Diskussion:Satz von Kunugui

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Letzter Kommentar: vor 11 Jahren von 82.119.29.173 in Abschnitt a e {\displaystyle ae} vs. ä {\displaystyle {\mbox{ä}}}
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Die Aussage, dass jeder unvollständige metrische Raum eine Vervollständigung besitzt, welche echt grösser ist als , ist meiner Ansicht nach falsch. Betrachte . Die einzig sinnvolle Vervollständigung von ist selbst. Es gibt aber eine Bijektion zwischen und . Oder gibt es eine Vervollständigung von , welche tatsächlich echt grösser ist? -- 2001:620:8:3F42:8000:0:0:1843 17:34, 18. Jun. 2012 (CEST)Beantworten

Auch wenn die fragliche Formulierung nicht mehr im Artikel vorkommt, hier zur Aufklärung: Gemeint war "echt größer" im Sinne von echter Obermenge. Das ist in jedem Fall richtig, da zur Vervollständigung ja neue Punkte als Grenzwerte von nicht-konvergenten Cauchy-Folgen hinzugenommen werden. Gemeint war nicht echt größer im Sinne der Kardinalität, da ist korrekterweiße der unvollständige Raum ein Gegenbeispiel, er hat dieselbe Mächtigkeit wie seine (bis auf Isometrie eindeutige) Vervollständigung , nämlich .
Ich habe ein ganz anderes Problem mit der neuen Formulierung: Sie ist redundant. Jeder metrische Raum lässt sich per definitionem in seine Vervollständigung einbetten, hier sollte offensichtlich ein irgendwie geartetes "größer" vermieden werden. Neuer Vorschlag:
"Dies sieht man daran, dass jeder unvollständige metrische Raum eine Vervollständigung besitzt, die eine echte Obermenge des Raumes bildet."
-- 82.119.29.173 02:10, 6. Feb. 2013 (CET)Beantworten

vs.

[Quelltext bearbeiten]

@HilberTraum: Wusste gar nicht, dass das so möglich ist. Das ist natürlich dann die eleganteste Lösung. Besten Dank.^^ -- 82.119.29.173 23:53, 8. Feb. 2013 (CET)Beantworten