Diskussion:Toeplitz-Vermutung

Widerspruch

Im Abschnitt Toeplitz-Vermutung#Varianten und Generalisierung findet sich folgender Abschnitt:

"Es ist bekannt, dass es für ein Dreieck $\Delta$ und eine Jordan Kurve $C$ kein [sic!] Dreieck gibt, dass ähnlich zu $\Delta$ und in $C$ eingeschrieben ist. Darüber hinaus ist das Menge der Eckpunkte dieses Dreiecks eine dichte Teilmenge. Es gibt vor allem immer ein gleichseitiges eingeschriebenes Dreieck."

Dies ist ein Widerspruch. Ich nehme an, gemeint ist stattdessen, dass es es immer ein solches Dreieck gibt. Das klingt aber auch nicht richtig, welche Dreiecke sollte bspw. die Gerade einschreiben? Kann das bitte jemand aufklären?

Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:784B:BAAD:EF60:BDB7 10:50, 9. Mai 2017 (CEST)

Update: Moment mal, eine Gerade besitzt ja auch kein engeschriebenes Quadrat?! Wird diese Kurve per se ausgeschlossen? Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:784B:BAAD:EF60:BDB7 10:55, 9. Mai 2017 (CEST)

Geschlossene Jordankurven.--Claude J (Diskussion) 11:27, 9. Mai 2017 (CEST)

Das ergibt deutlich mehr Sinn, vielen Dank! -- 2A02:8109:9400:474:7930:C038:48:E850 09:53, 10. Mai 2017 (CEST)

Vielen Dank für die Korrektur --Lukaskobler (Diskussion) 10:52, 13. Mai 2017 (CEST)

Aktuellere Ergebnisse

Die Toeplitz-Vermutung wurde angeblich 2020 gelöst. Dazu gab es mehrere Nachrichten siehe zum Beispiel hier Webseite MSN. Der Beweis findet sich hier: arXiv

Einige Verallgemeinerungen sind wohl immer noch offen. Von der Änderung wäreauch der Artikel zu Otto Toeplitz selbst betroffen. --Mathefreund (Diskussion) 17:48, 7. Nov. 2020 (CET)

Löst nicht die Toeplitz-Vermutung, da die Kurven glatt sein müssen (Spezialfall). Der Fall glatter Kurven wurde schon 1929 von Schnirelman gelöst, Greene und Lobb zeigten darüberhinaus, dass unendlich viele Rechtecke (ähnlich zu jedem beliebigen Rechteck, charakterisiert durch Verhältnis der Seitenlängen) auf der Kurve liegen. Siehe Quanta Magazine--Claude J (Diskussion) 19:41, 7. Nov. 2020 (CET)

Stimmt, das hatte ich übersehen. Vielen Dank! --Mathefreund (Diskussion) 10:14, 9. Nov. 2020 (CET)

Da stetige Kurven aber auch bizarre fraktale Monster umfassen ist die Formulierung für glatte Kurven dann doch vielleicht die geometrisch "richtige" (Ausnahmestellen von der Differenzierbarkeit, sogar abzählbar unendlich viele, scheinen durch den neuen Beweis mit abgedeckt, da jedes Rechteck, parametrisiert durch reelles Kontinuum der Seitenverhältnisse, auf der Kurve ist). Der Beweis scheint interessant zu sein (Parametrisierung der Rechtecke in vierdimensionaler symplektischer Mannigfaltigkeit bzw. Möbiusband, das darin eingebettet ist....)--Claude J (Diskussion) 10:17, 9. Nov. 2020 (CET)