Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

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Diskussion bis März 2005

Auf welchen zusätzlichen Axiomen baut sie auf?

Auf den bekannten 10 ;-)

Momentan kann ich mir nicht so viel darunter vorstellen ... --zeno 01:33, 14. Mai 2003 (CEST)

'Präzisiert' war hochgestapelt. Ich habe den Artikel aber auf meiner Liste. Hoffentlich kommt mir keiner zuvor ;-). Heizer 17:17, 14. Mai 2003 (CEST)

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Hab eine Liste der Axiome reingestellt, die Axiome selbst erstmal noch nicht. Der Noch-Selbstlink auf Axiomatische Mengenlehre ist beabsichtigt: Da soll en:Axiomatic set theory rein, ein Artikel der sich allgemeiner mit der (Geschichte der) Axiomatisierung der Mengenlehre beschaeftigt, im Gegensatz zu diesem, der speziell die heutige Form der Zermelo-Fraenkelschen beschreibt. --SirJective 12:53, 13. Jan 2004 (CET)

• Ist das immer noch in Planung? Inzwischen ist das schon fast 3 Jahre her, und immer noch ein Redirect hierher. -- Paul E. 21:47, 16. Mai 2007 (CEST)

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zu "Axiom der leeren Menge": man muss zusätzlich fordern, dass B nicht-leer ist oder dass B ungleich der leeren Menge ist, weil die leere Menge Teilmenge aller Menge ist, also eben auch der leere Menge (vgl. "Extensionalitätsaxiom").

Mir scheint, du verwechselt die Element-Beziehung mit der Teilmengen-Beziehung. Keine Menge B soll Element der leeren Menge sein (das besagt das Axiom), aber natürlich ist die leere Menge eine Teilmenge der leeren Menge. Lass dich auch nicht davon verwirren, dass alles Mengen sind - in ZF gibt es nur Mengen, keine so genannten Urelemente. --SirJective 17:36, 4. Jan 2005 (CET)

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Warum wird diese Seite bei den Suchen nach "Zermelo", "Zermelo-Fraenkel" und "ZFC" nicht gefunden?

Weil die genannten Titel nicht als eigene Seiten existieren und die Suchfunktion eingeschränkt oder abgeschaltet ist. Einige der genannten Titel habe ich jetzt als Weiterleitungsseiten angelegt. --SirJective 13:51, 27. Mär 2005 (CEST)

Formel für Auswahlaxiom

Ich denke, wir sollten in diesem Artikel auf die Monsterformel fürs Auswahlaxiom verzichten, und diese Formel ggf. nach Auswahlaxiom verschieben. Hier sollten die beiden natürlichsprachlichen Formulierungen reichen. --SirJective 17:07, 20. Mai 2005 (CEST)

Nee, wir sollten schon so konsistent sein und zu jedem Axiom die prädikatenlogische Formel hinschreiben. Es gibt sicher eine kürzere Version, evtl. entsprechend einer anderen Formulierung des Auswahlaxioms. Ich habe leider (noch) nicht genug Ahnung, um das zu machen, aber ich könnte es verifizieren. --Coma 19:39, 20. Mai 2005 (CEST)

Gut, lassen wir hier eine Formel stehen. Dann braucht aber der Auswahlaxiom-Artikel selbst auch eine! :) Ich hab mal nach verschiedenen Formulierungen des AC geschaut, aber keine gefunden, die elegant ist und gleichzeitig nur mit der Sprache $\{\wedge ,\vee ,\Rightarrow ,\lnot ,\forall ,\exists ,\in \}$ auskommt.

Wenn wir aber schon die definierten Symbole $\emptyset ,\cup ,=,\exists !,\{x\}$ in den Axiomen verwenden, könnten wir doch eigentlich auch die Symbole $\cap ,\subset$ definieren und verwenden, oder? Dann könnte man AC nämlich so schreiben:

$\forall A:((\emptyset \notin A\wedge \forall X:\forall Y:X\in A\wedge Y\in A\Rightarrow X\cap Y=\emptyset )$

$\Rightarrow \exists B:(\forall X:X\in A\Rightarrow \exists !Y:Y\in X\cap B))$

Und wenn wir uns noch die (bisher nicht verwendeten) Definitionen

$(\forall A\in B:\phi ):\Leftrightarrow (\forall A:A\in B\Rightarrow \phi )$

$(\exists A\in B:\phi ):\Leftrightarrow (\exists A:A\in B\wedge \phi )$

erlauben, dann reduziert sich das zu:

$\forall A:((\emptyset \notin A\wedge \forall X\in A:\forall Y\in A:X\cap Y=\emptyset )\Rightarrow \exists B:(\forall X\in A:\exists !Y:Y\in X\cap B))$

Wenn du aber ganz ohne definierte Symbole auskommen wolltest, dann müsstest du strenggenommen auch auf die Symbole $\emptyset$ und = verzichten. Die Frage ist also, welche definierten Symbole wollen wir verwenden? --SirJective 23:25, 20. Mai 2005 (CEST)

Ja, da sollten wir konsitent sein! Evtl. könnte man auch kurz vor der Formel "Abkürzungen" definieren und die dann in der Formel verwenden. Das "=" wird in der Prädikatenlogik oft explizit spezifiziert (ich halte es für überflüssig, dess es ist ja auch nur ein Prädikat). Auch die Implikation und die Äquivalenz sind strenggenommen unnötige Abkürzungen. Mit NAND kann kann man glaube sogar auf UND, ODER und NICHT verzichten. Problematisch an Mengenoperatoren wie $\cup ,\cap$ ist, dass man eigentlich erst axiomatisch festlegen will, was Mengen überhaupt sind, bzw. was man mit ihnen machen kann. Erst dann folgt der Schritt Mengenoperationen zu definieren. In sofern ist es legitim alle möglichen logischen Ausdrücke zu benutzen. Mengenoperationen sollte man aber besser weglassen. = und $\emptyset$ kann man aber verwenden, weil sie schon in den ersten beiden Axiomen definiert werden. --Coma 11:37, 22. Mai 2005 (CEST)

Die Zeichen "=" und emptyset werden durch zwei Axiome definiert. "{x}" und "A u B" werden noch nicht definiert, aber im Unendlichkeitsaxiom verwendet. Ich denke, dass eine Formulierung dieses Axioms ohne diese beiden Abkürzungen recht unhandlich wird. Da im Absatz über das Aussonderungsaxiom aber die Schreibweise "{C in A | P(C)}" eingeführt wird, können wir genauso in den beiden anderen Axiomen die Schreibweisen "{A,B}", "{A} := {A,A}" und "bigcup A", sowie als Kombination der beiden die Schreibweise "A cup B := bigcup {A,B}" einführen. Damit hätten wir das Unendlichkeitsaxiom auf sicherem Boden. Zusätzlich könnten wir an geeigneter Stelle definieren "A cap B := {x in A | x in B}". Diese Mengenoperationen sind doch nur abkürzende Schreibweisen für die Mengen, deren Existenz von einem bestimmten Axiom und deren Eindeutigkeit vom Extensionalitätsaxiom gesichert wird. Die Schreibweise "forall A in X : phi" hat dagegen mit den Axiomen der Mengenlehre gar nichts zu tun, sondern ist eine rein (formal-)sprachliche Definition.

Mit NAND kann man (klassische Logik vorausgesetzt) alle anderen logischen Junktoren darstellen, ebenso wie man exists und exists! durch forall und Junktoren ausdrücken kann. Aber ich denke, auf diese Symbole - die ja bereits in der als gegeben vorausgesetzten Logik definiert werden - sollten wir nicht verzichten. Mit dem "=" ist das so eine Sache (jetzt erzähl ich, was ich von meiner Modelltheorie-Vorlesung behalten hab):

Das "=" ist eigentlich nicht Teil der reinen Prädikatenlogik, weil es keine (logischen) Formeln vergleicht, sondern Terme. In Termen können Zeichen v_i für Variablen, r_i für Relationen, f_i für Funktionen und c_i für Konstanten auftreten; man erhält so eine Prädikatenlogik über einem Alphabet {v_i, r_, f_i, c_i}. Oft lässt man "=" als Äquivalenzrelation zu, ohne sie als eines der r_i aufzuführen.

In unserem Fall der Mengenlehre brauchen wir eigentlich nur das Alphabet {v_i, in}, und wir definieren im Extensionalitätsaxiom eine neue Relation, die wir mit "=" bezeichnen - von der wir nun aber zeigen müssten, dass sie eine Äquivalenzrelation ist. Wir könnten aber auch so vorgehen, dass wir "=" als Äquivalenzrelation vorgeben, und mit dem Extensionalitätsaxiom nur eine Eigenschaft der "in"-Relation festlegen. Letzteres scheint mir sinnvoller zu sein - wir setzen voraus, dass zwei Mengen (egal was Mengen sind!) entweder gleich oder ungleich sind, und dieses Axiom gibt uns ein Mittel, herauszufinden, welche dieser beiden Möglichkeiten vorliegt.

Zusammenfassend lautet mein Vorschlag: Sauber definieren, welche Sprache wir für unsere Prädikatenlogik verwenden, und bei jedem Axiom die definierten Konstanten und Relationen als Definition benennen. Z.B. lautet das Axiom der leeren Menge dann $\exists A\forall B:\lnot (B\in A)$, und wir stellen dann fest, dass es genau eine Menge A mit dieser Eigenschaft gibt, und wir diese fortan emptyset nennen. Ebenso wie wir nach Angabe des Paarungsaxioms feststellen können, dass es für alle Mengen A und B genau eine Menge C mit der genannten Eigenschaft gibt, und wir diese Menge "{A,B}" nennen.

--SirJective 13:33, 22. Mai 2005 (CEST)

Ja, so sollte es sein! --Coma 01:34, 23. Mai 2005 (CEST)

Eindeutigkeit

Bei den Existenzbehauptungen in diesem Artikel wird die Frage der Eindeutigkeit nicht konsistent behandelt. Ich versuche mal, das in Ordnung zu bringen, und hoffe, dass mir kein Irrtum passiert. -- Peter Steinberg 01:00, 19. Jun 2005 (CEST)

Man sollte Umschreibung, Formeldefinition und Kommentar klarer trennen.--Gunther 02:12, 19. Jun 2005 (CEST)

Gunthers Hinweis hab ich nicht rechtzeitig gelesen. Irgendwie hab ichs trozdem hoffentlich geschafft bis zum Potenzmengenaxiom. Bei Regularitätsaxiom weiß ich zzt. überhaupt nicht, ob das postulierte B eindeutig sein soll.

Soll nicht eindeutig sein, z.B. ist $\{\varnothing ,\{\{\varnothing \}\}\}$ zu seinen beiden Elementen jeweils disjunkt.--Gunther 02:46, 19. Jun 2005 (CEST)

Verhältnis zur Prädikatenlogik

Bei den drei folgenden Axiomen ist bisher nicht erkennbar, was unter "Prädikat" verstanden werden soll. Irgendwie wird unausgesprochen eine Prädikatenlogik zu Grunde gelegt. (Natürlich auch schon durch die Verwendung der Quantoren.) -- Peter Steinberg 02:26, 19. Jun 2005 (CEST)

"Sie baut auf den Axiomen der Aussagenlogik und Prädikatenlogik [...] auf"--Gunther 02:58, 19. Jun 2005 (CEST)

Ok, ich hatte wieder mal nicht gründlich genug gelesen. Trotzdem: Auf "der" Prädikatenlogik also. (Die Aussagenlogik gehört hier raus, weil die Pr.L. eine Erweiterung davon ist.) Aber was für eine Prädikatenlogik? - Der Abschnitt Prädikatenlogik bei wikipedia bezeichnet das Wort als synomym zu "Logik erster Stufe" (ein Begriff den ich so nicht kenne). Später in den Artikel heißt es: "Häufig spricht man präziser von Prädikatenlogik erster Stufe", was ok ist. Dann heißt es aber: Es "…lässt sich aber mit der Prädikatenlogik erster Stufe die ganze Mengentheorie formalisieren...", und da habe ich erhebliche Zweifel, wenn die ZF-Mengenlehre gemeint sein sollte. Denn im Aussonderungsaxiom heißt es "Zu jeder Menge A und jedem einstelligen Prädikat P existiert…" Genau das lässt sich in einer Prädikatenlogik erster Stufe nicht formulieren. Ähnlich ist es mit "jede Abbildung f..." beim Ersetzungsaxiom. (Da steht verschleiernd "eine Abbildung f..."; gemeint ist offenbar eine beliebige, also jede.) In unserer Formalisierung sind die Quantoren dann einfach weggelassen.
Mir scheint eher, dass ZF eine typenfreie Prädikatenlogik verwendet: Es gibt keine Unterscheidung von "Urelementen", Mengen von solchen, Mengen von solchen Mengen usf. (So auch schon SirJective auf dieser Diskussionsseite am 4. Jan 2005.) -- Peter Steinberg 22:42, 24. Jun 2005 (CEST)

"Jedes Prädikat" muss nicht formalisiert werden, weil es sich um ein Axiomenschema handelt: für jedes Prädikat ein Axiom. (Aber ich weiß nicht, wovon ich hier rede, man möge mich korrigieren.) Und ja, ZF ist typenfrei.--Gunther 22:50, 24. Jun 2005 (CEST)

Nachtrag: Inzwischen weiß ich's genauer: ZF ist "typenfrei" in dem Sinne, wie das oben beschrieben ist, aber die zu Grunde liegende Prädikatenlogik ist von 1.Stufe, d.h. es wird nur über Objekte (also Mengen) quantifiziert, nicht über Prädikate diese Mengen. Hab das im Text wieder in Ordnung gebracht. -- Peter Steinberg 22:30, 7. Sep 2005 (CEST)

Einverstanden: Das muss nicht formalisiert werden. - Wovon die redest: Von einem Schema, das "für alle" Prädikate gilt, ohne dass dieses "für alle" innerhalb des (typenfreien) logischen Systems formalisiert ist. Das könnte geschrieben werden:

$\forall P\,\bigwedge _{A}\bigvee _{B}\bigwedge _{C}\,C\in B\iff \left(C\in A\right)\land P(C)$

(Um ein bisschen zu stänkern: Du redet häufig auch über natürliche Zahlen, ohne dass diese Zahlen…) -- Peter Steinberg 23:53, 24. Jun 2005 (CEST)

Das "für alle" im Aussonderungsaxiom ist sozusagen metalogisch - zähle alle einstelligen Prädikate auf und schreibe für jedes ein Axiom hin. Innerhalb von ZF ist es eigentlich egal, wie man an "all diese" Prädikate herankommt, um die Axiome hinzuschreiben - die Axiome sind einfach da. Aber es sollte in der Erklärung dieses Schemas schärfer unterschieden werden, was genau die Axiome sind, in etwa so:

Ein Axiomenschema, das zu jedem einstelligen Prädikat P das folgende Axiom enthält: Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge von A die genau die Elemente C von A enthält, für die P(C) wahr ist.

Analog sollten auch die Ersetzungsaxiome umformuliert werden.

Peter, du hast da diese Unterscheidung zwischen forall und bigwedge in der Formel, die mir immer noch nicht so ganz klar ist (wie du vielleicht schon an anderer unpassender Stelle bemerkt hast) :) Anscheinend meinst du das forall "außerhalb" und das bigwedge "innerhalb" der betrachteten Logik. Diese Unterscheidung würde dann hoffentlich auch in meiner Formulierung zum Ausdruck kommen. --SirJective 13:37, 25. Jun 2005 (CEST)

Richtig, genau so meine ich's, und dabei beziehe ich mich auf die Diskussion über Quantoren auf der Diskussionsseite des Portals. Ich will aber keinesfalls vorschlagen, dies auf der Artikelseite so umzuformulieren. SirJectives Formulierung finde ich völlig in Ordnung, ich hoffe, er setzt sie um (sonst tu ichs gelegentlich). Nur für unsere interne Diskussion wollte ich festhalten, dass wir ohne Metasprache nicht auskommen und dass wir auch in dieser Quantoren brauchen (und, auch wenn Gunther es vorläufig noch nicht glauben will, auch natürliche Zahlen.) -- Peter Steinberg 21:05, 25. Jun 2005 (CEST)

For the record: Ich bestreite auch die Notwendigkeit von Quantoren auf dieser Ebene.--Gunther 21:13, 25. Jun 2005 (CEST)

Dann musst du schleunigst die letzten Änderungen reverten, denn da steht: "zu jedem einstelligen Prädikat P" und "für jedes zweistelliges Prädikat P", und du kannst doch schlechterdings nicht bestreiten, dass das Quantoren sind! ;-) -- Peter Steinberg 22:57, 26. Jun 2005 (CEST)

Für mich ist das gewöhnliche Sprache. Wenn Du das Quantoren nennen willst, meinetwegen. Es ist nur etwas völlig anderes als die $\forall$s, die in den Axiomen stehen.--Gunther 23:15, 26. Jun 2005 (CEST)

Meine Rede! Quantoren in axiomatischen Systemen sind etwas völlig anderes als metasprachliche Quantoren. Die Metasprache ist "ganz normale Sprache". Übrigens ist "eins, zwei drei!" auch ganz normale Sprache. -- Peter Steinberg 00:00, 28. Jun 2005 (CEST)

Axiomenschemata

@ SirJective: Das Aussonderungsaxiom ist m.E. jetzt völlig in Ordnung. Langsam kommt Stil in die Sache! Vor allem die Angabe der Notation trägt viel dazu bei, dass die Intention dieses Axioms klar wird.

Ich versteh allerdings nicht, warum du beim Ersetzungsaxiom die Sache weitgehend wieder zurückgenommen hast. Ich denke, deine Version von 14:26 war ziemlich o.k.! Die linke Seite kann entfallen, wenn gesagt wird, dass das Axiomenschema für jede Abbildung P das Axiom $\forall A:\exists B:\forall C:C\in B\iff \exists D:D\in A\land P(D,C))$ enthält. Was eine Abbildung ist, muss hier nicht in eine Prämisse reinfomuliert werden, denn es lässt sich vollständig in der Prädikatenlogik formulieren, die ZFC vorgeschaltet ist. In der umgangssprachlichen Paraphrasierung sollte der Begriff allerdings erläutert werden, wie du es ja auch beibehalten hast. (Nur sollte man die Abbildung hier nicht auf einmal f statt P nennen - der einzige Verbesserungsvorschlag, den ich zu der Version von 14:26 habe.)

P ist im Ersetzungsaxiomenschema ein Zeichen für eine beliebige Abbildung, genauso wie es im Aussonderungsaxiomenschema ein Zeichen für ein beliebiges einstelliges Prädikat ist. Auch das wird als solches hier nicht definiert. - Da fällt mir noch auf: Vielleicht ist es doch besser, dafür zwei verschiedene Buchstaben zu verwenden? Also für die Funktion vielleicht (durchgehend!) F? -- Peter Steinberg 22:49, 26. Jun 2005 (CEST)

Ich hab mir die (lange) Diskussion zum en:Axiom schema of replacement durchgelesen, wo ebenfalls die Frage aufkam, wie diese Axiome formuliert werden sollten: Vermutlich sollten wir uns einfach an der einschlägigen Literatur orientieren. Ebbinghaus, Flum, Thomas, Einführung in die mathematische Logik formuliert für jedes (n+2)-stellige Prädikat ein Axiom, das als Vorbedingung die Eindeutigkeit des (n+2)-ten Arguments bei Vorgabe der ersten n+1 Argumente hat, wobei die ersten n Argumente als Parameter und das (n+1)-te als eigentliches Funktionsargument aufgefasst wird. Modulo der Parameter entspricht das also der wiederhergestellten Version.

Das Ergebnis beider Varianten ist praktisch dasselbe - in der Version mit Vorbedingung hat man nur einen Haufen zusätzlicher Axiome, die aufgrund der unerfüllten Prämisse überflüssig sind. Um eines der Axiome anzuwenden, muss man aber so oder so diese Vorbedingung prüfen - entweder um zu sehen, dass das Axiom existiert oder um eben die Prämisse als erfüllt zu erkennen.

Die prämissenlose Version hat also den Vorteil, dass die sowieso (wegen der falschen Prämisse) erfüllten Aussagen nicht als Axiom betrachtet werden, die Version mit Prämisse hat den Vorteil, dass man einfach sagen kann, man hat "für jedes zweistellige Prädikat" ein Axiom. Ich bin da also eigentlich unentschieden.

Die Mischung von f und P innerhalb der Beschreibung des Axiomenschemas gefällt mir auch nicht, aber "P(X,Y)" und "f(X)" ist ja leider was anderes. Erst "Y=f(X)" entspricht "P(X,Y)" - auf der genannten englischen Seite und auch oben auf dieser Seite sind einige Punkte zu "Definitionserweiterungen" angesprochen worden, die ich bisher in de-WP noch nicht gesehen habe. --SirJective 23:16, 26. Jun 2005 (CEST)

Ersetzungsaxiom

Da steht

 und wird als $\{Y|D\in A\land F(D,Y)\}$ notiert.

Aber das stimmt nicht. Niemand notiert die Menge so, jeder nutzt die Funktionsschreibweise in der Art $\{f(x)|x\in X\}$ oder so ähnlich. Das was da steht ist lediglich nochmal die Menge B aus dem Axiom in Klassenschreibweise (class comprehension), bzw. sollte D dann eigentlich explizit extensional quantifiziert sein:

 $\{Y|\exists D\colon (D\in A\land F(D,Y))\}$

--141.70.81.151 10:57, 14. Jan. 2014 (CET)

Beim zweiten Hindenken kommen mir erhebliche Zweifel an "deiner" Definition einer Abbildung: $(\forall X:\exists !Y:P(X,Y))$? - Heißt das, dass eine Abbildung auf allen Objekten von ZFC definiert sein muss? Das bringt doch keinen Sinn, selbst wenn en:Functional predicate es ähnlich formuliert. - Ich meine, die Definition einer Abbildung müsse heißen (etwas salopp hingeschrieben): $\forall X,Y,Z:P(X,Y)\land P(X,Z)\Rightarrow Y=Z$

Ich bin nach wie vor sehr dafür, die Prämisse weg zu lassen: Sie stört die Systematik (was sich in der Prädikatenlogik formulieren lässt, gehört nicht in ZFC!), verschlechtert die Lesbarkeit (Bandwurm...) und die Verstehbarkeit (das $\exists !$ ist hier nicht definiert, und eine Definition ist schwer auffindbar).

Außerdem scheint mir, dass $\{f(D)|D\in A\}$ durch P allein noch gar nicht eindeutig bestimmt ist, sondern von A abhängt.

Ich versuch jetzt mal eine Umformulierung; ändere sie, wenn sie falsch ist. Sie erklärt auch, wie ich das mit den P und F gemeint habe. -- Peter Steinberg 00:00, 28. Jun 2005 (CEST)

Mit der angekündigten Umformulierung bin ich heute morgen doch nicht mehr zu Rande gekommen, und inzwischen hat SirJektiv das Axiom noch mal überarbeitet. Trotzdem sind die Probleme, die ich genannt habe, m.E noch nicht gelöst. Bitte prüft doch mal meinen jetzt gleich eingestellten Vorschlag. -- Peter Steinberg 23:39, 28. Jun 2005 (CEST)

• "Für alle Prädikate" ist nicht Teil der Axiome, sondern nur eine Regel, wie die Axiome zu erzeugen sind.
• Die "Abbildungen" sind keine Abbildungen im Sinne von Abbildung (Mathematik) und auch keine Relationen im Sinne von Relation (Mathematik).
• "wird gewöhnlich als Y=F(X) geschrieben": Das wird hier nicht verwendet (und soweit mir bekannt auch in keinem anderen WP-Artikel).

--Gunther 23:56, 28. Jun 2005 (CEST)

Darf ich noch einmal darum bitten, die einschlägige Literatur zu Rate zu ziehen? Das Vorgehen des einen Logik-Buchs in meinem Besitz habe ich oben schon genannt. Wenn wir die Prämisse "weglassen", dann müssen wir sie trotzdem im Vor-Satz nennen - es geht also nur darum, wo wir diese Prämisse nennen.

"was sich in der Prädikatenlogik formulieren lässt, gehört nicht in ZFC" - Ich dachte, Prädikatenlogik wäre ein Teil von ZFC? Meinst du, wir sollten die "Auswahl" der gewünschten Prädikate "metalogisch" vornehmen (außerhalb der Prädikatenlogik von ZFC)?

Gunthers Bemerkungen zur letzten Änderung schließe ich mich voll an: Wir haben es nicht mit Abbildungen (= spezielle Mengen) zu tun, sondern mit zweistelligen Prädikaten. --SirJective 11:36, 29. Jun 2005 (CEST)

Nachtrag: Diese prädikatenlogischen "Abbildungen" sind auf dem gesamten Mengenuniversum definiert. Eine einfache Möglichkeit, z.B. die Nachfolgerrelation $s(X,Y)\equiv Y=X\cup \{X\}$ von IN auf das Universum fortzusetzen wäre:

$s'(X,Y)\equiv (X\in \mathbb {N} \wedge Y=X\cup \{X\})\vee (X\notin \mathbb {N} \wedge Y=\emptyset ).$

Dabei ist der Term "$X\in \mathbb {N}$" nur eine sprachliche Abkürzung für den korrekten, aber deutlich längeren, ZFC-Term. Natürlich könnte man s auch unverändert von IN auf das gesamte Universum ausdehnen, aber es mag durchaus Prädikate geben, wo der gezeigte "Trick" notwendig ist. --SirJective 12:26, 29. Jun 2005 (CEST)

Mir scheint, wir diskutieren hier über keine grundlegenden Fragen.

• sind Abbildungen spezielle Mengen oder spezielle zweistellige Prädikate? - Wer tiefer einsteigt, findet: Es sind Mengen, weil extensional zu verstehen, o.k. Die Einführungssätze von Abbildung (Mathematik) und Relation (Mathematik) deuten eher auf Prädikate hin. SirJectives Formulierung sprach von "prädikatenlogischen Abbildungen". Was soll das sein? In der Prädikatenlogik (ohne ZFC) lassen sich Mengen gar nicht formulieren; in ZFC sind "Abbildungen" noch nicht definiert. Ich habe eine Formulierung vorgeschlagen, die Abbildungen als spezielle zweistellige Prädikate einführt, um diesem Dilemma zu entgehen.
• Die Prädikatenlogik ist Teil von ZFC in dem Sinne, dass es Grundlage von ZFC ist. Sie kann ohne den Mengenbegriff existieren, aber nicht umgekehrt. Ich denke, es ist guter Stil, wenn Definitionen, die ohne den Mengenbegriff auskommen (z.B. "Abbildungen" in dem Sinne, wie ich sie hier verwenden wollte), bei der Formulierung des "eigentlichen" ZFC nicht formal wiederholt werden, sondern auf das bereits Formulierte Bezug genommen wird.
• Wir haben ja die Prädikatenlogik (obschon "Teil" von ZFC) mit guten Gründen nicht in diesen Artikel aufgenommen. ((Leider ist sie als typenfreie Prädikatenlogik auch sonst in wikipedia nicht formuliert.)) Deshalb halte ich es für angemessen, die dort schon formulierbaren Prämissen hier umgangssprachlich (metasprachlich) einzuführen. Dass sie - so oder so - gebraucht werden, ist natürlich klar. Ebenso klar ist, dass auch die Prädikatenlogik ein axiomatische Theorie ist, dass es also prinzipiell möglich ist, alles zusammen zu formalisieren.
• Sicher ist es möglich, jede Abbildung auf dem gesamten "Mengenuniversum" zu definieren. Aber was bringt das? Welche zusätzliche Erkenntnis fließt aus so grauenhaft vielen leeren Mengen, deren Existenz auch noch axiomatisch postuliert werden muss? - Ich finde meinen Ansatz menschenfreundlicher, sachdienlicher und nicht weniger präzise.

Ihr habt gemerkt, dass es mir wesentlich darum geht, diesen Artikel zugänglicher zu machen. Aber, wie gesagt, um Grundsätzliches geht es m.E. nicht. Mit diesem Hinweis möchte ich das Lemma dem Rest der community (insbesondere Gunther und SirJective) überlassen. Ich werd mich vielleicht irgendwann nochmal zum Thema Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Sonderrolle des Auswahlaxioms oder sonst zur Strukturierung der Axiome einmischen.

Ich gebe zu, der Begriff "prädikatenlogische Abbildung" ist meine Erfindung, in Unkenntnis des korrekten Begriffes. Ich meine damit das, was wir alle hier haben wollen: Eine bestimmte Art von zweistelligem Prädikat. :) Ich denke auch, Gunther ist vor allem auf den Link auf "Abbildung (Mathematik)" angesprungen. Diesen Punkt habe ich (vorläufig) im Artikel klargestellt.

Mit meiner Forderung nach der Existenz von genau einem anstelle von höchstens einem "Funktionswert" halte ich mich an die Version der englischen WP und die von Ebbinghaus. Die Abbildungen in deiner Deutung wären partielle Abbildungen. Das wäre für mich eigentlich kein Problem, da es sich ja eh nicht um Funktionen im ZF-Sinne handelt, aber es entspricht eben nicht der Darstellung in der mir bekannten "Literatur" (wenn man bei einem Buch schon von Literatur sprechen kann *g*).

Wie ich oben schon schrieb, halte auch ich es für geschickter, die Begriffe, die benötigt werden, gleich zu erklären, sobald sie erklärt werden können. Für rein prädikatenlogische Begriffe, wie eben die Abbildung oder den "exists!"-Quantor, wäre damit der richtige Ort oberhalb aller ZFC-Axiome.

--SirJective 17:20, 30. Jun 2005 (CEST)

Ich sehe, wir sind hier sehr nahe beeinander. - Ich kann es nicht lassen und habe eben noch eine Änderung vorgenommen, die ihr bitte als Vorschlag auffasst. Ich finde sie allerdings ziemlich gut:

• Ein Prädikat "ist" keine Abbildung, aber es "repräsentiert" eine Abbildung, nämlich modulo extensionaler Gleichheit;
• Die Frage der "Definition auf dem gesammten Universum" muss an dieser Stelle nicht geklärt werden.
• Die Darstellung ist knapp und nicht komplizierter als unbedingt nötig, und trotzdem, so meine ich, fehlerfrei. -- Peter Steinberg 2. Jul 2005 22:22 (CEST)

Sonderrolle des Auswahlaxioms

Ich fände es besser, das Auswahlaxiom und dessen Äquivalente, die ja später hinzugenommen wurden, auch im Text erkennbar abzugrenzen. Nicht ohne Grund wird ja unterschieden zwischen ZF und ZFC. -- Peter Steinberg 23:14, 24. Jun 2005 (CEST)

Eine Anmerkung:

Wer diese Seite versteht, braucht sie eigentlich nicht! Das Beispiel (zum Fundierungsaxiom): $\{\varnothing ,\{\{\varnothing \}\}\}$ ist zu seinen beiden Elementen jeweils disjunkt. So etwas gehört in den Text! Und es sollten noch mehr Beispiele sein. Aber ich möchte so als Neuling auch nicht direkt als Vandale den Text ändern.

-- Peter Niessen 4. Jul 2005 03:54 (CEST)

Bis auf Regularitäts- und Auswahlaxiom geht es ja darum, dass gewisse Konstruktionen "erlaubt" sind. An welche Art Beispiel denkst Du da? Regularitäts- und Auswahlaxiom haben jeweils eigene Artikel, das wäre vielleicht der geeignetere Ort für weitergehende Erklärungen.--Gunther 4. Jul 2005 10:17 (CEST)

Alle Axiome sollten eigene Artikel haben, in denen sie mit Beispielen verständlich gemacht werden, und wo ihre Zusammenhänge und Varianten dargestellt werden. Die Axiomenliste hier sehr ich primär als Übersicht. --SirJective 9. Jul 2005 19:30 (CEST)

Hm, das Axiom der leeren Menge könnte etwas unergiebig sein, ebenso Paarmengenaxiom und Extensionalitätsaxiom.--Gunther 9. Jul 2005 20:08 (CEST)

Da muss ich SirJective Recht geben. Das Axiom der leeren Menge zum Beispiel ist wirklich nicht unergiebig, denn es ist das einzige, das voraussetzungslos festlegt, dass es in einem ZFC-System überhaupt etwas gibt. Deshalb hat ja ein berühmter Mathematiker (leider ist mir entfallen, wer) erklärt, Mathematik sei "die Metaphysik der leeren Menge". Da steckt einiges mehr dahinter als das schlichte "$\exists B\,\forall A:\lnot (A\in B)$". Irgendwann im Laufe der nächsten Jahre werde ich mal dazu kommen, dies auszuführen.
Über Extensionalität habe ich ja bei Mengenlehre und Menge (Mathematik) gerade einiges geschrieben. Sicher wäre es sinnvoll, diese Gesichtspunkte auch in einem Lemma Extensionalitätsaxiom anzusprechen.
Zitat aus dem Lemma Axiom: "Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Gültigkeit haben soll, so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie)." -- Peter Steinberg 00:05, 10. Jul 2005 (CEST)

Diese grundlegenden Axiome sind für sich genommen unvollständig, beispielsweise ist ja ohne Extensionalität nicht klar, dass es nur eine leere Menge gibt. Es interessiert sich vermutlich auch niemand dafür, was aus dem Extensionalitätsaxiom allein folgt, oder was aus den anderen Axiomen ohne das Extensionalitätsaxiom folgt. Deshalb erscheint mir eine getrennte Behandlung nicht sinnvoll.

In Mengenlehre oder Menge (Mathematik) geht es um den Begriff der Menge, der Extensionalität als einen Aspekt umfasst. Dass diese aber einem der Axiome entspricht, ist dafür irrelevant.--Gunther 00:52, 10. Jul 2005 (CEST)

Natürlich sind die Axiome nicht unabhängig voneinander. Trotzdem hat wohl jedes(?) seine ureigene Intention. Aber das sollten wir hier m.E. nicht weiter diskutieren, sondern der konkreten Weiterarbeit überlassen. Wenn die Artikel mal angegangen werden, können wir uns noch genug über ihren Sinn streiten. -- Peter Steinberg 23:17, 11. Jul 2005 (CEST)

Unterscheidung Notation

Wäre es möglich, daß die Symbole für Mengen und Elemente sich unterscheiden, z.B. Mengen Großbuchstaben, fett o.ä, Elemente Kleinbuchstaben? (bitte bitte)

Wir hätten dann statt

       $\forall A,B:A=B\iff \forall C:(C\in A\iff C\in B)$
       $\exists B\,\forall A:\lnot (A\in B)$

das besser lesbare, da c eine andere Ebene/andere Kategorie ist als A und B

       $\forall \mathbf {A} ,\mathbf {B} :\mathbf {A} =\mathbf {B} \iff \forall c:(c\in \mathbf {A} \iff c\in \mathbf {B} )$
       $\exists \mathbf {B} \,\forall a:\lnot (a\in \mathbf {B} )$

usw.

Das fände ich sehr hilfreich.

Gottfried Helms

Das ist hier definitiv nicht sinnvoll. In ZFC gibt es eben keine Unterscheidung zwischen Mengen und Elementen, sondern alles ist Menge.--Gunther 7. Jul 2005 00:40 (CEST)

Klammersetzung u. .a

Bei der Formalisierung sollten die Klammern richtig gesetzt sein. Die Quantoren werden gewöhnlich in polnischer Notation verwendet und beziehen sich auf die folgende Aussage, die im Zweifelsfall klar abgrenzt sein muss. 1. Extensionalität: Klammer um die Gesamtaussage nach B: ist nötig. 2. Leermengenaxiom (mein empfohlener Name, der wie sonst ein Wort wäre): Doppelpunkt nach B fehlt. 3. Paarmenge: Klammer um die Gesamtaussage nach D: ist nötig. 4. Vereinigung: Klammer um die Aussage nach C: , ferner steht die Klammer nach dem Äquivalenzzeichen falsch: Sie gehört hinter den Quantor D:. 5. Unendlichkeit: Klammer um die Aussage nach A: , ferner steht die Klammer nach dem Und-Zeichen falsch: Sie gehört hinter den Quantor x:. Warum ist hier x das einzige Mal klein geschrieben? 6. Potenzmenge: Klammer um die Aussage nach B: , ferner steht die Klammer nach dem Äquivalenzzeichen falsch: Sie gehört hinter den Quantor C:. 7. Fundierung: Klammer um die Aussage nach A:, B:, C: 8. Aussonderung: Klammer um die Aussage nach C:. 9. Ersetzung: Klammer um die Aussage nach C: und D:. 10. Auswahlaxiom: 6 öffnende Klammern und nur zwei schließende Klammern (Syntaxerror). Bei quantifizierung von X, Y, Z dich Kommaschreibweise von 1. und 3. nutzen. Warum ist hier das einizige Mal die Non-Element-Aussage geklammert? Positiv ist hier bei dieser Aussage die enge Schreibweise ohne Lücken, die optisch klar macht, dass Relationszeichen stärker binden. Das wäre auch sonst empfehlenswert bei der Elementrelation und dem Gleichheitszeichen, weil die unnötigen Lücken stören. Auch die chronischen Lücken vor dem Doppelpunkt stören optisch. Grüße: Dr. W. Neumaier

Klammersetzung 2

Entschuldigung, mein Drucker hat beim Auswahlaxiom nicht die ganze Zeile ausgedruckt, weil sie überlang ist, daher kommt der Syntaxerror zustande. Tippfehler in Klammersetzung 1 bitte ignorieren. Dr. W. Neumaier

konsequente prädikatenlogische Formulierung

Es gibt übrigens eine wirklich 100%ig prädikatenlogische Formulierung der ZF-Axiome (die einzige mir bekannte)und zwar bei: Oberschelp, Allgemeine Mengenlehre, 1994, S. 262. Sie benützt nur wirklich sauber definierte prädikatenlogische Zeichen und nutzt u.a. den Eindeutigkeitsquantor aus, um die problematischen Funktionen zu eliminieren. Der Eindeutigkeitsquantor ist in der Prädikatenlogik mit Gleichheitsprädikat definiert (und wird auch schon im Auswahlaxiom benutzt). Man sollte diese Form der Prädikatenlogik als Voraussetzung angeben, und zwar ganz am Anfang, und möglichst darauf hinweisen, welche Zeichen dort definiert sind. Die Oberschelp-Mengenlehre ist m. E. die einzige, die auch klar sagt, dass man in der Prädikatenlogik keine Mengenterme benützen kann (!), weil sie sich nicht exakt definieren lassen (S. 263). Sie arbeitet selbst in einer Klassenlogik, in der beliebige Klassenterme zur Verfügung stehen. Deshalb findet sich dort eine Seite vorher (S. 261) eine sehr viel einfachere Version von ZF, die Klassenterme gut ausnützt.

Historisch ist die prädikatenlogische Version so oder so nicht. Die alten Logiker wie Zermelo und Fraenkel benützten sie noch nicht. Von Skolem stammt die erste Formalisierung, aber nicht in der heutigen Form der Prädikatenlogik. Auch sie muss deswegen übersetzt werden. Dr. W. Neumaier

Historisches

ZF benützt 8 Axiome von Zermelo aus dem Jahr 1907 (gedruckt 1908). Nur das 9. Axiom der Ersetzung stammt von Fraenkel (1922). Skolem bot die erste Formalisierung von ZF erst im Jahr 1929 (nicht 1922!) ohne Fundierungsaxiom, das es damals noch nicht gab. Dieses ergänzte Zermelo erst 1930. In der Arbeit von 1930 gab Zermelo selbst seinem Axiomensystem auch den Namen ZF-System (ohne Fundierung). Ausdrücklich bezieht das originale ZF-System auch Urelemente ein. Die prädikatenlogische Fassungen haben also stillschweigend ein Zusatzaxiom: die Gleichsetzung der Allklasse mit der Mengenklasse, die im Allquantor steckt. Habe den Artikel gemäß diesen Daten und den vorausgehenden Diskussionen korrigiert. Dr.W.Neumaier

Ich bin Laie auf dem Gebiet der Mengenlehre. Aber kann mir irgendjemand erklären, warum heutige Axiomensysteme der Mengenlehre auf Urelemente verzichten? Nach meinem Gefühl gibt man da doch das auf, was man sich von Anfang an unter einer Menge vorstellt. --Hanfried.lenz 17:36, 4. Sep. 2007 (CEST).

Eine Antwort zur Frage der Urelemente. Schon Fraenkel, der entscheidend dazu beitrug, dass sich die Zermelo-Mengenlehre verbreitete, sprach sich gegen Urelemente aus, weil er sie für unnötig hielt. Auch die erste Formalisierung der ZF-Mengenlehre von Skolom verzichtete auf Urelemente. Das hat dann Schule gemacht, so dass heutige Axiomensysteme in der Regel eine reine ZF-Mengenlehre beschreiben. Man kommt zur Beschreibung irgendwelcher Sachverhalte tatsächlich auch ohne Urelelmente aus, und zwar wegen Fraenkels Ersetzungsaxiom, denn mit diesem könnte man eine Menge mit Urelementen auf eine Menge ohne Urelemente bijektiv abbilden, also in eine moderne Menge einbetten. Das ist wohl das Hauptargument für eine reine Mengenlehre ohne Urelemente. Das zweite Argument ist die Vereinfachung der Axiome und Beweise: Für Urelemente bräuchte man vor allem eine schwächere Extensionalität, die nur für Mengen gilt und nicht für Urelemente; das macht formale Beweise dann mühsamer, weil man immer zusätzliche Mengenbedingungen (auch bei anderen Axiomen) mitschleppen müsste. Es gibt aber auch heute noch Mengenlehren, die die ursprünglichen Zermelo-Urelemente einkalkulieren, soweit ich mich erinnere: W. Felscher, Mengenlehre, mehrere Bände. Ich hoffe, die Antwort ist ausreichend. --Wilfried Neumaier 09:28, 29. Sep. 2007 (CEST)

Axiome

Ich weiß, ZF und ZFC werden immer als Axiome bezeichnet, doch im eigentlichen Sinn sind es nicht alle, da einge IMHO von den anderen deduktiv hergeleitet werden können. mathematik.de bezeichnet diese als Schema.

Grundsätzlich kann man Axiome immer auch redundant annehmen, das heißt mit überzähligen Axiomen, die man auch beweisen könnte. Axiome sind immer nur Annahmen, über deren Beweis man nicht reflektiert oder reflektieren möchte. Die ZF-Axiome sind tatsächlich redundant, was im Artikel weiter unten auch ausdrücklich erwähnt wird; dort steht bei Axiom 9. genau, auf welche Axiome bzw. Axiomenschemata man verzichten könnte. --Wilfried Neumaier 09:57, 29. Sep. 2007 (CEST)

Außerdem stellt sich mir die Frage, was der Ausdruck Funktion im Axiomensystem ist - ich bin in Logik nicht so bewandert, aber der mathematische Funktionenbegriff lässt sich aus ZF(C) herleiten, darf dann ein Axiom diesen begriff verwenden? Oder gibt es einen logischen Funktionsbegriff, der in der Wiki nicht behandelt wurde? -- CC4

Der Ausdruck Funktion oder Abbildung beim Ersetzungsaxiom ist problematisch. Hier ist es definitiv nicht der in ZF herleitbare Funktions- oder Abbildungsbegriff. Zermelo und Fraenkel gebrauchten ihn auch ursprünglich gar nicht, sondern umschreiben den Sachverhalt. Es ist ein Phänomen der formalen Sprache, die Formeln mit einer oder mehreren Variablen als Funktionen (Abbildungen) ansieht, weil sie optisch wie Funktionen geschrieben werden, obwohl sie keine mengentheoretischen Funktionen sind. Notwendig werden solche formalsprachliche Pseudofunktionen deswegen, weil damit Axiomenschemata in der Metasprache beschrieben werden; um sie in Beweisen anzuwenden, braucht man dann immer gewisse metalogischen Eigenschaften, in diesem Fall die quasi-funktionale Regel, die im Artikel genannt ist. Anders ist es bei der alternativen Formulierung des Auswahlaxioms; hier wird der in ZF definierte Funktionsbegriff vorausgesetzt. --Wilfried Neumaier 09:57, 29. Sep. 2007 (CEST)

Paarmengenaxiom (2.) und Urelemente

Sollte es nicht besser

Wenn A, B Objekte sind, dann gibt es eine Menge C

oder

Wenn A, B Elemente sind, dann gibt es eine Menge C

statt

Wenn A, B Mengen sind, dann gibt es eine Menge C

heißen? Wenn sich kein Widerstand dagegen regt, werde ich das mal so ändern. -- Rubik-wuerfel 15:55, 28. Nov. 2007 (CET)

In der heutigen ZF-Mengenlehre sind alle Objekte und alle Elemente Mengen, daher sind undefinierte Hilfsbegriffe wie "Element" oder "Objekt" unnötig. Anders wäre das im originalen ZF-System von Zermelo, der auch Urelemente einkalkulierte, die keine Mengen sind. Hier wären die Formulierungsvorschläge besser. Da aber die heute übliche prädikatenlogische Formalisierung die Zermelosche Idee von Urelementen nicht berücksichtigt, würde ich die bisherige Formulierung stehen lassen oder eine verbale prädikatenlogische Formulierung vorschlagen, die nichts über den Charakter von A und B aussagt, wie es auch das formalisierte Axiom tut: Für alle A und B gibt es eine Menge C ..... --Wilfried Neumaier 10:14, 31. Dez. 2007 (CET). Heute in diesem Sinn geändert.--Wilfried Neumaier 12:21, 1. Jan. 2008 (CET)

BTW: Wollen wir einen eigenen Artikel Urelemente schreiben statt des jetzigen Redirects auf Mengenlehre. Der englische Artikel en:Urelement sieht auf dem ersten Blick ganz in Ordung und als Basis geeignete aus. --Pjacobi 17:25, 31. Dez. 2007 (CET)

Habe den englischen Urelement-Artikel gelesen. Er ist nicht ganz korrekt, denn nicht alle Elemente, die keine Mengen sind, sind automatisch Urelemente (siehe Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre). Daher stimmt auch die dort gemachte Gleichsetzung Individuum=Urelement nicht ganz. Die Definition muss also genauer sein, auch historisch genauer, denn Urelemente führte meines Wissens Zermelo erst 1930 ein; aber die Zermelo-Mengenlehre von 1908 kann potentiell Urelemente fassen. Ich habe eben einen Artikel verfasst, der formal und historisch diese Dinge berücksichtigt und mit den entscheidenden Artikeln verlinkt ist.--Wilfried Neumaier 12:21, 1. Jan. 2008 (CET)

ZF-System ohne Gleichheit

Extensionalität und Gleichheit

Hallo Wilfried Neumaier, du hast unter dem Kapitel über Redundanz den folgenden Punkt aufgenommen:

• Das Extensionalitätsaxiom kann zur Definition der Gleichheit verallgemeinert werden:

$A=B:\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B)$

Ich halte dies für bedenklich und möchte ihn gerne wieder streichen. Kannst du dafür eine Quelle angeben? Meine Argumente sind die folgenden:

In der Prädikatenlogik 1. Stufe wird das Gleichheitssymbol normalerweise als logisches Zeichen (vergleichbar mit Quantoren oder aussagenlogischen Konnektiven) angesehen, d h. seine Interpretation ist von vorneherein festgelegt, und zwar muss es in jeder Interpretation als die Gleichheitsrelation interpretiert werden. Wenn man nun "=" als reine Abkürzung gemäß der gegebenen Formel ansieht, kann dies nicht mehr erzwungen werden. Es sind plötzlich Modelle von ZF(C) möglich, in denen die Extensionalität nicht gilt (bezüglich der "echten" Gleichheitsrelation). Es könnte also z. B. 2 leere Mengen geben, die voneinander verschieden sind. Sie sind zwar "gleich" im Sinne der Abkürzung, da sie dieselben Elemente enthalten, aber diese "Gleichheit" ist eben nicht die echte Gleichheitsrelation.

Gruß, Wasseralm 21:40, 15. Jan. 2008 (CET)

Das ist in der Tat solange richtig, wie man sich auf eine Prädikatenlogik mit Identität bezieht. Tut man das aber nicht - und das ist hier gemeint - dann ist die Vereinfachung möglich und das Gleichheitszeichen ist mit dieser Definition zu eliminieren (Ich kenne diese Variante aus einer Mengenlehre-Vorlesung). Der Präzision halber muss das natürlich ausdrücklich erwähnt werden.--Wilfried Neumaier 21:50, 15. Jan. 2008 (CET)

Das überzeugt mich noch nicht ganz. Natürlich kann man Prädikatenlogik ohne Gleichheit machen, aber ZFC ist eben in der Sprache der Prädikatenlogik mit Gleichheit formuliert. Kann es sein, dass sich deine Erinnerung auf Logiken höherer Ordnung bezieht? Wie auch immer, ich schlage vor, den Satz erst mal zu eliminieren, und die Thematik und eine angemessene Formulierung hier zu diskutieren. Gruß, Wasseralm 21:57, 15. Jan. 2008 (CET)

Das ist keine Logik höherer Ordnung, sondern erster Stufe. Man benützt ja bekanntlich oft Definitionen zur Vereinfachung von Axiomensystem, ich könnte in der Literatur massenhaft Beispiele gegeben. Auch die ZF-Formalisierung hier tut das: Sie benützt das definierte Durchschnitt-Symbol oder den definierten Eindeutigkeitsquantor. Insofern kann das ZF-Axiomensystem auch als per =Definition vereinfacht notiertes Axiomensystem in einer Prädikatenlogik ohne Gleichheit verstanden werden. Ich habe daher die Definition als Zusatzmöglichkeit hintangestellt. Ich denke das ist angemessener.--Wilfried Neumaier 22:20, 15. Jan. 2008 (CET)

Dass man es so definieren kann, bezweifle ich ja nicht. Aber es ist eben nicht mehr äquivalent zu ZF, da die "unterliegende Logik" gewechselt wurde. Auch die Modelltheorie ist anders, weil es jetzt eben keine kanonische Gleichheitsrelation mehr gibt. Ich denke, wir sollten die Thematik anhand geeigneter Quellen einmal abklären. Dummerweise habe ich dazu keine vorliegen (außer allgemeine über Prädikatenlogik). Kannst du welche nennen? Gruß, Wasseralm 22:29, 15. Jan. 2008 (CET)

Die Gleichheitsaxiome kann man ja offensichtlich beweisen. Also ist es eine kanonische Gleichheitslogik per Definition. Außerdem ist die Extensionaltität trivial beweisbar. Also gibt es keine anderen Modelle. Wie sollte das auch möglich sein?--Wilfried Neumaier 22:40, 15. Jan. 2008 (CET)

Quellen kann ich momentan auch keine nennen, werde aber an meiner ehemaligen Uni einmal suchen, weil ich das - wie gesagt - aus einer Vorlesung von früher kenne. --Wilfried Neumaier 22:45, 15. Jan. 2008 (CET)

... und ich frage einen ehemaligen Kollegen.

außerdem: durch die Gleichheitsaxiome wird nur erzwungen, dass die "Gleicheitsrelation" als Äquivalenzrelation interpretiert wird. Es kann aber verschiedene Elemente im Modell geben, die äqivalent sind, z. B. mehrere leere Mengen. Wasseralm 22:57, 15. Jan. 2008 (CET)

Das ist auch so in der Prädikatenlogik mit Gleichheit! Das übliche ZF-Fundament hat dieselbe Eigenschaft! Es gibt immer Nicht-Standard-Modelle, in denen eine echte Kongruenz vorliegt. Der Prädikatenlogik ist es bis jetzt noch nicht gelungen, ein Axiomensystem für die absolute Identität anzugeben. Das gewährleistet immer nur ein Standardmodell. Und Standard- oder Nicht-Standardmodelle sehen in beiden Fällen, die wir gerade diskutieren, gleich aus.--Wilfried Neumaier 09:52, 16. Jan. 2008 (CET)

Nein, das ist in der Prädikatenlogik 1. Stufe mit Gleichheit nicht so (nur Äquivalenzrelation), da hier festgelegt ist, dass das Zeichen "=" in Modellen immer als Identität zu interpretieren ist. Gruß, Wasseralm 20:20, 16. Jan. 2008 (CET)

Das ist eine semantische Einschränkung, keine logische. Die prädikatenlogischen Gleichheitsaxiome lassen auch andere Interpretationen zu. Das meine ich genau: Nur willkürliche semantische Einschränkungen für Interpretationen garantieren die Identität. Solche nehmen zwar manche Autoren vor, das ist aber keineswegs "immer" so festgelegt: Die Axiome garantieren nur eine Kongruenzrelation, z.B. laut: Michael Richter: Logikkalküle, Stuttgart 1978. Willkürlich kann man auch semantische Einschränkungen bei Interpretation für ZF-Prädikatenlogiken vereinbaren, damit es die Identität wird. Man betrachtet aber üblicherweise prädikatenlogische Axiomensysteme (wie alle logischen Axiomensysteme) als "formal", als unabhängig von der Interpretation in Modellen, und untersucht in der Semantik daher alle Modelle, auch wenn sie nicht Standard sind. Die Logik gibt keine Auskunft über Modelle, sondern erst die Metalogik (Modelltheorie). So ist es bei ZF mit oder ohne Gleichheit.--Wilfried Neumaier 15:35, 18. Jan. 2008 (CET)

Na ja, das habe ich anders gelernt, aber da gibt es vielleicht verschiedene Auffassungen, und wir brauchen die Diskussion ja auch nicht ausufern lassen. Für mich ist die natürliche Reihenfolge: 1. Definition von Formeln. 2. Zuweisung einer Semantik (Modelltheorie) und damit die Festlegung der logischen (semantischen) Folgerung. 3. Die Suche nach Kalkülen, die diese semantische Folgerung nachvollziehen. Gruß, Wasseralm 19:36, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich kenne diese Schule auch, finde sie aber nicht elegant. Grund 1: Man braucht eine echte (!) Klasse von Modellen zur Definition der Semantik, wenn man korrekt vorgeht. Grund 2: Diese Methode ist ahistorisch, denn in der alten, eleganteren Tradition (Aristoteles, Frege, Zermelo, Hilbert u.a.) sind die Axiome primär, die Modelle werden erst in neuer Zeit dazu produziert.--Wilfried Neumaier 21:57, 18. Jan. 2008 (CET)

Gerade fiel mir auf, dass Autoren des Artikels Mengenlehre#Definitionen genau diese vereinfachte ZF-Mengenlehre vertreten und dort diese Gleichheitsdefinition installiert haben. Sie hatten offenbar eine Quelle, die wohl in der dortigen Literaturliste zu finden ist. Jedenfalls sind Verdächtigungen dieses Standpunkts nicht angebracht.--Wilfried Neumaier 10:23, 16. Jan. 2008 (CET)

Hallo, nach meinen ersten (mündlichen) Erkundigungen scheint die Betrachtung von ZF in der Logik ohne Gleichheit vielgestaltiger zu sein, als ich zunächst dachte. Z. B. scheint auch die folgende Definition der Gleichheit eine Rolle zu spielen:

$A=B:\iff \forall C\colon (A\in C\iff B\in C)$

(zwei Mengen sind gleich, wenn sie in denselben Mengen enthalten sind). Ich melde mich zu dem Thema erst wieder, wenn mir schriftliche Quellen vorliegen. Momentan kann man m. E. die Stelle so lassen, wie sie jetzt ist. Gruß, Wasseralm 21:32, 16. Jan. 2008 (CET)

Diese ebenfalls mögliche Definition ersetzt aber das Extensionalitätsaxiom nicht! Außerdem gehört sie objektiv nicht zu ZF.--Wilfried Neumaier 14:52, 18. Jan. 2008 (CET)

Hallo Wilfried Neumaier, ich beginne mich mit dem Gedanken anzufreunden, dass du im Prinzip Recht hast. Sehe ich das aber richtig, dass in dem Fall der Logik ohne Gleichheit, wo die Gleichheitsbeziehung einfach als Abkürzung definiert wird (und man damit das Extensionalitätsaxiom einspart), trotzdem die Gleichheitsaxiome (für die definierte Relation "=") dazugenommen werden müssen. Sonst sehe ich nicht, wie das neue System logisch äquivalent zu ZF sein sollte. Gruß, Wasseralm 19:39, 18. Jan. 2008 (CET)

Eine =Definition, aus der die =Axiome nicht folgen, wäre witzlos. Die Gleichheitsaxiome folgen aus der Äquivalenz $\iff$ im Definiens; sie eine Operation mit Äquivalenz-Eigenschaften, was leicht zu zeigen ist (aussagenlogischer Automat).--Wilfried Neumaier 21:57, 18. Jan. 2008 (CET)

Ja, die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität folgen selbstverständlich aus der =Definition, aber zu den Gleichheitsaxiomen gehört ja auch noch die Verträglichkeit mit den Prädikaten, bei einer 2-stelligen Relation also etwa in der folgenden Form:

$\forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}:(x_{1}=x_{2}\land y_{1}=y_{2}\land x_{1}Ry_{1}\Longrightarrow x_{2}Ry_{2})$

Wenn ich richtig umgeformt habe, bleibt davon in unserem Fall (R ist $\in$) noch die folgende Aussage übrig:

$\forall x_{1},x_{2}:(x_{1}=x_{2}\Longrightarrow \forall y:(x_{1}\in y\iff x_{2}\in y))$

Da sehe ich nicht, wieso das aus der =Definition (als Extensionalität) folgen sollte, also muss dieses Gleichheitsaxiom eigentlich dazugenommen werden (oder übersehe ich etwas?). Gruß, Wasseralm 14:33, 19. Jan. 2008 (CET)

Das muss ich mir genau ansehen. --Wilfried Neumaier 15:37, 19. Jan. 2008 (CET)

Das muss geklärt werden. Denn, wäre die Ergänzung tatsächlich notwendig, dann bringt die Definition wenig. Ich sehe auf die Schnelle auch keine Beweismöglichkeit und suche danach.--Wilfried Neumaier 17:40, 19. Jan. 2008 (CET)

Ich habe den strittigen Punkt entfernt, denn ich sehe immer noch keine Lösung, sondern meine, dass Du da auf einen echten wunden Punkt gestoßen bist. Ich setze den fraglichen Text hierher:

Es genügen sogar die Axiome 4–7 und 9, wenn man eine Prädikatenlogik ohne Identität voraussetzt. Denn Gleichungen in den ZF-Axiomen sind eliminierbar, wenn das Extensionalitätsaxiom zur Definition der Gleichheit verallgemeinert wird:

$A=B:\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B)$

Man könnte dafür einen alternativen Text in den Artikel stellen, der die alternative Definition, die Du ins Gespräch gebracht hast einbezieht, weil sie genau die Lücke füllt:

Man kann ZF auch auf einer Prädikatenlogik ohne Identität aufbauen, indem man eine Definition der Gleichheit vornimmt:

$A=B:\iff \forall C\colon (A\in C\iff B\in C)$.

Diese Definition darf nicht mit dem Extensionalitätsaxiom verwechselt werden, denn sie besagt, dass Elemente gleich sind, wenn sie in denselben Mengen liegen. Man kann mit ihr und der Extensionalität alle Gleichungsaxiome beweisen, so dass Gleichungen aus dem ZF-Axiomensystem eliminierbar sind.

Was hälst Du von diesem Vorschlag? Könntest Du eine Quelle finden, die so vorgeht. Falls es sie gibt, findet man dort vielleicht auch eine Begründung, warum die Extensionalität-Definition nicht ausreicht. Man müsste dann auch den Artikel Mengenlehre" korrigieren. ---- Inzwischen habe ich selbst von einem Mathematiker, bei dem ich Mengenlehrte früher hörte, ein Buch gefunden, das - abgesehen von der etwas anderen Darstellung - auf die Definitionsmöglichkeit eingeht und auch beide Definitionen kombiniert, nämlich: Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen, Bd. 1, S. 78-80. Das bestätigt die Notwendigkeit beider Formeln. Der eben genannte Vorschlag ist aber vorzuziehen, weil er nur eine Definition benützt und die Extensionalität als Axiom bestehen lässt.--Wilfried Neumaier 15:29, 21. Jan. 2008 (CET)

Hallo Wilfried (ok?), beide Möglichkeiten haben gewisse Vorteile, aber dein Vorschlag kann auf alle Fälle so rein, da man dabei an den Axiomen nichts ändern muss. Ich halte es aber für besser, einen eigenen kleinen Abschnitt (mit einer Überschrift "Formulierung ohne Gleichheitssymbol" oder so ähnlich) dafür zu spendieren und es nicht in den Redundanz-Abschnitt dazuzupacken. Die Auswirkungen auf den Artikel Mengenlehre überblicke ich noch nicht. Man KANN ja die Gleichheit durch Extensionalität definieren, es muss halt noch ein Axiom dazu, was man an der Stelle aber vielleicht unterschlagen kann. Gruß, Wasseralm 20:12, 21. Jan. 2008 (CET)

Änderung des Abschnittes

Wilfried Neumaier es stimmt zwar, dass es nicht ausreicht, die Extensionalität in die Definition zu packen. Wenn man ZF haben will, braucht man immer das Extensionalitätsaxiom. Das besondere am Extensionalitätsaxiom ist aber: Wenn man das Extensionalitätsaxiom hat, muss man die extensionalität nicht in die Gleichheitsdefinition packen. Ausformuliert steht ja beim Extensionalitätsaxiom:

$\forall A,B\colon \left(\forall C\colon (A\in C\iff B\in C)\land \forall C\colon (C\in A\iff C\in B)\right)\iff \left(\forall C\colon (C\in A\iff C\in B)\right)$

und das lässt sich nunmal verkürzen zu:

$\forall A,B\colon \left(\forall C\colon (A\in C\iff B\in C)\right)\iff \left(\forall C\colon (C\in A\iff C\in B)\right)$

Dabei ist es völlig egal, ob wir nun die linke oder die rechte Seite als Gleichheit definieren. Wichtig ist nur, dass das Extensionalitätsaxiom aussagt, dass diese beiden Bedingungen äquivalent sind. Dein unterster Absatz ist zwar richtig, aber auch fehl am Platze, da es ja nicht darum geht, das Extensionalitätsaxiom zu ersetzen. Das Extensionalitätsaxiom soll so wie es ist stehen bleiben. --Eulenspiegel1 00:08, 10. Jun. 2011 (CEST)

Ich war ja verantwortlich für den bisherigen Text und dachte ursprünglich auch, dass sich das so verkürzen ließe. Aber es lässt sich doch nur zu einer Implikation verkürzen und nicht zu einer Äquivalenz, wie mir aufgefallen ist. Daher habe ich den Text geändert: Jetzt steht nur die äquivalente Implikation als nötiges Axiom da. Wenn ich aber irgendetwas übersehen habe, dann müsstest Du mir das kurz vorrechnen.--Wilfried Neumaier 14:00, 10. Jun. 2011 (CEST)

Unendlichkeitsaxiom und Zahlenmengen

Ist vielleicht eine dumme Frage, aber ich bin grad 9. Klasse und hab ein Verständnisproblem ;)

Und zwar gibt es ja die unendliche Menge $\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace ,\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace ,\ldots \rbrace$

Und man definiert $\mathbb {N}$ als diese Menge, dabei ist $0=\emptyset ,1=\lbrace \emptyset \rbrace ,2=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace ,3=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace ,\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace ,\ldots$.

Wenn man aber $\mathbb {Z}$ definiert, kann man doch auf die gleiche Menge zurückgreifen und sagen: $0=\emptyset ,1=\lbrace \emptyset \rbrace ,-1=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace ,2=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace ,\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace ,-2=\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace ,\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace ,\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace ,\lbrace \emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace \rbrace ,\ldots$.

Das Axiom der Bestimmtheit besagt: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Das sollte doch wahr sein, wie man oben sieht.

Eigentlich sollte $\mathbb {N}$ aber doch eine echte Teilmenge von $\mathbb {Z}$ sein: $\mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Z}$.

Wie ist das zu erklären?

--L'ottimo 20:03, 20. Mär. 2008 (CET)

Die Definition von $\mathbb {N}$ ist so gemacht, dass jede Zahl genau so viel Elemente hat, wie sie angibt, und dass die Teilmengenrelation der Ordnung "kleiner oder gleich" entspricht. Es ist die Definition von Neumann 1928, die sich durchgesetzt hat, weil sie zweckmäßig ist und die Eigenschaften einer Ordinalzahl hat. Diese Eigenschaften gehen bei Deiner Definition von $\mathbb {Z}$ für die Teilmenge $\mathbb {N}$ verloren. Deine Definition stellt aber eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Z}$ her, die besagt, dass beide Mengen gleichmächtig sind. Diese kann man bei jeder beliebigen Definition von $\mathbb {N}$ herstellen. Bei unendlichen Mengen gibt es eben echte Teilmengen, die gleichmächtig sind. Zum Beispiel sind die geraden Zahlen eine echte Teilmenge von $\mathbb {N}$, die auch gleichmächtig ist, weil man sie ähnlich wie in Deinem Beispiel zuordnen kann.--Wilfried Neumaier 23:45, 20. Mär. 2008 (CET)

Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Die Gleichmächtigkeit der Teilmengen war mir schon bekannt, mein Problem war, dass $\mathbb {N}$ die gleichen Elemente benutzt wie $\mathbb {Z}$. Dies ist allerdings wie ich aus deiner Antwort (hoffentlich richtig) erschließe nicht der Fall, da bei der Definition von $\mathbb {Z}$ die von $\mathbb {N}$ neu angepasst werden muss, d.h. betrachte ich nur $\mathbb {N}$ so entspricht die unendliche Menge wirklich $\mathbb {N}$. Kommt nun $\mathbb {Z}$ hinzu, entspricht die unendliche Menge $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {N}$ muss neu definiert werden. Folgerung: Definiert man neue Elemente (mit der leeren Menge und deren Obermengen), muss die Definition der bisherigen Elemente abgeändert werden. Zahlen können also nur mit der Mengenlehre eindeutig definiert werden, wenn man von der gleichen Gesamtmenge ausgeht. Habe ich das richtig verstanden? --L'ottimo 00:13, 21. Mär. 2008 (CET)

Genau, man muss sich für eine Definition entscheiden. Doppeldeutige Definitionen führen zu Widersprüchen und sind in der Mathematik nicht erlaubt. Deine $\mathbb {Z}$-Definition würde ja auch zugleich $\mathbb {N}$ definieren und das geht nicht mehr, da $\mathbb {N}$ schon definiert war. Man kann grundsätzlich aber auch andere $\mathbb {N}$-Definitionen als Neumann wählen; Zermelo wählte ursprünglich die Zahlenreihe 0, {0}, 0, {{{0}}}... Man kann $\mathbb {N}$ auch undefiniert lassen und durch die Peano-Axiome charakterisieren; genauso kann man $\mathbb {N}$ auch aus dem Körper $\mathbb {R}$ oder aus dem Ring $\mathbb {Z}$ aussondern. Dies sind lauter gleichwertige Möglichkeiten, von denen in einer mathematischen Theorie immer nur eine realisiert werden kann. Die neuere ZF-Mengenlehre bevorzugt hier eben Neumanns Definition, die vom mengentheoretischen Standpunkt aus die eleganteste ist.--Wilfried Neumaier 20:01, 21. Mär. 2008 (CET)

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. --L'ottimo 21:23, 21. Mär. 2008 (CET)

Hierzu muss man aus der praktischen Mathematik 2 Anmerkungen machen : 1. Man kann Z so auf N abbilden, dass 0 ~ 1, 1 ~ 2, -1 ~ 3, 2 ~ 4, -2 ~ 5, ... n ~ (2n), -n ~ (2n + 1),...., was die Gleichmächtigkeit von Z und N zeigt. Dies erläutert das oben gesagte. 2. Die natürlichen Zahlen lassen sich an Hand von allem definieren, das man abzählen kann. Zum Beispiel auch an Hand von Mengen ununterscheidbarer Elemente a: 1 ~ (a), 2 ~ (a,a), .... oder in anderer Schreibweise 1 ~ (a), 2 ~ (2a), ..... Die einfachste Definition ist aber N = ( 1, 2, 3, ........). Leere Mengen zu nehmen, oder sogar Mengen von leeren Mengen, ist in meinen Augen eine mathematische Spielerei, und wenn man mehr darunter versteht, Esoterik. (--Dok21fie (Diskussion) 15:12, 5. Apr. 2013 (CEST))

Ganze Zahlen werden als Äquivalenzklassen der geordneten Paare aus N definiert (wobei (3,1) ein Repräsentant der Zahl 3-1 oder zwei ist, und alle Klassen einen Repräsentanten (a,0), geschrieben a, oder (0, a) geschrieben -a haben). Brüche werden als Äquivalenzklassen der geordneten Paare in Z definiert (nämlich der geordneten Paare aus Zähler und Nenner). Ein geordnetes Paar (a,b) wird in die Mengenlehre formal als {{a},{a,b}} integriert. Die reellen Zahlen kann man dann auch noch irgendwie integrieren, zum Beispiel als die Menge aller kleineren oder gleichen Brüche. Ach ja, die natürlichen Zahlen beginnen in vielen sinnvollen Anwendungen notwendig mit 0, und die ganze Mathematik ist per definitionem Spielerei, sonst würde man sie ja Physik oder Kostenrechnung nennen. Praktischer Nutzen dennoch nicht ausgeschlossen.--131.159.76.187 14:04, 26. Apr. 2013 (CEST)

Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu dem Unendlichkeitsaxiom

Müsste es nicht anstatt $x\cup \{x\}$, so heißen: $\{x\}\cup \{\{x\}\}$, da ansonsten gilt: $x\cup \{x\}=\bigcup \{x,\{x\}\}=B$ und die Menge B würde nun nach 4) alle Elemente der Elemente von $\{x,\{x\}\}$ enthalten, aber das Element $x$ ist doch nur Element und keine Menge und so macht es doch keinen Sinn von einem Element von $x$ zu sprechen.

Liebe Grüße Peter --Pummelpeter (Diskussion) 10:15, 7. Aug. 2013 (CEST)

Es ist schon korrekt. Mengen und Elemente sind in ZF dasselbe. Zahlen sind hier Mengen, und zwar hat die Zahl n genau n Mengen-Elemente.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 15:03, 7. Aug. 2013 (CEST)

Redundanz

Warum lässt sich das Leermengenaxiom aus dem Unendlichkeitsaxiom folgern? Das Unendlichkeitsaxiom müsste man ohne Leermengenaxiom doch schreiben

$(\exists \varnothing :\forall C:\neg (C\in \varnothing ))\Rightarrow (\exists A\colon (\varnothing \in A\land \forall X\colon (X\in A\Rightarrow X\cup \{X\}\in A)))$

Ohne das Leermengenaxiom ist es auch gutmöglich, dass es gar nichts gibt, d.h. $\exists X:\Phi$ ist für keine Aussage $\Phi$ erfüllt. Natürlich kann man das Leermengenaxiom vereinfachen zu:

$\exists X:X=X$

Aus diesem $X$ kann die Existenz von $\emptyset$ über Aussonderung gezeigt werden. --79.199.116.186 21:50, 24. Mai 2008 (CEST)

Im Unendlichkeitsaxiom müsste man das Leermengensymbol $\varnothing$ ganz elimineren und durch gebundene Variablen beschreiben, denn eine feste Menge hinter einem Quantor ist syntaktisch inkorrekt. Das Unendlichkeitsaxiom lautet ausführlich so:

$\exists A\colon (\exists B\colon (B\in A\land \forall C\colon \neg (C\in B))\land \forall X\colon (X\in A\Rightarrow X\cup \{X\}\in A))$

Das ist die korrekte prädikatenlogische Formalisierung ohne Leermengensymbol. Aus ihr ergibt sich offenbar durch Aussonderung mit der Eigenschaft $X\neq X$ die leere Menge.

Das oben vorgeschlagene Axiom $\exists X\colon X=X$ macht die Allklasse zur Menge und erzeugt bekanntlich einen Widerspruch. Zum Leermengenaxiom ist nur das vereinfachte Axiom mit Ungleichheitszeichen gleichwertig:

$\exists X\colon X\neq X$

--Wilfried Neumaier 23:52, 24. Mai 2008 (CEST)

1) Das Unendlichkeitsaxiom von 79.199.116.186 ist falsch und das von Wilfried Neumaier ist richtig.

2) Man kann das Symbol $\varnothing$ auch hinter einem Quantor schreiben. Man muss als Leser jedoch beachten, dass $\varnothing$ in diesem Fall nicht die Leere Menge symbolisisert, sondern einfach nur ein Zeichen für eine beliebige Menge ist. (Ob du nun A oder a oder $\varnothing$ schreibst, ist ja letztendlich egal. Alles drei ist bloß als Symbol für eine beliebige Menge zu verstehen, sobald es hinter einem Quantor steht.)

3) $\exists X\colon X=X$ besagt nicht, dass die Allklasse eine Menge ist. Diese Formel besagt bloß, dass es eine Menge gibt, für die X=X gilt. (Und dank des Extensionalitätsaxioms gilt sogar für jede Menge X die Gleichung X=X. - Aber das ist hier unwichtig.)

Wir wissen also, dass eine Menge X mit X=X existiert. Insbesondere wissen wir, dass eine Menge X existiert. Mit Hilfe der Aussonderung können wir nun zeigen, dass die Leere Menge existiert.

4) Ansonsten hatte Wilfried Neumaier natürlich Recht, wie man aus dem Unendlichkeitsaxiom und dem Aussonderungsaxiom das Nullmengenaxiom herleitet.

Trotzdem vielleicht mit anderen Worten erklärt, wieso es gilt:

Aus dem Unendlichkeitsaxiom folgt, dass eine Menge A existiert. (Welche Eigenschaften sie hat, ist egal. Es ist nur wichtig, dass es überhaupt eine Menge gibt.)

Dank der Aussonderung wissen wir, dass es eine Menge B gibt mit $B:=\{C\in A|C\neq C\}$. (Und dieses B ist dann unsere gesuchte Leere Menge, wie man über die Eigenschaften von Gleichheit leicht beweisen kann.) --Eulenspiegel1 05:19, 26. Mai 2008 (CEST)

Gut, das mit der Allklasse war eine unüberlegte Mitternachtsaktion. Aber das Leermengensymbol $\varnothing$, das ja im Artikel fest definiert wurde und auch üblicherweise immer so definiert wird, darf man natürlich nicht hinter Quantoren setzen. --Wilfried Neumaier 23:40, 27. Mai 2008 (CEST)

Referenz Rautenberg

Ich kann das Buch bei uns leider nicht finden. Kann daher jemand mal die entsprechende Textstelle zitieren? Desweiteren bezweifle ich, dass man nur aus dem Aussonderungsaxiom das Nullmengenaxiom folgern kann. Man braucht noch mindestens ein zweites Axiom, das die Existenz mindestens einer Menge sicherstellt.

Als Gegenbeispiel sei zum Beispiel das leere Modell genannt, in dem es überhaupt keine Mengen gibt. (Dieses Modell kann man zum Beispiel durch das folgende Axiom charakterisieren: $\forall X:X\neq X$) In diesem Modell gilt trivialerweise das Aussonderungsaxiom, aber nicht das Nullmengenaxiom. --Eulenspiegel1 22:47, 10. Jul. 2011 (CEST)

Die Referenz bezieht sich auf das Buch in Fußnote 7 und ist dort direkt verlinkt, direkt nachlesbarer Beweis.--Wilfried Neumaier 23:34, 10. Jul. 2011 (CEST)

Meist wird die Prädikatenlogik auch so aufgezogen, dass $\exists x:x=x$ als prädikatenlogisches Axiom (ähnlich den Identitätsaxiomen) hinzugenommen wird. Daher sind "leere" Modelle ausgeschlossen. Ich kann mich zumindest an keine Quelle erinnern die das nicht fordert. --SnowIsWhite 02:14, 11. Jul. 2011 (CEST)

Ja, das gehört zu jedem üblichen Prädikatenkalkül mit Gleichheit. Es ist eine schlichte Folge der Reflexivität und der Existenzquantoreinführung. Eine Gleichheitslogik ohne Reflexivität und einen Prädikatenkalkül ohne Existenzquantoreinführung gibt es doch nicht. Ein solcher Kalkül ist als Basis von ZF gefordert.--Wilfried Neumaier 06:39, 11. Jul. 2011 (CEST)

Zur Info: Wolfgang Rautenberg--Wilfried Neumaier 12:03, 11. Jul. 2011 (CEST)

Man muss leere Modelle natürlich nicht von vorn herein schon im Beweissystem ausschließen, und moderne Systeme tun das auch nicht (JDH sagt hier auch 'was dazu: https://youtu.be/4LS4P9Tfd3A?t=2636). Eine einfache Möglichkeit (in Lambek und Scotts "Introduction to higher order categorical logic" wird das so etwa gemacht) ergibt sich, wenn man freie Variablen richtig behandelt: Man arbeitet mit Sequenzen der Form $\phi \vdash _{\vec {X}}\psi$, wobei $X$ eine Liste (oder Menge) von Variablen ist, und die freien Variablen von $\phi$ und $\psi$ darin enthalten sein müssen. Semantisch bedeutet so eine Sequenz, dass für alle Belegungen $B$ der Variablen aus $X$ aus der Wahrheit von $[\![\phi ]\!](B)$ die von $[\![\psi ]\!](B)$ folgt. Als Regeln hat man zum Beispiel die bidirektionalen(!)

${\begin{array}{c}\phi \vdash _{{\vec {X}},x}\psi \\\hline \exists x.\,\phi \vdash _{\vec {X}}\psi \end{array}}$ ($x$ nicht frei in $\psi$) und ${\begin{array}{c}\phi \vdash _{{\vec {X}},x}\psi \\\hline \phi \vdash _{\vec {X}}\forall x.\,\psi \end{array}}$ ($x$ nicht frei in $\phi$),

und eine Substitutionsregel wie

${\begin{array}{c}\phi \vdash _{{\vec {X}},x}\psi \\\hline \phi [t/x]\vdash _{\vec {X}}\psi [t/x]\end{array}}$ ($x$ nicht frei in $t$).

Damit kann man schön $\phi [t/x]\vdash _{\vec {X}}\exists x.\,\phi$ (mit $x$ nicht frei in $t$) herleiten, aber nicht zum Beispiel $\forall x.\,\phi \vdash _{\vec {X}}\exists x.\,\phi$ für beliebige ${\vec {X}}$, $\forall x.\,\phi \vdash _{{\vec {X}},x}\exists x.\,\phi$ jedoch schon. Leere Modelle werden von letzterem nicht ausgeschlossen, da es in solchen keine Belegung von ${\vec {X}},x$ gibt. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:49, 9. Okt. 2021 (CEST)

Zuordnung zu en:Zermelo–Fraenkel set theory

Ich hab mal versucht alle Axiome englischen Pendants zuzuordnen, hat nicht ganz geklappt:

• Fundierung = regularity
• Extensionalität = extensionality
• Auswahl = choice
• Paarmenge = pairing
• Vereinigung = union
• Unendlichkeit = inifinity
• Potenzmenge = power set

Faktisch haben wir erstmal 10 Axiome, wobei auch beim 10ten (Auswahlaxiom) eingräumt wird, dass es äquivalent zum Wohlordnungssatz ist (engl. en:Well-ordering theorem). Aber das Well-ordering theorem wird im engl. als 9tes (und letztes) Axiom gesehn ... obwohl auch dort das äquivalente Auswahlaxiom genannt wird.

Weiterhin fehlen mir die entsprechenden Begriffe zu Aussonderungsaxiom und Ersetzungsaxiom, für die eigt. nur noch en:Axiom schema of replacement und en:Axiom schema of specification übrig bleiben .... damit wäre die englische Seite dann geklärt und die haben bei nur 9 Axiomen sogar noch ein doppelt - wir hingegen haben 10. z.B. konnte ich das Leermengenaxiom gar nicht im engl. wiederfinden ...

Für jedes Axiom im Deutschen wurde nun eine Weiterleitung eingerichtet, sofern es noch keinen Artikel gibt, d.h. wenn jemand den Rest zuordnen kann, dürfen gerne im Englischen den Artikel dort die redirects als interwikis angegeben werden, damit schon mal die Begrifflickeiten klarer werden, denn die formale Ordnung der Axiome stimmt auch nicht überein. Grüße --WissensDürster 12:08, 2. Aug. 2009 (CEST)

PS: Ich hab das Leermengenaxiom dann doch gefunden: en:Axiom of empty set, es wird da offenbar extra behandelt, kA wieso. --WissensDürster 17:26, 2. Aug. 2009 (CEST)

Es entsprechen sich:

• Aussonderung = Axiom schema of replacement
• Ersetzung = Axiom schema of specification

--Wilfried Neumaier 00:26, 4. Aug. 2009 (CEST)

Nun gut, dann hab ich das mal so ergänzt. Danke --WissensDürster 08:20, 4. Aug. 2009 (CEST)

Entschuldigung, es ist ganz eindeutig genau umgekehrt, ich hatte um Mitternacht offenbar einen Blackout:

• Aussonderung = Axiom schema of specification
• Ersetzung = Axiom schema of replacement

--Wilfried Neumaier 22:36, 4. Aug. 2009 (CEST)

Hauptsache es ist nun richtig^^ mehr als 2 Möglichkeiten gabs ja offenbar nicht ;) Grüße --WissensDürster 10:07, 5. Aug. 2009 (CEST)

Die Definition der Gleichheit zweier Mengen

Ich bin beim intensiven Durchlesen der Seite über ZFC auf eine mir merkwürdig erscheinenden Definition gestoßen.

$A=B:\iff \forall C\colon (A\in C\iff B\in C)$

Was genau soll das bedeuten? In jeder Literatur, in der etwas über die Gleichheit zweier Mengen nachgeschlagen habe, hieß es immer:

$A=B:\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B)$

Versteh ich das falsch, oder handelt es sich wirklich um einen Fehler hier? --B166ER 00:38, 7. Nov. 2009 (CET)

Schau mal bitte, ob du eine genaue Quelle für deine Definition hast - ich bin da zwar nicht mehr im Stoff drin, aber deine Definition sieht mir so aus wie die Def der Schnittmenge, wörtlich: die Mengen sind gleich, wenn ein Element C aus A gleichzeitig in B liegt, für alle Elemente C ... naja ein wenig verwirrend ist Mathe immer^^ ich such mal eine meiner Quellen... --WissensDürster 09:39, 7. Nov. 2009 (CET)

PS: Hier mal ein Analogon: Mengenlehre#Gleichheit das würde dem ersteren ähneln und da dort auch "kleine x" benutzt werden, wird der Elementcharakter betont, wieso das C hier groß ist, kann ich nicht mal sagen - ZFM macht eh alles nur komplizierter als es ist ;) Ich seh grad, dass du das Extensionalitätsaxiom meinst. Eigentlich ist das dann doch selbstredend richtig. Jedes c was du in A findest muss auch in B sein und jedes c was du in B findet ist auch in A - dann sind die Mengen gleich. Grüße --WissensDürster 09:45, 7. Nov. 2009 (CET)

Hmm, also soweit ich es verstehe handelt es sich hierbei um eine Definition die ein "Axiom" (wobei ich nicht verstehe, wieso diese Aussage den Status eines Axioms bekommt) ersetzen soll. Es geht hier also um die Gleichheit von Mengen, und demzufolge auch um die von mir vorgeschlagene Formel. Die Schnittmengendefinition sieht etwas anders aus - dort wird anstatt eines Bikonditionals eine Implikation verwendet. So wie die Aussage zurzeit steht macht die (für mich zumindest keinen Sinn). Ich lese es mal vor:

Es ist definitionsgemäß logisch Äquivalent zu sagen "Menge A ist gleich der Menge B" und "Für ein beliebiges Objekt C gilt, wenn A ein Element von C ist, so ist auch B ein Element von C, und umgekehrt"

Was mich hier schon bissl stutzig macht, ist dass die Mengen auf einmal Elemente von irgendwelchen (ja gar allen möglichen Mengen unserer Anschaung) sein sollten. --88.65.114.132 15:24, 7. Nov. 2009 (CET)

@ B166ER

Du verstehst das falsch. Zur Erklärung:

1)Die wörtliche Definition des Extensionalitätsaxioms hast du richtig wiedergegeben. (Allerdings macht dies durchaus Sinn.)

2) Das Original-ZFC hat Gleichheit nicht mengentheoretisch definiert, sondern ging davon aus, dass man aus der Logik bereits wüsste, was ein Gleichheitszeichen ist. Das Extensionalitätsaxiom definiert das Gleichheitszeichen nicht. Es wird davon ausgegangen, dass das Gleichheitszeichen bereits (in der Logik) definiert ist. Alles, was das Extensionalitätsaxiom macht, ist eine weitere Eigenschaft des Modells zu beschreiben.

Man nehme zum Beispiel mal ein Modell, in dem es zwei leere Mengen gibt: $\emptyset _{1}$ und $\emptyset _{2}$. (Wie wir leicht sehen, gilt für dieses Modell nicht das Extensionalitätsaxiom.) Wir haben nun nach deiner Definition von Gleichheit das folgende Problem:

$\emptyset _{1}=\emptyset _{2}$ (da beide leeren Mengen ja die gleichen Elemente besitzen: Nämlich gar keins.) aber $\{\emptyset _{1}\}\neq \{\emptyset _{2}\}$ (Da hier die beiden Mengen unterschiedliche Elemente besitzen.)

Dies macht deine Definition von Gleichheit ziemlich unschön. (Wir haben zwei Mengen, die gleich sind, aber wenn wir die Menge dieser Menge betrachten, sind sie plötzlich nicht mehr gleich.)

Das kann mit der eigentlichen Definition von Gleichheit nicht passieren.

Ich hoffe, es ist jetzt klarer, wieso man beim Extensionalitätsaxiom nicht sagt:

A=B ist logisch äquivalent zu "A und B enthalten die gleichen Elemente".

sondern wenn man stattdessen sagt:

A=B ist logisch äquivalent zu "Alle Obermengen von A sind auch Obermengen von B und andersrum". --Eulenspiegel1 18:48, 8. Nov. 2009 (CET)

Bitte die Diskussionm weiter oben beachten: Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Extensionalität_und_Gleichheit. --Pjacobi 18:59, 8. Nov. 2009 (CET)

Vielen Dank für die Erklärung und das sehr gut gewählte Beispiel! Habe meinen Denkfehler erfasst. --84.57.78.12 21:56, 10. Nov. 2009 (CET)

Ich leider nicht... Was soll die "Definition" $A=B:\iff \forall C\colon (A\in C\iff B\in C)$ denn bitte aussagen? Ich sehe irgendwie nicht, wie ich die so definierte Gleichheit nachweisen kann. Wenn ich $A$ und $B$ (eventuell nicht-konstruktiv) gegeben habe, und nicht weiß, ob sie gleich sind oder nicht, dann kann ich erstmal (mit Hilfe des Paarmengenaxioms) $\{A\}$ und $\{B\}$ bilden. Von diesen Mengen müsste ich nun -- ohne die Gleichheit von $A$ und $B$ zu kennen -- zeigen, dass $A\in \{B\}$ und $B\in \{A\}$ ist. Irgendwie erscheint es mir schwierig, diese Gleichheit (ohne $\{A\}=\{B\}$) nachzuweisen -- oder irre ich mich irgendwo unterwegs? --ThoRunge 15:21, 10. Okt. 2010 (CEST)

Die Definition soll aussagen: "Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die selben Obermengen haben." oder anders ausgedrückt: "Wenn für alle Mengen C gilt: A ist genau dann ein Element von C, wenn auch B ein Element von C ist, dann sind die Mengen A und B gleich."

Natürlich ist es unmöglich zu beweisen, dass A und B gleich sind, wenn nichts über diese beiden Mengen bekannt ist. (Aus dem einfachen Grund, dass sie nicht gleich sein müssen.) Du musst also erstmal eine Aussage aufstellen, die A und B beschreibt (und welche Axiome für das zu untersuchende Mengensystem gelten). Und erst, wenn man diese Aussage (und die geltenden Axiome) hat, kann man überprüfen, ob die beiden Mengen gleich sind oder nicht. --Eulenspiegel1 01:49, 11. Okt. 2010 (CEST)

Redundantes ZF-System braucht Aussonderung oder Nullmenge

Bei allen Recherchen habe ich keine Quelle gefunden, bei der erklärt ist, wie man das Aussonderungsaxiom alleine durch das Ersetzungsaxiom ohne Verwendung des Leermengenaxioms definieren kann. Somit braucht man das Aussonderungsaxiom oder das Nullmengenaxiom auf jeden Fall. D.h. ein "minimalen ZF-System" könnte die Axiome 1 und 4-9 verwenden. --Zeus37 16:08, 17. Dez. 2009 (CET)

Ich füge den Passus mit Referenzen wieder ein. --Wilfried Neumaier 23:44, 6. Jul. 2010 (CEST) In ihnen kann man die bisher fehlenden Beweise explizit nachlesen, zur Zeit sogar online.--Wilfried Neumaier 00:17, 7. Jul. 2010 (CEST)

Widerspruchsfreiheit (im Abschnitt ‚Bedeutung‘)

Die Aussage, ein Beweis der Widerspruchsfreiheit von ZFC wäre nicht möglich, ist sinnfrei, so lange man nicht sagt, in welchem System dieser Beweis erfolgen soll. Aus dem Gödelschen Satz folgt, dass in ZFC die Widerspruchsfreiheit von ZFC genau dann bewiesen werden kann, wenn ZFC nicht widerspruchsfrei ist. Auch das „selbst wenn“ am Ende das Abschnittes ist daher irreführend. -- Carsten Schultz 15:00, 1. Jan. 2010 (CET)

Ich habe inzwischen die notwendige Ergänzung im Artikel vorgenommen. Das „selbst wenn“ ist aber nicht irreführend, denn der Gödelsche Satz besagt ja in der einen Richtung: Wenn ZFC widerspruchsfrei ist, ist die Widerspruchsfreiheit unbeweisbar.--Wilfried Neumaier 22:36, 6. Jul. 2010 (CEST) Man kann diesen Wenn-Satz aber ruhig weglassen, weil er eine selbstverständliche Arbeitshypothese ist.--Wilfried Neumaier 08:11, 7. Jul. 2010 (CEST)

Vielleicht sollte ich es noch einmal deutlicher sagen: Wenn ZF nicht widerspruchsfrei ist, kann man in ZF die Widerspruchsfreiheit von ZF beweisen. Wer behauptet, man könne in ZF die Widerspruchsfreiheit von ZF nicht beweisen, behauptet also auch, dass ZF widerspruchsfrei ist. Und während ich das ja auch glaube, sollte man nicht behaupten, dass Gödel das gezeigt hat -- Carsten Schultz 01:43, 29. Jul. 2010 (CEST)

Jetzt ist es hoffentlich unmissverständlich.--Wilfried Neumaier 09:51, 29. Jul. 2010 (CEST)

Ja, finde ich jetzt gut. Wobei man über die Relevanz immer noch streiten könnte: Wenn wir Gödels Resultat nicht kennen würden und wir einen Beweis der Widerspruchsfreiheit von ZFC in ZFC hätten, würde das ZFC glaubwürdiger machen? Dass ein solcher Beweis existiert, falls ZFC widerspruchsvoll ist, wüssten wir ja. Aber das ist wohl nicht der Ort, um das zu diskutieren. -- Carsten Schultz 14:54, 29. Jul. 2010 (CEST)

Gödel zu kennen, ist insofern gut, als man keine Zeit mehr verschwendet, solch einen Beweis zu suchen. Die Zweifel an der Bedeutung betreffen im Artikel, folgenden Satz:

Wegen der grundlegenden Bedeutung der ZFC-Mengenlehre wäre ein Beweis ihrer Widerspruchsfreiheit sehr bedeutungsvoll für die Mathematik.

Vielleicht wäre es besser, hier einfach mehr historisch-deskriptiv vorzugehen. Daher schlage ich vor:

Wegen der grundlegenden Bedeutung der ZFC-Mengenlehre für die Mathematik wurde seit 1918 im Rahmen des Hilbert-Programms ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Mengenlehre gesucht.

Was hälst Du davon? Ich schreib es mal so rein.--Wilfried Neumaier 15:26, 29. Jul. 2010 (CEST)

Historisch kenne ich mich nicht aus, aber wenn das so stimmt, finde ich es besser als vorher. -- Carsten Schultz 03:03, 31. Jul. 2010 (CEST)

Lieber Nachtmensch, es stimmt. Lies die hinzugefügte Referenz per online-Klick kurz nach!--Wilfried Neumaier 07:11, 31. Jul. 2010 (CEST)

Super. Ich habe (am Tage) den Link korrigiert, der zeigte auf Band 87 statt 78. -- Carsten Schultz 13:49, 2. Aug. 2010 (CEST)

nochmals Ersetzungsaxiom

Die Diskussion wurde schon 2005 geführt mit allen wesentlichen Kritikpunkten, die hier nicht nochmals wiederholt werden müssen. Die Lösung blieb aber unbefriedigend. Ich habe versucht alle Schwachstellen zu beiseitigen. Der Begriff „Abbildung“ ist hier weniger üblich; meist wird „Funktion“ benützt nach dem Usus in der Prädikatenlogik, die ja einst "Funktionenkalkül" hieß. Dieser undefinierte Begriff darf im Axiomenschema selbst nicht erscheinen, das ist ein Verstoß gegen die Prinzipien der Formalisierung. Dafür gehört hier die Eindeutigkeitsbedingung her. In der Verbalisierung bevorzuge ich Fraenkels Wortwahl, die auch den Namen des Axiomenschemas motiviert. Die neue Version baue ich umgehend ein.--Wilfried Neumaier 18:45, 6. Jul. 2010 (CEST)

Navigationsleiste ZFC-Axiome

Moin, habe neue Navigationsleiste ZFC Axiome hinzugefügt. Bislang haben (leider) erst Auswahl- Fundierungsaxiom und die leere Menge eigene Seiten. Vielleicht hift die Leiste langfristig zumindest die Seiten der wichtigsten anderen Axiome zu erstellen. Beim Unendlichkeits- und Potenzmengenaxiom könnte man über eine Weiterleitung nach "induktive Menge" bzw. "Potenzmenge" nachdenken, Gruß --SnowIsWhite 02:26, 24. Feb. 2011 (CET)

Vereinigungsaxiom

Steht im folgenden Satz das Wort "Element" nicht einmal zuviel?

4. Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von A sind.

Müßte es nicht heißen "Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente genau die Elemente von A sind."?

Oder kann mal bitte jemand erlären, was "... die Elemente der Elemente von A ..." sein sollen?

Denn hieße es "... die Elemente der Menge A ...", wäre das Vereinigungsaxiom doch praktisch mit dem Extensionalitätsaxiom identisch. --Wikilaser 01:51, 11. Jun. 2011 (CEST)

Die Formulierung ist korrekt: Die Vereinigungsmenge will auf die Elemente der Elemente von A zugreifen. Zum Beispiel: Sei X={1,2,3} und Y={3,4,5} und A={X,Y}, dann ist B={1,2,3,4,5} und hat als Elemente genau die Elemente der beiden Elemente von A. Bei Deiner Formulierung wäre A=B, was witzlos wäre. Du hast aber recht, es liest sich schlecht, daher habe ich jetzt eine Formulierung gewählt, die die dreifache Anhäufung des Worts 'Element' meidet. Würdest Du es so besser verstehen? --Wilfried Neumaier 08:39, 11. Jun. 2011 (CEST)

Wenn ich Dich richtig verstehe, dann kann ein Element einer Menge seinerseits ebenfalls eine Menge sein, sprich eine Menge in einer Menge. Zum Beispiel: Eine Menge Menschen kann aus einer Menge Frauen und einer Menge Männern bestehen. Dabei kann die Menge der Frauen aus deutschen, französischen und spanischen Frauen bestehen, die Menge der Männer aus deutschen, polnischen und russischen Männern.

Wäre es dann nicht sinnvoll, ein weiteres Axiom hinzuzufügen, das klarstellt, daß ein Element auch eine Menge sein kann? --Wikilaser 13:27, 11. Jun. 2011 (CEST)

Genau so ist es. Alle Mengen können Elemente anderer Mengen sein. Mensch=Vereinigung von {Männer, Frauen, Kinder} wäre ein anschauliches Beispiel. In der "reinen" Mengenlehre sind alle Elemente sogar automatisch Mengen. Dazu braucht es kein Axiom. ZF ist heute eine "reine" Mengenlehre. Menschen als Mengen aufzufassen, würde sicher nicht allgemeine Anerkennung finden. Man würde sie eher als Urelemente einstufen. Dazu bräuchte man aber eine Mengenlehre, die das erlaubt. ZF war das ursprünglich. Lies oben die Diskussion zum Thema "Urelement" und auch die historische Einleitung im Artikel und eventuell weiterführende Links.--Wilfried Neumaier 21:58, 11. Jun. 2011 (CEST)

Fundierungsaxiom

7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind.

Zum Vergleich die Definition des Begriffs "disjunkt": http://de.wikipedia.org/wiki/Disjunkt

Zwei Mengen A und B sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist.

Wie geht das?

Beispiel: A = {1,2,3,4,5}.

Wie lautet das Element B, das zu dieser Menge A disjunkt, aber zugleich in der Menge A enthalten ist? --Wikilaser 15:45, 13. Jun. 2011 (CEST)

Die Antwort kann man erst geben, wenn die Zahlen als Mengen definiert sind. Definiert man sie als Ordinalzahlen, dann ist 1={0} und disjunkt zu A. Allgemein: Man nimmt ein minimales Element bezüglich der Elementrelation. Denn das Fundierungsaxiom hat den Zweck, zirkuläre Elementketten auszuschließen, bei denen es kein solches minimales Element gäbe.--Wilfried Neumaier 17:35, 13. Jun. 2011 (CEST)

Das Fundierungsaxiom schließt doch ausdrücklich "Jede nichtleere Menge ..." ein. Das heißt demnach auch eine nichtleere Menge, deren Elemente selbst keine Mengen mehr sind. Denn wie wir beim Thema Vereinigungsaxiom schon geklärt haben, kann ein Element eine Menge sein. Aber es muß keine Menge sein. Das hieße, daß das Fundierungsaxiom nicht für jede Menge gilt, sondern nur für Mengen, deren Elemente selbst Mengen sind.

Wenn man ferner die Menge A = {1,2,3,4,5} als Ordinalzahlen interpretiert, dann muß man konsequenterweise auch die Menge B als Ordinalzahlen interpretieren, damit ihre Elemente in A enthalten sein können. In diesem Fall erhält man A = {{0},{1},{2},{3},{4}} und findet wieder keine Menge B, die zu A disjunkt ist. Wo hakt es bei mir? --Wikilaser 20:02, 13. Jun. 2011 (CEST)

Ob $\{1,2,3,4,5\}$ überhaupt eine Menge nach ZF ist, lässt sich gar nicht feststellen, wenn 1,...,5 nicht irgendwie als Mengen kodiert sind, denn (Zitat aus Artikel):

[...]Auf solche Urelemente verzichten spätere formalisierte ZF-Systeme (mit stärkerem Extensionalitätsaxiom); sie stellen daher eine „reine“ Mengenlehre dar, deren Objekte ausschließlich Mengen sind.

Wählt man als Kodierung für natürliche Zahlen von-Neumann-Numerale ($[0]:=\emptyset ;$ für die 0 und $[n+1]:=[n]\cup \{[n]\}$ für Nachfolger; mit [] habe ich mal die rekursive Kodierungsfunktion bezeichnet, und lasse die im weiteren gleich wieder weg und tue so, als sei es die Identitätsfunktion), dann enthält dein A das Element $1=\{0\}$. Schneidet man das mit A, bildet also $\{0\}\cap \{1,2,3,4,5\}$, kommt die leere Menge 'raus, denn in A kommt $0$ nicht als Element vor. $B=1=\{0\}$ ist also ein geeigeneter B-Kandidat. --Daniel5Ko 21:48, 13. Jun. 2011 (CEST)

Wie kann es denn ein noch stärkeres Extensionalisierungsaxiom geben? Gibt es denn etwas stärkeres als die vollkommene Identität zweier Mengen? Zum Beispiel: A = {1,2,3} und B = {1,2,3}, dann sind A und B identisch. Reicht das nicht?

Und wozu soll es gut sein, daß Elemente (Du sprichst von Objekten) von Mengen ausschließlich Mengen sein sollen? Kann man denn nicht gewissermaßen eine Hierarchie aufstellen? Die unterste Stufe nehmen die Elemente ein, die zweitunterste die Mengen (unterteilt in Teilmengen, Schnittmengen, Vereinigungsmengen, etc.), dann Klassen oder was auch immer etc., so daß eine Begriffsvermischung ausgeschlossen wird? Mathematik ist doch nicht dazu da, die Dinge zu verkomplizieren. --Wikilaser 22:43, 13. Jun. 2011 (CEST)

ZF ist heute eine reine Mengenlehre, dass muss man akzeptieren, hier gilt schon das starke Extensionalitätsaxiom. In ZFU, so kürzt man das originale ZF-System mit Urelementen ab, gilt ein schwächeres Extensionalitätsaxiom. Hier ist auch das Fundierungsaxiom anders formuliert. Lies auch mal obige Diskussionspunkte, die auf Urelemente eingehen (Suchfunktion String F). Da werden Deine Fragen schon beantwortet, wie ich hoffe.--Wilfried Neumaier 23:05, 13. Jun. 2011 (CEST)

Hallo Wilfried, wenn ich Dich richtig verstehe, dann ist das Extensionalisierungsaxiom, das im aktuellen ZFC-Artikel beschrieben wird, das stärkste, das es geben kann. Mit anderen Worten: Identischer als identisch geht nicht.

Aus den obigen Diskussionspunkten ergibt sich für mich kein Grund, weshalb man auf Urelemente verzichten müsse. Wenn man jedes Element jederzeit als Menge ansieht, dann läuft man doch Gefahr, vor lauter ineinander verschachtelten Mengen den Überblick zu verlieren. Das kann doch nicht im Sinne der Mathematik sein. --Wikilaser 00:19, 14. Jun. 2011 (CEST)

Moin, Tatsache ist: In ZFC schließt das Extensionalisierungsaxiom Urelemente aus. Da alle Objekte ($\forall x\dots$) durch die Elementbeziehung ($x\in y$) eindeutig charakterisiert sind gibt es nur ein Objekt, welches keine Elemente hat - und das ist die leere Menge. Also: Alles ist Menge. Fügt man zu der Sprache ein neues Prädikat (mit der Interpretation Ich bin eine Menge) hinzu, und schwächt das Extensionalisierungsaxiom dahingehend ab (das sollten wir im Artikel ändern), daß es nur für die Objekte gilt, für die dieses Prädikat zutrifft (sprich: Mengen), so kann es Urelemente geben. Dies ist aber nur eine Sonderform, wesentlich "gängiger" ist ZFC (man "muss" nicht auf Urelemente verzichten - tut es aber meist).

Der Vorteil hiervon liegt klar auf der Hand: Man hat nur eine Sorte von Objekten (Mengen) mit nur einer Relation ($\in$) zueinander (man vereinfacht, "verkompliziert" also gerade nicht). Man muss nicht entscheiden, was genau die Urelemente sind (NatürlicheZahlen?, alle Zahlen? Was ist mit Funktionen? etc.). Entscheidend ist, das sich sämtliche mathematische Definitionen mithilfe dieser "Minimalsprache" ausdrücken lassen. Das heißt nicht, daß man dies in der Praxis auch tun muss (kein Zahlentheoretiker denkt bei $3$ an die Menge $\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$), wichtig ist nur, daß man es kann. Man läuft also nicht Gefahr den Überblick zu verlieren. Gruß, --SnowIsWhite 02:43, 14. Jun. 2011 (CEST)

Die Einfachkeit von ZF gegenüber ZFU ist ein Plus (siehe: Historisches). Die universelle Verwendbarkeit wegen des Ersetzungsaxioms das zweite Plus (siehe: Historisches). Man führt nämlich in der Mathematik undefinierte Objekte oft ein im Stil "Sei X eine Menge". Von X weiß man dann nichts anderes, als dass es irgendeine Menge ist. Man nimmt also undefinierte Elemente statt Urelemente. Man kann dann auch Menschen als Mengen auffassen, die ja in re auch aus Elementen bestehen, von denen man aber nichts wissen will. Es gibt also keinen philosophischen Grund, Menschen oder andere Objekte unserer Anschauung (Cantor) als Urelemente anzusehen und damit zu behaupten, sie hätten keine Elemente. Diese unrealistische Behauptung ist zu stark und nicht nötig. - Das ist das philosophische Statement pro ZF. So dachte etwa Fraenkel, so denken viele Mathematiker und das ist auch aristotelische Tradition (könnte man belegen).

Es wäre aber diskutabel, einen Subartikel über ZFU im Artikel zu integrieren, wenn das Bedürfnis dazu da ist. Man bräuchte ein Mengenprädikat (SnowIsWhite) und müsste nicht nur das Extensionalitätsaxiom ändern, sondern auch die meisten anderen Axiome, weil ständig die Urelemente herumgeistern und ausgeschlossen werden müssten. Die Mengenlehre ZFU ist also deutlich komplizierter. Sie ist noch viel verschachtelter als ZF und man bekommt noch viel schwerer einen Überblick. Soll man diesen Änderungsaufwand wirklich treiben?--Wilfried Neumaier 09:22, 14. Jun. 2011 (CEST)

Ich habe mir eben angesehen, was für Änderungen bei ZFU genau nötig sind. Manche Axiome können bleiben, weil hier Urelementen quasi wie die leere Menge wirken. Die Änderungen halten sich also noch in Grenzen: Nötig sind Änderungen beim Extensionalitätsaxiom, beim Fundierungsaxiom und beim Auswahlaxiom. Ein Subartikel wäre also machbar. Soll ich ihn schreiben?--Wilfried Neumaier 09:52, 14. Jun. 2011 (CEST)

Es ist doch komplizierter, als ich dachte, weil die leere Menge nicht mehr eindeutig bestimmbar ist. Es betrifft also doch die anderen Axiome.--Wilfried Neumaier 10:51, 14. Jun. 2011 (CEST)

Meiner Auffassung nach soll die Mengenlehre ein System sein, mit dem man sich einen Überblick über die Beziehungen zwischen "Objekten unserer Anschauung" (Cantor) verschaffen kann. Sie muß daher klar strukturiert sein. Jede Verschachtelung, deren Sinn nicht erkennbar ist, ist überflüssig und macht die Sache unnötig kompliziert. Erst wenn das gesamte System steht, geht man daran, Objekte daraufhin zu untersuchen, ob man sie als Urelemente, Mengen, Klassen oder was auch immer ansieht. Dabei kann in der einen Untersuchung ein bestimmtes Objekt A als Urelement betrachtet werden, in einer anderen Untersuchung (d.h. in Beziehung zu anderen Objekten mit anderen Eigenschaften) aber als Menge. Mit anderen Worten: Der Verwendungszweck entscheidet darüber, wie Objekte in dieses System eingeordnet werden. Aus diesem Grund sehe ich keine Notwendigkeit, generell jedes Objekt als Menge anzusehen. Und ich sehe auch keinen Sinn in der Aussage, es gäbe unendlich viele Axiome. --Wikilaser 11:41, 14. Jun. 2011 (CEST)

Dieses System müsstest Du selbst erst kreieren und publizieren. Um ein präzises überlegenes Allgemeinsystem haben sich die besten Logiker gut hundert Jahre lang bemüht. Herausgekommen ist als einfachstes bisher ZF, andere Systeme sind nachweislich komplizierter. Schau Dir einmal die Geschichte von NBG an und vielleicht sogar die komplizierten Originalwerke, wo sich prominenteste Logiker darum bemüht haben, die Axiomenschemata von ZF durch endlich viele Axiome zu ersetzen. Die Intuition scheint immer schön einfach zu sein. Die logisch stringente Formalisierung hat's aber in sich.--Wilfried Neumaier 11:58, 14. Jun. 2011 (CEST)

Ich sehe im Moment nicht einmal, daß ZF überhaupt unendlich viele Axiome hätte. Im Artikel stehen nämlich nur 10 Stück. Und was an der Formalisierung so kompliziert sein soll, erschließt sich mir auch nicht. Ich habe manchmal den Eindruck, daß manche Mathematiker vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr sehen. Und das ist keineswegs böse gemeint. Mir scheint, daß Mathematiker jedes Objekt immer nur auf ein und dieselbe Art und Weise betrachten wollen, statt aus den unterschiedlichsten Blickwinkeln. Ich möchte das Axiomensystem mit einem Mikroskop vergleichen. Je nach gewählter Vergrößerung kann man mehr oder weniger genau die Einzelheiten eines Objekts betrachten. Hierbei sind die Begriffe Element, Menge, Klasse, etc. die jeweiligen Vergrößerungsstufen. Ich kann zum Beispiel die eins als natürliche Zahl 1, als rationale Zahl 1/1, als reelle Zahl 1,000... oder als Intervall [0,1] betrachten. Dementsprechend muß ich sie im Axiomensystem behandeln. Wo soll da das Problem sein? --Wikilaser 18:15, 14. Jun. 2011 (CEST)

Zur Sachklärung: ZF hat zwei Axiomenschemata und der Artikel betont das. Jedes Axiomenschema hat deshalb unendlich viele Axiome, da es keine logische Formeln sind, weil metalogische Variablen für ein Prädikat darin vorkommen. Erst für jedes konkret eingesetzte Prädikat ergibt sich eine logische Formel und damit ein Axiom. Die Unterscheidung zwischen Metavariablen und logischen Variablen gehört zum Grundhandwerkszeug der Logiker und ist, um Dein Bild aufzugreifen, zur Bedienung des logischen Mikroskops unerlässlich. --Wilfried Neumaier 20:09, 14. Jun. 2011 (CEST)

Moment mal. Ich kann mir ja vorstellen, daß ein Axiom mit dem Einsetzen von Prädikaten unendlich viele Möglichkeiten eröffnet, aber es bleibt für mich trotzdem nur ein Axiom. Die einzelnen Möglichkeiten, die sich aus dem Einsetzen von Prädikaten ergeben, sind für mich jedoch selbst keine Axiome, sondern lediglich Fallbeispiele (bestenfalls Theoreme) innerhalb des entsprechenden Axioms. Denn ein Axiom ist laut Definition nur ein Grundsatz, ein Naturgesetz oder ein nicht abgeleiteter Ausgangssatz. --Wikilaser 14:35, 15. Jun. 2011 (CEST)

@Wikilaser: Ich möchte ja nicht unhöflich erscheinen, aber um was geht es hier eigentlich? Welche Passagen im Artikel sind falsch oder unverständlich und sollen wie geändert werden? Oder geht es hier um Deine persönliche Meinung zur Mathematik, der Mengenlehre und dem ganzem Rest? Wenn Letzteres, ist dies - mit Verlaub - nicht der richtige Ort (sihe z.B. hier). Gruß, --SnowIsWhite 00:05, 15. Jun. 2011 (CEST)

Ob Passagen wirklich falsch sind, möchte ich nicht behaupten. Ich hinterfrage sie jedoch, weil mir manches unverständlich erscheint.

Ich möchte jetzt nicht zu weit ausschweifen: Ich meine, eine Enzyklopädie ist dazu da, daß ein Laie nicht nur unter jedem Begriff nachlesen kann, was er bedeutet, sondern dies dann auch versteht - im Idealfall sogar anwenden kann. Ich weiß, daß dies ein hoher Anspruch ist. Aber echte Bildung funktioniert nun einmal über das Verstehen, und nicht über bloßes Auswendiglernen. Und auch mir ist klar, daß es Themen gibt, für die man bestimmte Grundlagen braucht (z. B. die Relativitätstheorie). Aber Mengenlehre gehört in der Mathematik zu den Grundlagen, auf denen die höhere Mathematik erst aufbaut. Und zumindest die Grundlagen sollten für den Laien verständlich erklärt werden.

Zunächst einmal steht natürlich in jedem Artikel die Fachsprache (im Falle der Mathematik in Form von Formelzeichen) im Vordergrund, jedoch sollte jede Formel dann auch für den Laien verständlich erklärt und mit einem anschaulichen und möglichst einfachen Beispiel dargelegt werden. Denn gerade die Aneinanderreihung einer Vielzahl von Formelzeichen, von denen die meisten für viele Laien buchstäblich böhmische Dörfer sind (beispielsweise das auf dem Kopf stehende A oder das spiegelverkehrte E, und viele mehr), wirkt verwirrend. Und es ist sehr mühsam, erst herauszufinden, was die einzelnen Formelzeichen bedeuten, bevor man dann so nach und nach überhaupt die Formel "lesen", geschweige denn verstehen kann.

Vorschlag: Man könnte doch jede Formel in zwei Zeilen gliedern. In der oberen Zeile steht die Formel, in der unteren, was sie bedeutet. Und zwar so, daß deutlich erkennbar ist, welches einzelne Formelzeichen welche Bedeutung hat. Dazu dann ein einfaches und für jeden Laien nachvollziehbares Beispiel anhand von Zahlen (denn Mathematik ist ja die Wissenschaft der Zahlen). --Wikilaser 14:35, 15. Jun. 2011 (CEST)

Moin, die Mengenlehre ist eine axiomatische Theorie der Prädikatenlogik. Daher ist es notwendig, die Axiome auch in der Sprache der Prädikatenlogik aufzuschreiben. Diese Sprache muss man - zumindest so halbwegs - verstanden haben, um die (axiomatische) Mengenlehre (also das System ZFC) zu verstehen; da führt (auch für den Laien) kein Weg dran vorbei. Im genannten Artike werden alle relevanten Zeichen ($\forall \exists$, etc) gut erklärt. Die Erklärung/Bedeutung für diese Formeln/Axiome ist doch explizit angegeben, sie steht sogar vor der Formalisierung. Was genau ein "Beispiel anhand von Zahlen" für ein mathematisches Axiom sein soll, erschließt sich mir nicht. Die Mathematik ist definitiv nicht (nur) die Wissenschaft der Zahlen, die Verwendung der Mengenlehre (deren Objekte allesamt Mengen, und nicht Zahlen sind) als Grundlagentheorie zeigt dies ja sehr deutlich. Gruß, --SnowIsWhite 15:42, 15. Jun. 2011 (CEST)

Mit einem Zahlenbeispiel meine ich das, was Wilfried Neumaier im Diskussionsbeitrag zum Thema Vereinigungsaxiom am 11.6. um 8:39 Uhr schrieb. Das ist kurz und bündig, und wunderbar erklärt. Und ich habe es schnell verstanden.

Mein obiger Vorschlag soll explizit zu jedem Zeichen einzeln erkennbar machen, was es bedeutet. Daß die Axiome in der Sprache der Prädikatenlogik aufgeschrieben werden müssen, steht doch außer Frage. Es geht lediglich darum, daß man als Laie nicht erst umständlich die ganze Sprache der Prädikatenlogik erlernen muß, nur um dann erst verstehen zu können, welches Zeichen was bedeutet. Es ist doch weitaus einfacher, man erklärt die Zeichen direkt anhand der Axiome. So versteht man beides auf einmal.

Laß es mich einmal mit einem Vergleich anschaulich darstellen: Wenn Babies sprechen lernen, lernen sie zugleich ganze Wörter. Sie lernen nicht zuerst das ganze Alphabet, sondern als erstes das Wort "Mama". Und mit dem Wort "Mama" lernen sie zugleich auch seine Bedeutung.

Wozu also soll ein Laie zuerst die ganze Prädikatenlogik erlernen, bevor er sich daran machen kann, die ZFC-Axiome zu verstehen?

Ein separater Artikel über Prädikatenlogik ist ja trotzdem sinnvoll, wenn man sich explizit mit eben diesem Thema auseinandersetzen will. --Wikilaser 18:28, 15. Jun. 2011 (CEST)

Wo ist Dein Problem? Bei jedem Axiom steht zuerst dessen Bedeutung (in deutscher, verständlicher Sprache) und dann die prädikatenlogische Formulierung. Wer da nicht jedes Zeichen versteht, findet unter Prädikatenlogik eine umfassende Erklärung. Diese ist auch dort besser aufgehoben. Es ist nicht Aufgabe des ZFC-Artikels die Prädikatenlogik zu erklären.

Du liest den Artikel mit den Augen eines Fachmannes. Daß Du ihn problemlos verstehst, ist mir klar. Aber nicht jeder, der den Artikel liest, ist ein Fachmann. Darum halte ich es durchaus für sinnvoll, die Gestaltung des Artikels ein wenig laienfreundlicher zu machen. --Wikilaser 00:44, 16. Jun. 2011 (CEST)

Ergänzung: Es steht nicht bei jedem Axiom genau da, wie die Formel gelesen werden muß (sprich was die einzelnen Formelzeichen bedeuten). Zum Beispiel:

1. Extensionalitätsaxiom oder Axiom der Bestimmtheit: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

$\forall A,B\colon (A=B\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B))$

Die Formel müßte man - sofern ich sie jetzt richtig übersetze - so lesen: "Für alle A und B gilt: A ist gleich B ist äquivalent zu: Für alle C gilt: C ist Element von A ist äquivalent zu C ist Element von B."

Nebenbei sei bemerkt, daß im Artikel Prädikatenlogik kein Glossar zu finden ist, das alle Formelzeichen mit ihren jeweiligen Bedeutungen auflistet. --Wikilaser 01:09, 16. Jun. 2011 (CEST)

Da dieser "Abschnitt" (das Wort ist schon fast ein Euphemismus) doch inzwischen etwas länglich ist, und kaum (bzw. nicht) zur Verbesserung des Artikels beiträgt, würde ich Dich bitten (bei Bedarf!!!) die Debatte auf einer unserer Benutzerseiten weiterzuführen. --SnowIsWhite 19:20, 15. Jun. 2011 (CEST)

Bezüglich der Diskussion hier hast Du Recht. --Wikilaser 00:44, 16. Jun. 2011 (CEST)

Ich finde diese Diskussion höchst informativ und manche Kritik von Wikilaser berechtigt. Das Verständnisdilemma beruht offenbar darauf, dass ZFC nur eine Art von Anschauungsobjekten, nämlich die Mengen, behandelt oder beschreibt (aber nicht definiert). Dies stößt dem Schulmathematiker mit seiner intuitiven Differenzierung zwischen Mengen als höhere Struktur und sogenannten Atomen (~Urelementen) sauer auf. Das Fundierungsaxiom gebietet meiner Auffassung nach die Existenz einer zur Ausgangsmenge vollkommen disjunkten Teilmenge. -- 188.22.84.182 21:32, 15. Dez. 2011 (CET)

Die Bemerkung zum Fundierungsaxiom ist meines Erachtens nicht richtig. Das Axiom verhindert nicht die Existenz einer unendlichen Kette von von ineinander enthaltenen Mengen. Tatsächlich beschreibt der letzte Absatz im ausführlichen Artikel Fundierungsaxiom doch, dass die Existenz einer solchen Kette angenommen werden kann, ohne einen Widerspruch zu erzeugen (Widerspruchsfreiheit von ZF vorausgesetzt). Das Fundierungsaxiom verhindert die Existenz einer Menge, die alle in der unendlichen Kette auftretenden Mengen beinhaltet. Hoffentlich habe ich mich nicht wieder zwischen den Subtilitäten der Logik verlaufen ... Zimmi (Diskussion) 17:58, 28. Nov. 2013 (CET)

Um es offen zu sagen: Doch, hast du.^^ Betrachte nochmal folgende Aussagenmenge (der Sprache der Mengenlehre + unendliche vielen Konstantensymbolen c_k): ZF + die Menge der $\phi _{i}$, wobei $\phi _{i}$ die Kunjunktion der Aussagen der Form c_i Element von c_j für j<i ist. Die Aussagenmenge ist endlich erfüllbar, also erfüllbar und die Interpretation von c_0 stellt ein Gegenbeispiel dar. Der Witz ist: Das Modell bemerkt es nicht, dass es nicht "fundiert" ist. (von außen gesehen) Die Folge der Interpretation der c_i ist natürlich kein Element des Modells. Gruß--Frogfol (Diskussion) 21:18, 28. Nov. 2013 (CET)

Was ist den der Grund, warum man das Fundierungsaxiom einführt? Konkret gefragt, hat jemand Beispiele von Ergebnissen in anderen Gebieten der Mathematik (außerhalb in der Mengenlehre selbst, um eventuell merkwürdige Mengen auszuschließen), für deren Beweis, man das Fundierungsaxiom benötigt ?--Olivenbaer (Diskussion) 20:16, 22. Jul. 2019 (CEST)

ZF mit Urelementen

Da im vorhergehenden Abschnitt und auch weiter oben immer wieder das Bedürfnis nach ZF mit Urelementen geäußert wurde, habe ich mich daran gemacht, einen Unterabschnitt zu verfassen, der an den originalen Ansatz von Zermelo angepasst ist. Ich hoffe, dass dies manche Intuitionsprobleme beseitigt. Ich hoffe auch, dass alles stimmt. Die Kenner mögen einen kritischen Blick darauf werfen.--Wilfried Neumaier 21:40, 15. Jun. 2011 (CEST)

Sieht soweit richtig aus. Woher hast Du eigentlich die Abkürzung ZFU? Ich kenne ZFA (A für Atom), so z.B. in Jech: Set Theory. Ist aber natürlich nicht sonderlich entscheidend... --SnowIsWhite 21:57, 15. Jun. 2011 (CEST)

Mir ist schon in mehreren Büchern, die ich geschwind aus den Gedächtnis nicht nennen kann, das angehängte U für Urlemente begegnet, auch bei NBG oder MK. Ich schau nach und geb es dann an.--Wilfried Neumaier 22:18, 15. Jun. 2011 (CEST) Google-Suche mit den Stichwörtern "ZFU Urelemente Mengenlehre" liefert schon eine ganze Reihe von Aufsätzen und Büchern. Aber ich suche noch nach einer zitierbaren prominenten Quelle.--Wilfried Neumaier 22:33, 15. Jun. 2011 (CEST)

Lesbarkeit des Artikels

Im vorletzten Abschnitt kam die kritische Anfrage nach der Lesbarkeit für Nicht-Insider zur Sprache. Sie ist sehr berechtigt. Ich hatte früher einmal dieselben Probleme. Ich denke wir sollten den Artikel etwas leserfreundlicher gestalten. Wie ja die Einleitung in den neuen Abschnitt über ZFU schon sagt, hat die verbale Fassung zwei Interpretationen und ist nicht so eindeutig wie der Artikel tut. Ich würde daher vorschlagen, zuerst die verbale Fassung einzuführen, dann die formale ZF-Version zu kürzen ähnlich wie jetzt ZFU. Was haltet ihr davon?--Wilfried Neumaier 11:14, 16. Jun. 2011 (CEST)

Ich begrüße es, daß Du dieses Thema aufgreifst. Danke Wilfried! --Wikilaser 12:49, 16. Jun. 2011 (CEST)

Was genau meinst Du mit zwei Interpretationen? Eigentlich ist doch der Abschnitt Die Axiome von ZF und ZFC doch recht verständlich, oder nicht? Ich halte es aber für unabdingbar, eine/die exakte prädikatenlogische Formulierung in den Mittelpunkt zu stellen. Es geht ja schließlich um ZFC als eine logische Theorie (deshalb auch axiomatische Mengenlehre in der Einleitung), und da ist die Bedeutung/Interpretation zwar nicht unwichtig aber doch sekundär. Wie wär's denn damit: Man könnte jedem Axiom(enschema) einen eigenen Artikel verpassen (Auswahlaxiom und Fundierungsaxiom gibt es ja schon, so eine schicke Navigationsleiste haben wir auch). Dann könnte man den Teil im ZFC-Artikel rudimentär halten und sich nur auf die Formalisierung + einen erklärenden Satz beschränken und so den Artikel übersichtlich halten. In den jeweiligen Einzelartikeln hätten dann auch (oben geforderte, wie auch immer geartete) Beispiele und vielleicht historische Anmerkungen Platz. Wär zwar ein bisschen Arbeit, aber... Was meint Ihr? Gruß, --SnowIsWhite 13:59, 16. Jun. 2011 (CEST)

Das ist eine gute Idee. So bleibt der Artikel ZF bzw. ZFC kompakt, und zugleich wird jedes einzelne Axiom in einem eigenen Artikel genau, umfassend und letztlich für jeden Laien verständlich erläutert. Ich stelle mich als Laie zur Verfügung, um Fragen bezüglich der Verständlichkeit aufzuwerfen. --Wikilaser 16:12, 16. Jun. 2011 (CEST)

Extra-Artikel sind Spezialartikel, die das vertiefen, was hier im Zentralartikel nicht genannt ist. Das ist Ok, und so sehen auch die bisher existenten Spezialartikel aus. Hier jedoch sollte das Wichtigste schon erklärt sein, damit man sich nicht durchklicken muss und allerhand Ballast studieren muss. Daher halte ich die radikale Auslagerung nicht für gut. ZF ist zentral und sollte ein Hauptartikel sein, der die erste ausreichende Information gibt. Natürlich muss das präzise ZF-System im Artikel die Hauptsache sein. Ich halte auch den Artikel für gut verständlich, verstehe aber auch Probleme anderer. Die Verbalisierung ist jedenfalls nicht so präzise, sondern lässt sich als ZF oder ZFU interpretieren. Gerade das verbale Extensionalitätsaxiom ist doppeldeutig oder sogar besser in ZFU wiedergegeben als in ZF. Nicht umsonst war ZF ursprünglich ZFU! Aus dem verbalen Extensionalitätsaxiom folgt nämlich nicht, dass alle Objekte Mengen sind! Ich arbeite einen Vorschlag aus, dass man sieht, was ich meine. Dann können wir weiter diskutieren. In den nächsten Wochen habe ich aber keine Zeit.--Wilfried Neumaier 19:57, 16. Jun. 2011 (CEST)

Der ZFC-Artikel braucht nicht radikal bis auf die Formeln gekürzt zu werden, er kann ruhig so stehenbleiben wie jetzt. Es sollte lediglich jedes einzelne Axiom mit seinem entsprechenden Spezialartikel verlinkt werden, in dem es dann ganz ausführlich erklärt wird, einschließlich der Formelzeichenerklärung und ein oder zwei anschaulichen konkreten Beispielen. --Wikilaser 12:19, 17. Jun. 2011 (CEST)

Ich denke, es ist am sinnvollsten, schon bestehende Artikel als Spezialartikel zu verwenden (und ggf. auszubauen). Z.B. könnte man als Spezialartikel für das Unendlichkeitsaxiom den Artikel induktive Menge nehmen (denn das UE-Axiom behauptet ja nur die Existenz einer solchen), für das Potenzmengenaxiom den Artikel Potenzmenge. Man müsste dann nur entsprechende Artikel entsprechend vereinheitlichen, sodaß es einen klar zu erkennenden Abschnitt gibt, der die ZFC-Axiomatik erläutert. --SnowIsWhite 14:31, 17. Jun. 2011 (CEST)

Ich habe mir gerade den Artikel Induktive Menge angesehen. Er ist genauso wie der Artikel Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mathematisch verklausuliert geschrieben und für den Laien unverständlich. Daher müßte die für den Laien verständliche Erklärung des Begriffs Induktive Menge entweder innerhalb dieses Artikels oder ebenfalls in einem Spezialartikel erfolgen. Und was die einzelnen ZFC-Axiome betrifft, so bleibe ich bei meiner Auffassung, daß tatsächlich zu jedem Axiom ein Spezialartikel erstellt werden müßte, der für den Laien verständlich genau dieses Axiom erklärt.

Wie gesagt, SnowIsWhite, Du liest solche Artikel mit den Augen eines Fachmanns. Der Laie jedoch steht vor solchen Artikeln wie vor einem Buch mit sieben Siegeln. --Wikilaser 12:52, 23. Jun. 2011 (CEST)

Spezialartikel für Axiome

Moin, habe auf meiner Benutzerseite mal eine Übersicht erstellt, was für die Spezialartikel (siehe Diskussion oben) noch zu tun wäre. Falls jemand Interesse hat, Gruß--SnowIsWhite 15:49, 30. Jun. 2011 (CEST)

Existenz mindestens einer Menge

Ich habe im Artikel behauptet, man bräuchte das Unendlichkeitsaxiom, um das Leermengenaxiom herzuleiten. Das wurde mit Hinweis auf die Quellenangabe korrekterweise revertet. In der Quelle wird behauptet, dass man das Leermengenaxiom nicht braucht, weil die Existenz mindestens einer Menge rein logisch eine Tautologie ist. Vielleicht sollte man im Artikel darauf hinweisen, dass man hier stillschweigend von einer Logik ausgeht, in der es immer mindestens ein Objekt gibt. --Cosine (Diskussion) 16:12, 22. Okt. 2012 (CEST)

Ok, wurde gemacht.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:17, 24. Okt. 2012 (CEST)

Vielen Dank und weiterhin alles Gute! --Cosine (Diskussion) 11:22, 24. Okt. 2012 (CEST)

Eine solche Form der Prädikatenlogik ist zwar verbreitet, eine, bei der nicht die Existenz eines Objekts gefordert wird, ist aber auch nicht völlig unüblich. Hängt auch davon ab, in welcher Richtung der Logik man unterwegs ist. --Chricho ¹ ² ³ 14:14, 14. Jan. 2014 (CET)

Das muss man doch gar nicht extra fordern, es ist doch ableitbar aus der Existenzquantoreinführung, die jede Prädikatenlogik hat.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:41, 14. Jan. 2014 (CET). In der Mengenlehre wird ja die Prädikatenlogik mit Gleichheit vorausgesetzt! Hier gibt es die Tautologie x=x,die per Existenzquantoreinführung die Existenz eines x impliziert.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:34, 16. Jan. 2014 (CET)

Hallo Wilfried! Es gab die Diskussion schonmal hier. Es gibt nicht einfach die Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit, sondern eine Vielzahl verschiedener Ansätze. In Teilen der Logik ist es absolut üblich, Prädikatenlogik so zu untersuchen, dass $\exists xx=x$ eben keine Tautologie ist (mit „fordern“ meinte ich nicht „explizit als Axiom“, sondern dass eben der Kalkül so gestaltet ist, dass sich dies ergibt), dass modelltheoretisch leere Universen zugelassen sind etc. (siehe zum Beispiel hier, S. 55 und 58 (ist aber intuitionistisch) oder hier, S. 106, oder hier, S. 72). Diese Teile der Logik sind wohl in der Minderheit, wir sollten dem Leser aber nicht fälschlicherweise den Eindruck vermitteln, es würde sich um eine essentielle Eigenschaft der Prädikatenlogik erster Stufe handeln. Bei bestimmten Ansätzen drängt es sich eben geradezu auf, so vorzugehen, und es besteht auch keine prinzipielle Schwierigkeit. --Chricho ¹ ² ³ 13:23, 16. Jan. 2014 (CET)

Man sollte aber mindestens im Artikel darauf hinweisen, dass die Ableitbarkeit in der üblichen, gängigen Standardform der PL mit Gleichheit gegeben ist. Das andere interessiert nur etwas exzentrische Logikspezialisten.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 01:03, 17. Jan. 2014 (CET)

So gut? --Chricho ¹ ² ³ 01:13, 17. Jan. 2014 (CET)

Ja, habe es noch etwas plastischer ausgedrückt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:24, 19. Jan. 2014 (CET)

Urelement-Definition

Du hast meine Änderung rückgängig gemacht. Also beweise mir bitte ohne die Existenzbedingung aus dem Leermengenaxiom in ZFU die Existenz der Null! Das geht wohl nicht. Mindestens beim Urelement ist die Bedingung wichtig. Bei der Mengendefinition kann man darauf verzichten, weil die Variablen in den Axiomen quantifiziert sind oder in einer Bedingung stehen (Bestimmtheit). Habe ich eine Klassenlogik benutzt oder eine mehrsortige Prädikatenlogik? Das wäre mir neu. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 19:27, 6. Feb. 2015 (CET) A

An so grundlegender Stelle sollten wir uns an die Prädikatenlogik erster Stufe halten und keine Formeln hinschreiben, die erst Sinn ergeben, wenn Notationen für echte Klassen zusätzlich eingeführt worden sind. Zunächst einmal ist ein $M$ immer „existent“. Oder verstehe ich die Motivation deiner Einfügung falsch? --Chricho ¹ ² ³ 19:42, 6. Feb. 2015 (CET)

Irgendwo weiter oben bei der Redundanz zur Existenz einer Menge tauchte das Existenzproblem schon einmal auf, weil man offenbar keine Einigkeit über die Prädikatenlogik erster Stufe hat. Wenn man sich da einigen könnte, wäre die Sache einfacher. Du selbst warst derjenige, der darauf bestanden hat. Das Problem besteht in der Anerkennung der Fregeschen Existenzquantoreinführung. Damals hast Du sie angezweifelt. Sie wäre aber notwendig zum Beweis der Existenz der Leermenge ohne die Bedingung in der Definition. Deshalb habe ich die Definition erweitert. Ich habe auch im Artikel Diskussion: Klasse (Mengenlehre)#Klasse aller Klassen? schon mit anderen diskutiert, die angezweifelt haben, dass man in der Standard-ZF-Sprache über echte Klassen sprechen kann. Das ist ganz klar, aber wenig bekannt und wenig praktiziert. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 19:52, 6. Feb. 2015 (CET)

Hallo Wilfried! Ich habe nie die „Anerkennung der Fregeschen Existenzquantoreinführung“ verweigert, sondern darauf hingewiesen, dass sich diese in einem Kalkül auch so gestalten lässt, dass die Aussage $\forall x\bot$ zu keinem Widerspruch führt. Das wird natürlich hinfällig, sobald es ein Konstantensymbol gibt (in einen Kalkül übersetzt, in dem wir nur Relationssymbole haben, heißt das ja gerade, eine Existenzaussage als Axiom zu setzen), somit können wir hier auch ohne weiteres von der „klassischen“ Existenzquantoreinführung ausgehen.

Deine Bemerkungen in der anderen Diskussion kann ich ehrlich gesagt nicht nachvollziehen. Man kann mit deinem Ansatz wohl sinnvolle Sätze über echte Klassen beweisen. Allerdings auch beliebige unsinnvolle. Aus $Allclass(x)$ folgt $\bot$ in ZF, in NBG dagegen nicht (Widerspruchsfreiheit von ZF vorausgesetzt). Grüße --Chricho ¹ ² ³ 21:00, 6. Feb. 2015 (CET)

Frege benutzte in seinen Axiomen keine Konstantensymbole, sondern freie und gebunden Variablen, auch ohne diese Hilbert-Terminologie zu sprechen ('Begriffsschrift' §1). Die Existenzquantoreinführung $f(A)\Rightarrow \exists x\colon f(x)$ impliziert hier mit $\ f(x)=(x=A)$ stets die Existenz $\exists x\colon (x=A)$ wegen der Tautologie $\ (A=A)$. Das ist die Existenz einer Menge und auch die Existenz jeder beliebigen Menge oder jedes Urelements. Erst wenn man diese Fregesche Existenzquantoreinführung abändert, entstehen Kalküle, in denen die Existenz einer Menge nicht gesichtert ist. Dann ist aber auch nicht mehr gesichert, dass Mengen und Urelemente überhaupt existieren. Das darf man ja machen, aber das ist für mich dann nicht mehr klassische Prädikatenlogik. Ich verstehe daher nicht, dass Du beim einem Thema die klassische willst, beim anderen aber nicht. Also: Ich denke klassisch und mache es wieder rückgängig und vergesse die Debatte, die ich nur in Rücksicht auf nichtklassische Leser angezettelt habe.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:43, 7. Feb. 2015 (CET)

Fragen wir mal so: Warum ergänzt du Tautologien? --Chricho ¹ ² ³ 01:11, 7. Feb. 2015 (CET)

Sagen wir mal so: Weil Du eine abgelehnt hast, weiter oben.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 01:15, 7. Feb. 2015 (CET)

Und wie kommst du darauf, dass das in den von mir angesprochenen Systemen keine Tautologie ist? --Chricho ¹ ² ³ 09:55, 7. Feb. 2015 (CET)

Ich zitiere Dich von oben: "In Teilen der Logik ist es absolut üblich, Prädikatenlogik so zu untersuchen, dass $\exists xx=x$ eben keine Tautologie ist." Dann gilt offenbar die Frege-Existenzquantoreinführung nicht und auch $\exists x\colon (x=A)$ ist keine Tautologie. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 11:01, 7. Feb. 2015 (CET)

Sie gilt in einer anderen Form, nämlich unter Berücksichtigung eines Kontexts. Der Term $\exists x\colon (x=A)$ fügt nichts hinzu. --Chricho ¹ ² ³ 12:36, 7. Feb. 2015 (CET)

Es kommt auf "A" an:

• Ist A zum Beispiel eine echte Klasse, dann ist A=A kein Ausdruck der Prädikatenlogik der 1. Stufe und kann daher auch keinen Wahrheitsgehalt (in der Prädikatenlogik 1. Stufe) besitzen. Die Aussage A=A ist weder wahr noch falsch sondern einfach nicht definiert.
• Ist A dagegen ein Konstantensymbol, dann gibt es gewöhnlich ein Kalkül derart, dass gilt: $P(A)\vdash \exists x\,P(x)$ (z.B. die Existenzeinführung im Sequenzkalkül). Da P eine beliebige Aussage sein kann, gilt also insbesondere: $A=A\vdash \exists x\,P(x)$ Daraus folgt: Wenn es in der Sprache ein Konstantensymbol gibt, dann ist das Universum nicht leer: Es muss mindestens ein Element in Universum geben, welches das Konstantensymbol repräsentiert.
• Ist A ein Element des Universums, welches eindeutig bestimmt ist, ist A=A ebenfalls ein wahrer Ausdruck und man kann über das oben angegebene Kalkül $\exists x\,P(x)$ herleiten. Wichtig hierbei ist jedoch, dass dieses A auch tatsächlich existieren muss und Teil des Universums ist.
• Hat man zum Beispiel ein Objekt, das nicht Teil des Universums ist, z.B. das Objekt A={A} in ZF, dann ist der Ausdruck A=A wieder nicht definiert und man kann daraus nicht schlussfolgern $\exists x\,P(x)$.

Fazit: Die Aussage A=A kann niemals falsch sein. Aber es kann Situationen geben, in denen A=A nicht definiert ist. Um die Existenz mindestens einer Menge abzuleiten, muss du aber mindestens ein A finden, für das A=A definiert ist. Und das ist genau dann der Fall, wenn A einen Repräsentanten im Modell hat. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 13:57, 7. Feb. 2015 (CET)

Nichts für ungut, aber ich glaube, das tut hier gerade nichts zur Sache. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 21:13, 7. Feb. 2015 (CET)

Braucht man neuerdings ein Modell für eine Sprache, damit man sieht, welche Formel sinnvoll ist? Man zeige mir ein ZF-Modell! --Wilfried Neumaier (Diskussion) 18:18, 7. Feb. 2015 (CET)

"Steht schon da."

Zitat von Gerhardvalentin, in Bezug auf "Ferner sind alle eingeführten Variablen als Mengen aufzufassen.", Abschnitt "Die Axiome von ZF und ZFC".

"Das originale ZF-System ist verbal und kalkuliert auch Urelemente ein, die keine Mengen sind. Auf solche Urelemente verzichten spätere formalisierte ZF-Systeme meist und setzen damit Fraenkels Ideen vollständig um."

Ja, aber nur, wenn man danach sucht und sich einiges vom Artikel durchliest, findet man es !! Im Abschnitt "Die Axiome von ZF und ZFC" wird jedoch das Axiomensystem von Grund auf erklärt, und da, denke ich, gehört es schon dazu, dass man erwähnt, dass alle Variablen als Mengen zu verstehen sind, da es aus dem 1. Axiom allein nicht hervorgeht, denn da werden nur die Variablen A und B (all-) quantisiert, nicht jedoch gesagt, dass es sich dabei um Mengen handeln soll ! ... Wenn man sich dann die Erklärung durchliest, wundert man sich, warum da auf einmal von Mengen die Rede ist, obwohl das im Axiom gar nicht direkt so drinsteht. Und man will sich doch nicht in jedem WP-Artikel erst die ganze Geschichte durchlesen, nur um eine kleine Information zu bekommen !! Eine solche Erklärung "von Grund auf" sollte ohne Vorkenntnisse auskommen; das wäre am Ziel vorbeiführend in meinen Augen !!!

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.35.211 20:06, 4. Mai 2015 (CEST)

"Die Axiome von ZF und ZFC" Zitat:

Das Axiom impliziert, dass es in ZF nur Entitäten mit Extension gibt, die üblicherweise als Mengen bezeichnet werden.

Alle gebundenen Variablen beziehen sich daher in der ZF-Sprache automatisch auf Mengen.

Gerhardvalentin (Diskussion) 10:56, 5. Mai 2015 (CEST)