Ergodenzerlegung

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In der Theorie dynamischer Systeme, spezieller der Theorie maßerhaltender Abbildungen, ist die Ergodenzerlegung ein wichtiges Hilfsmittel, um die Untersuchung allgemeiner dynamischer Systeme auf die Untersuchung ergodischer Systeme zurückführen zu können.

Im Allgemeinen lassen sich invariante Maße nicht einfach als Summe oder Linearkombination ergodischer Maße zerlegen, sondern man braucht kompliziertere Zerlegungsabbildungen, bei denen über den Raum der ergodischen Maße integriert werden muss.

Zerlegungsabbildung

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Es sei ein Standard-Borel-Raum mit einer messbaren Wirkung einer Gruppe .

Wir bezeichnen mit den Raum der -invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße als Teilmenge des (lokal-konvexen) topologischen Vektorraums der signierten Radon-Maße mit der schwach-*-Topologie und der Borelschen σ-Algebra. Weiter sei der (kompakte und konvexe) Unterraum der ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaße.

Eine Zerlegungsabbildung ist eine messbare Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  • für alle ist
  • für alle ist messbar und
  • für alle und alle messbaren Teilmengen gilt
.

Ergodenzerlegung

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Es sei eine abzählbare Gruppe und ein Standard-Borel-Raum mit einer messbaren Wirkung der Gruppe . Wenn , dann ist und es gibt eine Zerlegungsabbildung mit obigen Eigenschaften.

Die Ergodenzerlegung ist eindeutig in folgendem Sinne:

  • Wenn zwei Abbildungen mit den obigen Eigenschaften sind, dann gilt für alle mit einer Menge , die für alle erfüllt.
  • Für betrachte die Wirkung von auf durch für . Dann ist für alle
und ist die Gleichverteilung auf der endlichen Menge .
  • Sei keine Einheitswurzel und die Wirkung von auf gegeben durch für . Dann ist für alle
und ist die Gleichverteilung (das normierte Lebesgue-Maß) auf .
  • V. S. Varadarajan: Groups of automorphisms of Borel spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 109 (1963), 191–220. pdf