Diskussion:Spektralsatz

Spektralsatz für normale unbeschränkte Operatoren

Die heutige Ergänzung zum Thema Spektralsatz für normale, unbeschränkte Operatoren kann ich leider nicht nachvollziehen. Es wäre sehr hilfreich, wenn ein Einzelnachweis gegeben werden könnte, wo ich diese Zerlegung eines normalen Operators in zwei selbstadjungierte Nachlesen könnte. Die Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

ist normal und damit auch eine Darstellung eines normalen Operators. Wie zerlege ich diese in zwei selbstadjungierte Matrizen? --Christian1985 (Diskussion) 23:22, 3. Jan. 2012 (CET)

Sehe ich nicht auf Anhieb, aber der Zusammenhang gilt doch ganz allgemein: $A$ heißt normal, wenn $A\,A^{\dagger }=A^{\dagger }A$ ist. Andererseits sei $A=W_{1}+i\,W_{2}$ (mit selbstadjungierten und miteinander vertauschbaren $W_{i}$; dann ist doch $A^{\dagger }=W_{1}-i\,W_{2}$ und $A\,A^{\dagger }-A^{\dagger }\,A=-iW_{1}W_{2}+iW_{2}W_{1}\equiv 0$. (Übrigens stammt diese Weisheit nicht von mir sondern aus einer Vorlesung von Lothar Collatz.) Man muss versuchen, im konkreten Fall die W_i zu bestimmen, was wegen der allgemeinen Beziehung möglich sein sollte, auch wenn hier der konkrete Fall anscheinend schwieriger ist als der allgemeine Beweis. - MfG, Meier99 13:55, 4. Jan. 2012 (CET)

Mit dem kurzen Beweis hast Du nur gezeigt, dass ein Operator, der eine Zerlegung $A=W_{1}+i\,W_{2}$ mit den genannten Eigenschaften hat, auch normal ist, aber es ist nicht gezeigt, dass diese Zerlegung für jeden normalen Operator auch existiert. Ich könnte mir vorstellen, dass eine solche Zerlegung aus dem Spektralsatz für normale Operatoren folgt, in dem ich die Eigenwerte in Real- und Imaginärteil aufspalte. Falls dies so sein sollte, müsste dies im Artikel anders dargestellt werden. Zuerst müsste der Spektralsatz für unbeschränkte normale Operatoren dargelegt werden. Danach könnte dann diese Zerlegung gebracht werden. Aber dafür wäre erstmal eine Quellenangabe erforderlich! --Christian1985 (Diskussion) 14:31, 4. Jan. 2012 (CET)

Lieber Christian85 (Nachtrag, nach einem "nachdenklichen Spaziergang"): Du hat recht, und ich habe auch recht, mit einer kleinen Präsisierung: Im Reellen geht es nicht, wohl aber im Komplexen. Und zwar so - zunächst die linke Seite - : Die Matrix A ergibt 9 komplexe Zahlen minus eine Nebenbedingung, $A\,A^{\dagger }=A^{\dagger }\,A$, das ergibt 8 komplexe Zahlen (=16 im Reellen). Andererseits hat man auf der rechten Seite durch den Ansatz A=W₁+iW₂, mit selbstadjungierten W_i, 2x9(=18) reelle Freiheitgrade als "Unbekannte" minus eine komplexe (=2 reelle) Nebenbedingung (Vertauschbarkeit von W₁ mit W₂). Also 16 gegebene reelle Größen versus 16 "Unbekannte". Das passt also im Allgemeinen! - MfG, Meier99 16:27, 4. Jan. 2012 (CET)

Man kann die Existenz der Zerlegung relativ einfach beweisen: Dazu setzt man $W_{1}:=(A+A^{\dagger })/2$ und $W_{2}:=(A-A^{\dagger })/(2i)$. Dann kann man nachrechnen, dass die $W_{i}$ selbstadjungiert sind und miteinander vertauschen. -- HilberTraum 19:46, 4. Jan. 2012 (CET)

Was mir noch nicht klar ist:

• Im Text wird außerdem behauptet, dass man W_2 als Funktion von W_1 schreiben könne. Warum gilt das?
• Wenn ich das richtig verstehe, dann sind die W_i immer noch komplex. Welchen Nutzen hat man dann?

--Digamma 20:56, 4. Jan. 2012 (CET)

Durch die letzten Änderungen wurden Digammas Fragen leider auch nicht geklärt und eine Quelle fehlt auch weiterhin. Ich halte das insgesamt für so schwerwiegend, dass ich, falls das nicht geklärt werden kann, den Abschnitt wieder entfernen würde. Ich habe schon in vier Bücher zur Funktionalanalysis geschaut und nichts zum Thema gefunden. --Christian1985 (Diskussion) 19:08, 5. Jan. 2012 (CET)

Ich würde eher dazu tendieren, den Abschnitt zu behalten. Als Quelle habe ich z.B. [1] (S. 54) ergoogelt, aber da findet man sicher auch noch was Besseres. Die Zerlegung ist nützlich, weil die W_i zwar immer noch "komplex" sind, aber ein reelles Spektrum haben. Man kann damit z.B. den Spektralsatz für normale Operatoren aus dem für selbstadjungierte folgern. Man könnte allerdings überlegen, ob Näheres zur Zerlegung nicht besser im Artikel normaler Operator aufgehoben ist. -- HilberTraum 20:19, 5. Jan. 2012 (CET)

Es ist doch ganz simpel und wird in jeder Quantenmechanikvorlesung von den Physikern gebracht (leider anscheinend nicht von den den Mathematikern, vermutlich wegen zu großer Sprachbarrieren in beiden Richtungen). Also:
Vertauschbare Observablen haben ein-und-dasselbe System von Eigenfunktionen (Eigenvektoren) und unterscheiden sich nur in den Eigenwerten (gilt „dann und nur dann“). Also: die eine Observable ist eine Funktion der anderen (zum Beispiel deren n-te Potenz). Dann - und nur dann - sind die Eigenvektoren dieselben, und es unterscheiden sich nur die Eigenwerte, also in der Spektraldastellung $A=\int _{\Delta \lambda }\lambda \,\mathrm {d} E(\lambda )$ wird $\lambda \to f(\lambda )\,$ während sich $E(\lambda )$ nicht ändert. - MfG, Meier99 11:01, 6. Jan. 2012 (CET)

Trotzdem nochmals vielen Dank, denn das Ganze ist jetzt m.E. viel klarer formuliert (ich habe das jedenfalls versucht), und insbesondere ist mir dabei klar geworden, und auch so formuliert, dass konkret f₂(x)=tan(x) gilt. Sorry, dass ich das nicht gleich gesehen habe. - MfG, Meier99 11:57, 6. Jan. 2012 (CET)
Nachtrag: Das "tan" stimmt auch nicht, und man muss insgesamt viel vorsichtiger formulieren: So könnte zwar W₂ eine eindeutige Funktion von W₁ sein, aber auch umgekehrt, und eventuell könnten beide W-Operatoren von ein-und-demselben "Kurvenparameter" abhängen. Man muss also sehr vorsichtig formulieren und gleichzeitig dafür sorgen, dass nichttriviale Zusätze auftreten. Ich versuche das! Meier99 13:33, 6. Jan. 2012 (CET)

Anwendung

Ich möchte "Rolle in der Quantenmechanik" zu einem Unterkapitel von dem neuen Abschnitt "Anwendung" machen, da die Spektrale Dekomposition auch im Zeichen von Nettzwerken eine Anwendung findet. --NetzwerkJongleur (Diskussion) 10:11, 15. Nov. 2012 (CET)

Hallo, nur Mut!--Christian1985 (Disk) 15:04, 15. Nov. 2012 (CET)

Spektralsatz für Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorräume

Der zweite Absatz macht meines Erachtens keinen Sinn: Dort steht

$A$ ist normal und hat alle Eigenwerte in $\mathbb {K}$ $\Leftrightarrow$ $A$ ist unitär diagonalisierbar $\Leftrightarrow$ $A$ ist normal.

Weiter unten steht aber, dass im reellen nicht jede normale Matrix diagonalisierbar sei. --Maformatiker (Diskussion) 12:29, 24. Jul. 2016 (CEST)