Eschenburg-Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Sie sind die einfachsten nicht-homogenen Beispiele positiv gekrümmter Mannigfaltigkeiten.
Die Eschenburg-Räume entstehen als Biquotienten einer Links- und Rechtswirkung der Kreisgruppe auf der speziellen unitären Gruppe
.
Seien
und
Tripel ganzer Zahlen mit
. Dann betrachtet man die zweiseitige Wirkung von
auf der Lie-Gruppe
, die durch Linksmultiplikation mit der Diagonalmatrix
und Rechtsmultiplikation mit
wirkt.
Der Biquotient dieser Wirkung ist der Eschenburg-Raum
.
Die Wirkung ist genau dann eine freie Wirkung, wenn
nicht zu
konjugiert ist, also wenn
![{\displaystyle kgV(k_{1}-l_{1};k_{2}-l_{2})=1,\ kgV(k_{1}-l_{2};k_{2}-l_{1})=1,\ kgV(k_{1}-l_{1};k_{2}-l_{3})=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af8b07f2ea074d44eb40c47a8f638fc2a88aa1a)
![{\displaystyle kgV(k_{1}-l_{2};k_{2}-l_{3})=1,\ kgV(k_{1}-l_{3};k_{2}-l_{1})=1,\ kgV(k_{1}-l_{3};k_{2}-l_{2})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516e1425d67b1f27cd19dfebf446f691b053f9ea)
gilt.
Für
erhält man die Aloff-Wallach-Räume.
Die von einer gewissen links-invarianten Metrik der
auf
induzierte Metrik[1] hat genau dann positive Schnittkrümmung, wenn
für ![{\displaystyle i=1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a87b7e5d81c62b040a35078417fb9294b1ec7c7)
gilt.
Es gibt eine Reihe von Diffeomorphismen zwischen Eschenburg-Räumen. So induziert jede Permutation der Einträge in
oder
eine diffeomorphe Mannigfaltigkeit. Es gilt
und es gibt einen (orientierungs-umdrehenden) Diffeomorphismus zwischen
und
. Weiterhin erzeugt die Addition derselben ganzen Zahl zu allen Einträgen
von
und
einen diffeomorphen Raum.
Die Isometrie-Gruppe eines Eschenburg-Raumes hat Rang
.[2]
Insbesondere hat jeder Eschenburg-Raum positiver Schnittkrümmung eine eindeutige Darstellung
mit
![{\displaystyle k=(k_{1},k_{2},l_{1}+l_{2}-k_{1}-k_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3614d88b33e420a4accd12affebc78a0e7070542)
![{\displaystyle l=(l_{1},l_{2},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d617677de98bf27f43e2596a06fe1476453d19)
.
Für die Kohomologiegruppen gilt
![{\displaystyle H^{1}(E_{kl})=0,H^{2}(E_{kl})=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3354b04a5cf5a6ca42082e559cb11c40c0e34e3)
![{\displaystyle H^{3}(E_{kl})=0,H^{4}(E_{kl})=\mathbb {Z} /r\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd3cce8b96508a4ec505154b5440fa20502cfa9)
mit
. Der Erzeuger von
ist das Quadrat des Erzeugers von
.
- J.-H. Eschenburg: New examples of manifolds with strictly positive curvature, Invent. Math. 66, 469-480 (1982)
- K. Shankar: Strong inhomogeneity of Eschenburg spaces, Mich. Math. J. 50, 125-141 (2002)
- L. Astor, E. Micha, G. Pastor: On the homotopy type of Eschenburg spaces with positive sectional curvature, Proc. AMS 132, 3725–3729 (2004)
- B. Krüggel: Homeomorphism and diffeomorphism classification of Eschenburg spaces, Quart. J. Math. 56, 553-577 (2005)
- K. Grove, K. Shankar, W. Ziller: Symmetries of Eschenburg spaces and the Chern problem, Asian J. Math. 10, 647-661 (2006)
- T. Chinburg, C. Escher, W. Ziller: Topological properties of Eschenburg spaces and 3-Sasakian manifolds, Math. Ann. 339, 3-20 (2007)
- ↑ Eschenburg, op. cit.
- ↑ Grove-Shankar-Ziller, op. cit.