Diskussion:Stieltjesscher Inhalt

Darstellung von Inhalten

In diesem Abschnitt heißt es: „Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf $\mathbb {R}$ als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.“ Dieser Satz ist falsch. Es gibt endliche Inhalte auf $\mathbb {R}$, die sich nicht als Stieltjes’scher Inhalt darstellen lassen. Gemeint sich wahrscheinlich die Inhalte auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, wobei ${\mathcal {B}}$ die vom Mengensystem ${\mathcal {J}}$ erzeugte Mengenalgebra ist. Es gibt aber Inhalte auf anderen Mengenalgebren, sogar auf dem Messraum $(\mathbb {R} ,2^{\mathbb {R} })$, die sich nicht als Stieltjes’sche Inhalte darstellen lassen.

Beispiel: ${\mathcal {A}}$ sei das Mengensystem, dass aus allen endlichen Teilmengen von $\mathbb {R}$ und deren Komplementmengen besteht. Dann ist ${\mathcal {A}}$ eine Algebra über $\mathbb {R}$ und

$\mu (A):={\begin{cases}0,&{\text{falls }}A{\text{ endlich ist}}\\1,&{\text{falls }}\mathbb {R} \setminus A{\text{ endlich ist}}\end{cases}},\quad A\in {\mathcal {A}}$

ein Inhalt (sogar ein Wahrscheinlichkeitsinhalt) auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {A}})$.

Eine ähnlich problematische Aussage findet sich im Artikel Mengenfunktionen.--Sigma^2 (Diskussion) 12:50, 3. Aug. 2024 (CEST)