr. 2012 (CEST)

Das erste Beispiel mit $h_{1}$ und $h_{2}$ verstehe ich gar nicht. Im zweiten Beispiel sollen die $x_{n}$ fest sein und die Funktion von r und s abhängig? Die Standardschreibweise wäre dann

${\begin{aligned}E:\mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {R} ^{3}\\(r,s)&\mapsto {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}.$

Man verwendet bisweilen auch den Doppelpunkt vor dem Gleichheitszeichen (:=), um anzuzeigen, dass man gerade etwas definiert:

${\begin{aligned}E(r,s):={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aber $E:{\vec {x}}$ für sich ist mir noch nie begegnet. Das macht die Notation aber nicht unzulässig, nur vollkommen ungewöhnlich. Insbesondere sollte man sie tunlichst einführen, wann immer man sie benutzt, weil sie vermutlich niemand kennt. -- pberndt 19:19, 22. Apr. 2012 (CEST)

Kann es sein, dass sie so etwas wie

$E\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}$

meint? Hier gehört das $E\colon$ nicht zur Gleichung, sondern ist sozusagen eine Ankündigung: "E ist die Ebene mit der Gleichung ...". Das E bezeichnet keine Funktion, sondern das durch die Gleichung beschriebene geometrische Objekt. Eine formalere Schreibweise wäre:

$E=\left\{\left.{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}\right|r,s\in \mathbb {R} \right\}$

Hierbei wird die Ebene mit der Menge aller auf ihr liegenden Punkte identifiziert (was in der modernen Mathematik, insbesondere der analytischen Geometrie üblich ist, in der klassischen Geometrie aber nicht, und in der Schulmathematik in der Regel nicht thematisiert wird).

"Hier gehört das $E\colon$ nicht zur Gleichung, sondern ist sozusagen eine Ankündigung: "E ist die Ebene mit der Gleichung ..."." Danke! Ich dachte schon, ich habe das die ganze Zeit falsch interpretiert. Das mit dem $h_{1}:{\vec {x}}=h_{2}:{\vec {x}}$ sollte wohl bedeuten, dass ein Ortsvektor ${\vec {x}}{\stackrel {!}{=}}{\overrightarrow {OP}}\vert P\in h_{1}\cap h_{2}$ auf einen Punkt, der zu beiden Geraden gehört, zeigt. --217.84.206.27 19:29, 23. Apr. 2012 (CEST)

Der Schreibweise $h_{1}:{\vec {x}}=h_{2}:{\vec {x}}$ kann ich überhaupt keinen Sinn abgewinnen. Kommt denn so eine oder eine ähnliche Schreibweise im Buch vor? --Digamma (Diskussion) 21:59, 23. Apr. 2012 (CEST)

Nein, glücklicherweise nicht. Das ist einer von ihren eigenen Ergüssen. Ich habe sie dazu aber auch nicht gefragt, weil ich auf ihre Meinung keinen besonders großen Wert lege (aus meiner Erfahrung mit ihr und mit Referendaren und z.T. auch Lehrern im Allgemeinen – ich hatte mal eine Mathe-Lehrerin, die darauf bestanden hat, dass Funktionen ausschließlich mit $f$ bezeichnet werden und die unbedingt die Schreibweise $\mathrm {D} _{f}=\lbrace x\vert x\in \mathbb {R} \rbrace$ anstatt $\mathrm {D} _{f}=\mathbb {R}$ haben wollte). Für mich war der Doppelpunkt immer so was wie "bildet ab" und der Pfeil so was wie "auf". Deswegen habe ich bei "Funktion" geschaut, weil ich wissen wollte, ob dort was zur Verwendung von diesem Operator steht. --217.84.206.27 22:46, 23. Apr. 2012 (CEST)

Der Doppelpunkt bei der Notation von Funktionen meint auch eher eine Ankündigung: "Für die Funktion f gilt: ..." Das "bildet ab" steckt mit in dem Pfeil drin.

Die Doppelpunktschreibweise in der analytischen Geometrie findest du eher in den entsprechenden Artikeln. --Digamma (Diskussion) 13:10, 24. Apr. 2012 (CEST)

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Spricht etwas dagegen große Teile dieser langen Liste in analytische Funktion einzubauen und hier zu löschen? Ich finde für diesen Artikel legt die Liste einen falschen Schwerpunkt. --Christian1985 (Diskussion) 18:32, 8. Mai 2012 (CEST)

Zustimmung, das ist hier viel zu speziell. Ich denke die ganze Liste gehört mal ausgemistet: auf den ersten Blick passen Dichtefunktion und Mappingfunktion schon mal nicht, die Fehlerfunktion ist doch analytisch, warum Vorzeichenfunktion nicht bei reellen Funktionen usw. -- HilberTraum (Diskussion) 17:47, 9. Mai 2012 (CEST)

Ich habe mal zwei Teile aus der Liste rausgelöscht und analytische Funktion etwas erweitert. Wir brauchen wohl ganz dringend noch einen Artikel zum Thema Algebraische Funktion. --Christian1985 (Diskussion) 23:30, 12. Jun. 2012 (CEST)