Dissipativer Operator

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In der linearen Theorie sind dissipative Operatoren lineare Operatoren, die auf reellen oder komplexen Banachräumen definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den Satz von Lumer-Phillips spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.

Seien ein Banachraum und . Ein linearer Operator mit

für alle und wird dissipativ genannt.[1] Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.

Ist ein linearer Operator und dissipativ, so wird akkretiv genannt.[1] Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.

Wenn ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator genau dann dissipativ, falls

für alle gilt, wobei den Realteil bezeichnet.[1]

Sei ein dissipativer Operator auf einem Banachraum .

  • ist für ein surjektiv genau dann, wenn für alle surjektiv ist. Alsdann heißt m-dissipativ und erzeugt eine stark stetige Operatorhalbgruppe.[2]
  • ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von für ein abgeschlossen ist.

Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet den Laplace-Operator mit Dirichlet-Randbedingung auf (siehe -Raum), also , erhält man:

.

Der Satz von Lax-Milgram beweist, dass m-dissipativ ist und somit eine stark stetige Operatorhalbgruppe erzeugt.

Einzelnachweise

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  1. a b c Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 375.
  2. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 376–377.