Diskussion:Kettenregel

Alte Diskussionsbeiträge

Ich habe mir gerade mal die englische Version angeschaut. Ich finde den Ausdruck df/dx = df/dg * dg/dx auch schon oben bei der Erklärung sehr hilfreich, und nicht erst unten, wo er z.B. in der Graphik oder auch im Beweis auftritt. Was denkt Ihr?

Gruß

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Ein Beweis bzw. eine kommentierte Herleitung wäre noch prima zur Ergänzung! 128.176.151.127 15:31, 7. Nov 2004 (CET)

Im Beispiel wird folgender Zusammenhang erläutert:

Weiter ist
u = v^5 die äußere Funktion und
u' = 5v^4 deren Ableitung. 

Meines Wissens bedeutet u' immer die Ableitung nach x, demnach müsste die letzte Zeile korrekterweise du/dv = 5v^4 heissen. Fairway 15:35, 22. Mär 2005 (CET)

• Das ist vollkommen egal; Definitionssache. Einer definiert u als äußere, der andere als innere ableitung. Man hat sich bei diesem Artikel auf die - vor allem im Schulunterricht - verwendete Schreibweise nach Newton geeinigt. Die Leibniz-Schreibe würde wahrscheinlich die meisten Schüler verwirren... es sind nur verschiedene Schreibweisen. Es gilt: $u'(v)=u'(v(x))={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v}}$ --Iammrvip 20:22, 23. Mär 2005 (CET)

verallgemeinerte Kettenregel

Hallo. wäre es nicht gut, auch die verallgemeinerte Kettenregel zu erwähnen? Es könnte natürlich auch ein Extra-Beitrag sein. Ich habe etwas gesucht und bin zu dem Thema nicht fündig geworden.

So könnte man z.B. eine kurze Definition schreiben. Beispielsweise so:

Die Kettenregel besagt, wenn eine Funktion

$g(t)=f(x(t))=f(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),...,x_{n}(t))$

gegeben ist, hat sie an der Stelle die Ableitung (partielle Differenzierbarkeit, ... vorausgesetzt - müsste natürlich ausgeführt werden)

$g'(t_{0})=f_{x_{1}}(x_{0}){\dot {x}}_{1}(t_{0})+f_{x_{2}}(x_{0}){\dot {x}}_{2}(t_{0})+...+f_{x_{n}}(x_{0}){\dot {x}}_{n}(t_{0})$

oder kurz

$g'(t_{0})=\nabla f(x_{0})^{T}{\dot {x}}(t_{0})$

--Iammrvip 17:14, 22. Mär 2005 (CET)

Anmerkung: Dieser Text war natürlich nicht für den Beitrag direkt gedacht und auch geeigenet. Es sollte nur als stark gerafftes Beispiel und als Hinweis dienen. Ich habe einen neuen Beitrag eröffnet. Siehe nun hier --Iammrvip 17:13, 25. Mär 2005 (CET)

Nur ableiten?

Ich lerne gerade für eine Mathematik Klausur für die ich u.a. die Kettenregel brauche. Jetzt hab ich aus dem Unterricht noch in Erinnerung, dass entweder die äußere oder innere Funktion AUFgeleitet wird und nur eine davon abgeleitet. Hier wird aber erklärt, dass beide Funktionen abgeleitet werden. Naja ich will jetzt auch keine Punkte in den Sand setzen, nur weil ich eine falsche/fehlerhafte Methodik anwende. Was ist richtig? Wird das in speziellen Fällen anders gemacht?

• Das Wort auf... gibt es nicht!! Wenn ich eine Funktion "ableite" hat das nichts damit zu tun, dass ich sie "ab"-"leite". Das heißt integrieren oder Stammfunktion bilden/bestimmen.

Nun zu deiner Frage: Das was du in der Schule gelernt hast, heißt in Wirklichkeit Lineare Substitution. Manche Lehrer nennen das auch Umkehrung der Kettenregel...naja. Iammrvip 20:44, 6. Apr 2005 (CEST)

(Ganz nebenbei: das Wort aufleiten gibt es doch....) -- 91.19.235.114 16:37, 10. Jul. 2009 (CEST)

• • vielen Dank für Eure Antworten! Ich hasse auch diese ständige Verwendung von ungenauen Namen/Abkürzungen; manchmal vergessen Lehrer, dass ihre Schüler das zum ersten mal hören ;) - wir nennen's im Unterricht (leider) tatsächlich AUFleiten. Aber danke, ich merks mir.
    • Bitte schön ;-). Ich hoffe, dass ich nicht bös' geklungen hab, so war es nämlich nicht gemeint. Iammrvip 20:35, 7. Apr 2005 (CEST)
• Da ich das hier gerade zufällig lese: Der Schulspaß "Aufleiten" hat sich schon längst verselbstständigt. Ich kenne mindestens ein Mathebuch ("Elemente der Mathematik 12/13", Schroedel Verlag), das diesen Ausdruck ebenfalls verwendet. Die Schüler verstehen's, also hat sich die deutsche Sprache einmal mehr weiterentwickelt.

Welche Variable ?

Ich habe hier etwas über die verschiedenen Variablen in diesem eigentlich sehr schönen und knappen Artikel eingefügt. Bitte um Hilfe beim Raffen und das Wesentliche herausarbeiten. --Roomsixhu 02:16, 24. Jun 2005 (CEST)

Erklärung

Der Abschnitt "Erklärung" ist eher verwirrend als erklärend. Der letzte Satz ist eindeutig falsch. 217.237.150.177 09:22, 24. Jun 2005 (CEST)

Dann nimm ihn doch raus.(Mach ich). Ich hätte aber gerne eine schrittweise Anleitung, was zu machen ist. Z.B.: 1. Subtitution, 2. Erweiterung 3. Ausführen der äußeren Ableitung, 4. Ableitung der inneren Ableitung, 5. Resubstituieren..

Ansonsten ist meist weder man selbst, noch Leibniz oder Newton an der Verwirrung schuld. Ich vermute seit den 1920ern hat sich mit der Umstellung auf algebraische Darstellung in der Mathematikdidaktik einiges verkompliziert und ich habe die Logiker im Verdacht, daß sie die Verwirrung stiften. --- Roomsixhu 12:20, 24. Jun 2005 (CEST)

Das Problem ist: Man braucht für eine saubere Darstellung drei Funktionen und zwei Variablen, wir haben hier aber erst eine Variable. Zweitens ist die Kettenregel die Erklärung des Differenzierens zusammengesetzter Funktionen, wobei man die Ableitungen der (zwei oder mehr) zusammensetzenden Funktionen kennt. In diesem Sinne werde ich eine Erklärung beisteuern. Denn wenn es einfacher ist, gibt es spätestens beim Integrieren durch Substitution heillose Verwirrung. Gruß an alle Mitarbeiter.--Roomsixhu 13:11, 25. Jun 2005 (CEST)

falscher beweis

der im artikel angegeben beweis ist nicht allgemeingülitg. wenn die dort angegebene funktion v eine konstante funktion ist, erweitert man den angegeben term mit 0/0, was offensichtlich nicht möglich ist.

• Wenn v konstant ist, braucht es überhaupt keine Kettenregel, denn dann ist u(v(x)) ohnehin nur für eine einzige Zahl definiert, nämlich für v, und ist nicht differenzierbar...

• Erstens: Das ist falsch. die verkettete Funktion ist für konstantes $v(x)$ nicht nur für ein Argument DEFINIERT sondern sie NIMMT NUR EINEN FUNKTIONSWERT AN, ist also eine konstante Funktion! Damit ist ihre Ableitungsfunktion die Nullfunktion. Dieser Fall mag zwar trivial sein, müsste aber für einen korrekten Beweis mindestens in einer Fallunterscheidung ausgeführt werden.

Aber es gibt auch nichttriviale Beispiele, für die der hier geführete Beweis aufgrund von Nulldivision nicht korrekt ist:

Zum Beispiel die Klasse der Funktionen mit sogenanntem unendlichem Oszillationspunkt. Ein Repräsentant der Klasse:$\ f:f(x)={\begin{cases}x^{2}\cdot sin{\frac {1}{x}},&{\mbox{wenn }}x\neq 0\\0,&{\mbox{wenn }}x=0\end{cases}}$:

Diese Funktion ist an der Stelle 0 differenzierbar (das ist leicht durch Grenzübergang mit Differenzenquotienten überprüfbar), hat dort aber außerdem einen sog. unendlichen Oszillatopnspunkt. Wenn diese Funktion als innere Funktion auftaucht, dann kann nicht so sorglos mit dem Differenzenquotienten in einer "hinreichend kleinen Umgebung von Null, in der die innere Funktion den Wert 0 nicht annimmt" hantiert werden, weil diese schlichtweg nicht existiert: In JEDER Umgebung von 0 hat $f$ unendlich viele Nullstellen. Deshalb ist der Beweis tatsächlich falsch und auch nicht durch kleinere Hinzufügungen zu retten. Ich werde den Beweis mithilfe der Weierstraßschen Zerlegungsformel ausführen und damit den Aktuellen ersetzen.--Max-Mütze 13:57, 3. Feb. 2007 (CET)

Der Beweis wurde vor einiger Zeit durch eine korrekten Beweis ersetzt. Deshalb erledigt. --Digamma (Diskussion) 09:26, 16. Sep. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 09:26, 16. Sep. 2014 (CEST)

Geometrische Erklärung

In der an sich instruktiven Graphik steht Δu/Δx=Δu/Δv·Δv/Δx, was unten nochmal hervorgehoben wird. Gerade dieses (durch praktische Erweiterung entstandene) Produkt der Differenzenquotienten geht aber aus der Graphik überhaupt nicht hervor und unterstützt vor allem den verbreiteten Fehlglauben, daß die Verkettung u(v(x)) dasselbe sei wie u·v, also eine Multiplikation. (Gestern habe ich das wieder in einem Referat erlebt, bei der der Referent diese Graphik verwendet und offensichtlich mißverstanden hatte.)

Zum einen sollte also diese Gleichung aus der Graphik entfernt werden, zum andern fehlt auch eine verbale Erklärung dieser Graphik, die ergänzt werden sollte. Auch ist die Überschrift "Steigungsdreiecke" für die folgende Erklärung unglücklich gewählt.

Überhaupt wird mir nicht klar, was die Graphik mit der Kettenregel zu tun hat, außer daß sie die Verkettung von Funktionen verdeutlicht. Wie allerdings die Kettenregel zustande kommt, wird durch sie nicht klarer.

Im übrigen sollte auf der Seite die Leibnizsche Schreibweise prominenter zur Geltung kommen, denn schließlich wirkt erst hier die Erweiterung des Differenzenquotienten mit Δv/Δv so unglaublich genial simpel.

A. Brünner, 18.1.2007, 22:11

Seltsame Diskussion hier! Zu den im letzten Beitrag genannten Kritikpunkten an der Graphik kommt noch eine: An eine Kurve, die keine Gerade ist, können keine derartigen Steigungsdreiecke gezeichnet werden -- dies ist UNSINN!

Wie soll ein Schüler, der hier in Sachen Differentialrechnung um Hilfe und Rat sucht, Klarheit gewinnen, wenn selbst hier nicht zwischen Sekanten- und Tangentensteigung unterschieden wird, wenn selbst hier im tollen Internetlexikon offenbar Δy/Δx=f'(x) ist!

Ich bin dafür, diese ganze Abteilung ("geometrische Erklärung") zu löschen, und werde das wohl auch tun, wenn hier keine Gegenargumente kommen.

A. Brünner, 20.1.2007, 19:22

Ich greife mal diesen alten Beitrag auf, weil ich im Prinzip dasselbe sagen möchte: Ich verstehe den Sinn der Grafik nicht. Sie bringt nicht viel zum Verständnis der Kettenregel. Außerdem ist der Satz darüber

Die Steigung von $u(v(x))$ ist $u'(x)$ (Gesamtableitung).

schlicht falsch. Es macht auch keinen Sinn von der "Steigung" der Funktion zu sprechen. Nicht die Funktion hat eine Steigung, sondern ihr Graph. Die Funktion hat nur eine Ableitung oder eine Änderungsrate.

Ich entferne deshalb die Grafik und den Text darüber. Der Teil darunter, die heuristische Herleitung, kann im Prinzip bleiben. Dort wird ja rein algebraisch argumentiert und gar nicht die Steigung verwendet. --Digamma (Diskussion) 19:38, 7. Nov. 2014 (CET)

Exakte Formulierung und Beweis

Ich habe eine mathematische Formulierung und einen Beweis zur Kettenregel hinzugefügt. Ich dachte, nach dem Beispiel wäre ein passender Platz. Mirrll 15:51, 1. Aug. 2008 (CEST)

Sehr gut und Danke! Der Beweis ist wesentlich eleganter als der Umweg über die Weierstraßsche Zerlegungsformel. Es ist merkwürdig, welch umständliche, langwierige und sogar schwer verständliche Beweise sich in der Literatur finden. Gelegentlich wird sogar behauptet, daß der heuristische Beweis über die Erweiterung mit $v(x)-v(x_{0})$ nur unter erheblichem Aufwand reparierbar sei und dann jegliche Eleganz verlieren würde. Der oben vorgeführte Beweis repariert den dann dabei auftretenden Quotienten ${\tfrac {0}{0}}$ in geradezu perfekt eleganter Weise durch stetige Umschaltung vom Differenzen- auf den Differentialquotienten während es Grenzüberganges $x\to x_{0}$. Als Quelle lässt sich angeben:

• Otto Forster. Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg 1992, 4. Aufl., S.106.

--Skraemer 16:28, 18. Aug. 2008 (CEST)

Änderungen: Vortext

Ich denke, eine verbale Beschreibung reicht im Vortext, mathematische Behandlung als eigenen Absatz? Viel wichtiger ist aber, dass in der vorherigen Fassung die Kettenregel als reine "Rechenregel" dargestellt wird. Sie liefert aber auch die (für die Mathematik wichtige) Aussage, dass Verkettungen differenzierbarer Funktionen wieder differenzierbar sind, macht also Aussagen über die Existenz der Ableitung.

-- Emes2k 00:05, 9. Okt. 2008 (CEST)

Änderungen: Notation und Beispiel

Ich habe die Kritik in der Diskussion zum Anlass genommen, ein wenig rumzubasteln. Dabei ist eine realtiv ausführliche (hoffentlich hinreichend ausführlich?) Erläuterung des Zustandekommes der "Differenzialnotation" entstanden (am Ende des Artikels). Weiterhin habe ich einige Dinge am Beispiel verändert, und zwar:

• Angleich an die Notation des Vortextes, dass man vielleicht die Regel etwas besser erkennt.
• Umbau des Beispiels: der Text in der vorherigen Fassung, fand ich zumindest, gab ein bisschen der Fehlvorstellung Nahrung, eine Funktion wäre prinzipiell die Verkettung aus einer eindeutigen äußeren und einer eindeutigen inneren Funktion. Wichtig für die Anwendung der Kettenregel ist jedoch zunächst nur, dass sich die gegebene Funktion überhaupt als Verkettung zweier Funktionen darstellen lässt, und da kann es durchaus mehrere Möglichkeiten geben. Daher die Alternative Verkettung am Ende des Beispiels.
• Auch wenn das gängige Konvention ist, ist es aus mathematischer Sicht etwas fragwürdig, die Verkettung zweier Funktion sozusagen als die äußere Funktion zu betrachten, in der man durch Umbenennung einige Terme abgekürzt hat, wie das in der vorherigen Fassung ein wenig den Anschein hatte. Sowohl die innere also auch die äußere Funktion sind eigenständige Funktionen (schließlich ist jede Funktion für sich ein eigenständiges mathematisches Objekt) und können auch durchaus mit der gleichen unabhängigen Variable geschrieben werden. Die Konvention ist aber noch im mittleren Beispieltext erwähnt.

Schaut euch die Änderungen vielleicht einmal an, ob ihr die für sinnvoll erachtet. LG Emes2k 23:34, 8. Okt. 2008 (CEST)

Ist eine klare Verbesserung, ich habs aber noch etwas massiert. Literatur wäre noch gut. --P. Birken 20:55, 13. Okt. 2008 (CEST)

Ich glaub, im letzten Beispiel sind paar Funktionen verwechselt oder so

\circ zu \cdot

Ich denke es ist besser \circ durch \cdot zu ersetzen (siehe Entwurf). -- 78.54.13.235 23:47, 26. Mai 2009 (CEST)

Nein, für die Verkettung von Funktionen ist das \circ-Symbol das übliche Symbol, insbesondere weil das \cdot ja mit dem normalen Multiplizieren verwechselt werden kann. --Tolentino 07:41, 27. Mai 2009 (CEST)

Hmm ich kenn das anders, aber werde mich da mal raushalten (ich bin Threadstarter) -- 92.224.146.164 00:13, 28. Mai 2009 (CEST)

Ich kenne das genauso wie Tolentino. --P. Birken 18:26, 29. Mai 2009 (CEST)

Kettenregel für Funktionen mit mehreren Variablen

Diese fehlt hier völlig. Oder findet sie sich woanders? Dann sollte es zumindest einen kurzen Hinweis mit Link geben. --Digamma 21:14, 19. Mai 2010 (CEST)

Ne, das fehlt ganz einfach :-) --P. Birken 13:39, 24. Mai 2010 (CEST)

Oh, ich war blind. Sie findet sich unter Verallgemeinerte Kettenregel --Digamma 23:27, 24. Mai 2010 (CEST)

Mh, wohl nicht nur du :-) Was hier allerdings schon fehlt, ist IMHO eine kurze Zusammenfassung. --P. Birken 19:26, 27. Mai 2010 (CEST)

Dabei habe ich den Artikel gründlich überarbeitet. Besser so? So richtig finde ich keine prägnante Formulierung. --Digamma 19:48, 27. Mai 2010 (CEST) Ich glaube, ich habe dich falsch verstanden. Meinst Du eine kurze Zusammenfassung im Artikel verallgemeinerte Kettenregel oder hier? --Digamma 19:49, 27. Mai 2010 (CEST)

Ne, ich meinte hier. Analog zu Produktregel#Höherdimensionaler_Definitionsbereich, außer dass es bei der Produktregel für das mehrdimensionale kein eigenes Lemma gibt. --P. Birken 19:56, 27. Mai 2010 (CEST)

Ich schreibs auf meine To Do Liste. --Digamma 20:01, 27. Mai 2010 (CEST)

Ist gut geworden! --P. Birken 17:34, 30. Mai 2010 (CEST)

Danke :-) --Digamma 21:35, 30. Mai 2010 (CEST)

Beispiel

Kann es sein, dass das Beispiel 2(x3 + 1) eigentlich (x3 + 1)² heißen müsste? (nicht signierter Beitrag von Stefan.qn (Diskussion | Beiträge) 18:21, 11. Aug. 2010 (CEST))

Es heißt doch $(x^{3}+1)^{2}$. (?)

Bitte neue Beiträge mit Überschrift versehen und ans Ende anhängen. Am besten den "+"-Reiter oben anklicken, dann geschieht das automatisch. -- Digamma 19:23, 11. Aug. 2010 (CEST)

Hallo, ich habe zwei Einwände zu dem Funktionbeispiel:

$f(x)=(x^{3}+1)^{2}$

1: Bei der Subtitution $u(v)=(v+1)^{2}$ soll! ausmultipliziert werden.

Das ist nicht nötig, da $u'=2*(v+1)*1$ zu dem richtigen Ergebnis führt.

2: das Ausmultiplizierens von $(x^{3}+1)^{2}$ ergibt

$x^{6}+2x^{3}+3$, und nicht

$x^{6}+2x^{3}+1$.

Ich irre mich oft. --89.12.169.209 20:22, 1. Nov. 2012 (CET)

Zu 1.: Du hast recht. Aber das erfordert, dass die Kettenregel zweimal angewendet wird.

Zu 2.: Hier irrst du dich. Erste binomische Formel :-) --Digamma (Diskussion) 22:26, 1. Nov. 2012 (CET)

Ergänzung zum Beispiel

Hallo,

die ausführlichen Erklärungen zum Beispiel halte ich in erster Linie zwar für sehr sinnvoll, doch könnte es meiner Meinung nach, vor allem für Schüler, hilfreich sein das Beispiel unterstützend wie folgt darzustellen:

${\begin{aligned}f(x)&=\color {Black}u(\color {Blue}v(x)\color {Black})\\f'(x)&=\color {Blue}v'(x)\color {Black}\cdot \color {Black}u'(\color {Blue}v(x)\color {Black})\\\end{aligned}}$


${\begin{aligned}f(x)&=(\color {Blue}x^{3}+1\color {Black})^{2}\\f'(x)&=\color {Blue}3x^{2}\color {Black}\cdot 2(\color {Blue}x^{3}+1\color {Black})\\\end{aligned}}$
Mithilfe der Farbgebung wird versucht kompakt das "Zusammenspiel" zwischen äußerer und innerer Ableitung darzustellen ohne viele Worte.
Viele Grüße --MaFecht93 (Diskussion) 12:44, 13. Aug. 2014 (CEST)

Beweis mit Mitteln der Nichtstandardanalysis

Ich habe mich Mal an einen rigorosen Beweis innerhalb der Nichtstandardanalysis gemacht:

Für eine differenzierbare Funktion $f$ an der Stelle $x_{0}$ gilt: $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\approx {\frac {f(x+d)-f(x)}{d}}$, wobei $d$ ein beliebiges Infinitesimal ist.
Ersetzen wir die Relation $\approx$ durch ein Infinitesimal $d_{2}$ erhalten wir:

$f'(x)+d_{2}={\frac {f(x+d)-f(x)}{d}}\Leftrightarrow df'(x)+dd_{2}=f(x+d)-f(x)$

Wir erhalten nun die Aussage, dass $u(v(x))$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar ist, indem wir zeigen, dass für alle Infinitesimale $d$ ${\frac {u(v(x_{0}+d))-u(v(x_{0}))}{d}}\approx f'(x)$ gilt.

Da $v$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar ist, gilt $dv'(x_{0})+dd_{2}+v(x_{0})=v(x_{0}+d)$.

Durch Ersetzen erhalten wir: ${\frac {u(v(x_{0}+d))-u(v(x_{0}))}{d}}={\frac {u(dv'(x_{0})+dd_{2}+v(x_{0}))-u(v(x_{0}))}{d}}$

Da $u$ an der Stelle $v(x_{0})$ differenzierbar ist, gilt $du'(v(x_{0}))+dd_{2}+u(v(x_{0}))=u(v(x_{0}+d))$, und da $0\approx d\approx dv'(x_{0})+dd_{2}$ gilt, gilt ebenfalls
$(dv'(x_{0})+dd_{2})u'(v(x_{0}))+(dv'(x_{0})+dd_{2})d_{2}+u(v(x_{0}))=u(dv'(x_{0})+dd_{2}+v(x_{0})))$

Durch Ersetzen erhalten wir: ${\frac {u(dv'(x_{0})+dd_{2}+v(x_{0}))-u(v(x_{0}))}{d}}={\frac {(dv'(x_{0})+dd_{2})u'(v(x_{0}))+(dv'(x_{0})+dd_{2})d_{2}+u(v(x_{0}))-u(v(x_{0}))}{d}}$

$=(v'(x_{0})+d_{2})u'(v(x_{0}))+(v'(x_{0})+d_{2})d_{2}\approx v'(x_{0})u'(v(x_{0}))$

Da $v'(x_{0})u'(v(x_{0}))$ unabhängig von $d$ ist, existiert damit die Ableitung von $u(v(x))$ in $x_{0}$, und es gilt $(u(v(x_{0}))'=v'(x_{0})u'(v(x_{0}))$

Verglichen mit den zwei Zeilen Skizze ist es allerdings reichlich viel geworden, und es fühlt sich so an, als habe ich didaktisch den roten Faden verloren. An für sich entspricht der Beweis einem sturen Anwenden der Nichtstandard-Limes-Definition und anschließendem Abschätzen der Terme (um zu sehen, welche infinitesimal sind).

Falls jemand mir einen Ansatz geben könnte, wie ich das ganze kürzer & prägnanter ausführen könnte, wäre ich dankbar. --Sanitiy (Diskussion) 03:33, 28. Jun. 2018 (CEST)

Verknüpfung herstellen

Hallo! Der deutsche Artikel "Kettenregel" sollte mit den anderssprachigen Artikeln zum gleichen Thema (z.B. chain rule im Englischen) verknüpft werden. Ich weiß aber nicht, wie das funktioniert. lg